第二十三讲 椭圆及其方程-2022年新高二年级数学暑假精品课程（人教A版2019）练习题

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第二十三讲 椭圆及其方程
【考点剖析】
1.椭圆的定义
平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹（或集合）叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形


性质范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2

【考点剖析】

考点一　椭圆的定义及其应用
【例1】 (1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是(　　)

A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
(2)设P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为(　　)
A.24 B.12 C.8 D.6
解析　(1)连接QA.由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.
(2)∵P为椭圆C：＋＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝8，
又∵|F1F2|＝2c＝2＝10，
∴易知△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝24，
∵△PF1F2的重心为点G，∴S△PF1F2＝3S△GPF1，
∴△GPF1的面积为8.
答案　(1)A　(2)C
规律方法　(1)椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
考点二　椭圆的标准方程
【例2】 (1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
(2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，则椭圆的标准方程为________________.
解析　(1)设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16，2c＝8，
所以a＝8，c＝4，b＝＝＝＝4，
故所求的轨迹方程为＋＝1.
(2)法一　当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1 (a>b>0).
∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
∴　解得
∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1 (a>b>0).
∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
∴　解得
与a>b矛盾，故舍去.
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
法二　设椭圆方程为mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n).
∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点，
∴　解得
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
答案　(1)D　(2)＋y2＝1
规律方法　根据条件求椭圆方程的主要方法有：
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.
考点三　椭圆的几何性质　
角度1　椭圆的长轴、短轴、焦距
【例3－1】 已知椭圆＋＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于(　　)
A.8 B.7 C.6 D.5
解析　因为椭圆＋＝1的长轴在x轴上，所以解得60)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
解析　由题意可知椭圆的焦点在x轴上，如图所示，

设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，
∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.
∵|OF2|＝c，过P作PE垂直x轴于点E，则∠PF2E＝60°，所以|F2E|＝c，
|PE|＝c，即点P(2c，c).∵点P在过点A，且斜率为的直线上，
∴＝，解得＝，∴e＝.
答案　D
角度3　与椭圆性质有关的最值或范围问题
【例3－3】 设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)
A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，]∪[9，＋∞)
C.(0，1]∪[4，＋∞) D.(0，]∪[4，＋∞)
解析　①当焦点在x轴上，依题意得
00，即x1x2＋y1y2>0，
又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)
＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4
＝(1＋k2)·－2k·＋4>0，
解得k2