第二十六讲 圆锥曲线的综合应用-2022年新高二年级数学暑假精品课程（人教A版2019）练习题

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第二十六讲 圆锥曲线的综合应用
【考点剖析】
1.求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
2.定点的探索与证明问题
(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.
(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
3.求解范围问题的方法
求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围.
4.圆锥曲线中常见最值的解题方法
(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；
(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用均值不等式法、配方法及导数法求解.
5.圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·|y1－y2|＝·.

【考点剖析】
考点一　最值问题　
角度1　利用几何性质求最值
【例1－1】 设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为(　　)
A.9，12 B.8，11
C.8，12 D.10，12
解析　如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA，PB分别与圆相交于两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12，即最小值和最大值分别为8，12.

答案　C
角度2　利用均值不等式或二次函数求最值
【例1－2】 (2019·郑州二模)已知动圆E经过点F(1，0)，且和直线l：x＝－1相切.
(1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程；
(2)已知点A(3，0)，若斜率为1的直线l′与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A)，且与曲线G交于B，C两点，求△ABC面积的最大值.
解　(1)由题意可知点E到点F的距离等于点E到直线l的距离，∴动点E的轨迹是以F(1，0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，故轨迹G的方程是y2＝4x.
(2)设直线l′的方程为y＝x＋m，其中－3