第八讲 指数和指数函数-2022年新高二年级数学暑假精品课程（人教A版2019）练习题

第八讲 指数与指数函数

【基础知识】

1.根式

(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.

(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝

2.分数指数幂

(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N+，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N+，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.

(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.

3.指数函数及其性质

(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.

(2)指数函数的图象与性质

【考点剖析】

考点一　指数幂的运算

考点一　指数幂的运算

【例1-1】 化简下列各式：

(1)＋2－2·－(0.01)0.5；                     (2)(a>0，b>0).

【解析】　(1)原式＝1＋×－

＝1＋×－＝1＋－＝.

(2)原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝.

【例1-2】 化简下列各式：

(1)[(0.064)－2.5]－－π0；                    (2)a·b－2·(－3a－b－1) ÷(4a·b－3).

解　(1)原式＝－－1

＝－－1

＝－－1＝0.

(2)原式＝－a－b－3÷(4a·b－3)

＝－a－b－3÷(ab－)＝－a－·b－

＝－·＝－.

考点二　指数函数的图象及应用

【例2-1】若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.

解析　(1)y＝(a－1)2x－＝a－2x，令2x－＝0，得x＝－1，

故函数y＝(a－1)2x－恒过定点.

(2)在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.

∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点.

∴b的取值范围是(0，2).

【例2-2】(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A.a>1，b<0

B.a>1，b>0

C.0<a<1，b>0

D.0<a<1，b<0

【例2-3】若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________.

解析　(1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.

函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.

(2)画出曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示.

由图象得|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].

考点三　指数函数的性质及应用

【例3－1】 (1)下列各式比较大小正确的是(　　)

A.1.72.5>1.73    B.0.6－1>0.62

C.0.8－0.1>1.250.2    D.1.70.3<0.93.1

(2)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________.

【解析】(1)A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，

∴1.72.5<1.73，错误；

B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，

∴0.6－1>0.62，正确；

C中，∵(0.8)－1＝1.25，

∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.

∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，

∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；

D中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1，

∴1.70.3>0.93.1，错误.

(2)当a<0时，原不等式化为－7<1，

则2－a<8，解之得a>－3，所以－3<a<0.

当a≥0时，则<1，0≤a<1.

综上知，实数a的取值范围是(－3，1).

答案　(1)B　(2)(－3，1)

【例3－2】 (1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增加的，则m的取值范围是______.

(2)若函数f(x)＝的值域是，则f(x)的单调递增区间是________.

【解析】　(1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上是增加的，在区间上是减少的.而y＝2t在R上是增加的，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上是增加的，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4].

(2)令g(x)＝ax2＋2x＋3，

由于f(x)的值域是，

所以g(x)的值域是[2，＋∞).

因此有解得a＝1，

这时g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)＝.

由于g(x)的单调递减区间是(－∞，－1]，

所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－1].

【例3－3】 如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为________.

【解析】　令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈

[－1，1]，所以t∈，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去).当0<a<1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，则ymax＝－2＝14，解得a＝(负值舍去).综上，a＝3或a＝.

答案　3或

【真题演练】

1．（2021·全国高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；

对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；

对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；

对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．

2．（2021·全国高三其他模拟（理））若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由指数、对数运算性质知，，

则由知

，即

故选：D

3．（2021·全国高三其他模拟（理））已知某种药物在病人体内的含量在1200mg以上时才会对某种病情起疗效，现给某病人注射该药物2000mg，假设药物在病人体内的含量以每小时25%的速度递减，为了保持药物疗效，则经过（    ）小时后须再次向病人体内补充这种药物．（已知，，结果精确到0.1h）

A．1.8 B．1.9 C．2.1 D．2.2

【答案】A

【详解】

设经过小时后须开始再次补充这种药物，

则，化简可得，

所以，

所以经过1.8小时后须再次向病人体内补充这种药物，故A项正确．

故选：A

4．（2021·全国高三其他模拟）毛衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后体积与天数的关系式为．若新丸经过50天后，体积变为，则一个新丸体积变为需经过的时间为（    ）

A．125天 B．100天 C．75天 D．50天

【答案】C

【详解】

解析：由题意知，当时，有．

即，得．

所以当时，有．

即，得．

所以．

5．（2021·全国高三其他模拟（文））___________.

【答案】

【详解】

.

 【过关检测】

1．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：，

，

所以，

故选：D.

2．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】

因，

又，而，即“”是“”的必要不充分条件，

所以“”是“”的必要不充分条件．

故选：B

3．若，，，则a，b，c的大小关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

，

，

，

故选：D．

4．若，，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

因，且函数是增函数，于是；

函数是增函数，，而，则，，即，

综上得：

故选：D

5．设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

，，

，，

∴,

故选：A

6．已知函数的图像关于对称，满足，且在上递减，若，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

由函数关于对称，可得函数关于对称，即，

又由函数满足，可得，即，

所以函数是以2为周期的周期函数，

则，，，

又由，且，

因为在上递减，可得函数在上递增函数，

所以，即.

故选：A.

7．已知定义在上的奇函数满足，当时，，设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

，

，

，

又

即，，，

且在上单调递增，

，

即.

综上可得.

故选:D.

8．为了广大人民群众的食品健康，国家倡导农户种植绿色蔬菜．绿色蔬菜生产单位按照特定的技术标准进行生产，并要经过专门机构认定，获得许可使用绿色蔬菜商标标志资格．农药的安全残留量是其很重要的一项指标，安全残留量是指某蔬菜使用农药后的残留量达到可以免洗入口且对人体无害的残留量标准．为了防止一种变异的蚜虫，某农科院研发了一种新的农药“蚜清三号”，经过大量试验，发现该农药的安全残留量为0.001mg/kg，且该农药喷洒后会逐渐自动降解，其残留按照y＝ae﹣x的函数关系降解，其中x的单位为小时，y的单位为mg/kg．该农药的喷洒浓度为2mg/kg，则该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，至少需要（    ）小时．（参考数据ln10≈2.3）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】D

【详解】

解：由题意知，当x＝0时，y＝2，

所以2＝a•e﹣0，解得a＝2，

所以y＝2e﹣x，

要使该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，则2e﹣x≤0.001，

解得x≥﹣ln＝3ln10+ln2≈3×2.3+ln2＝6.9+ln2，

因为ln＜ln2＜lne，即0.5＜ln2＜1，

所以6.9+ln2∈（7.4，7.9），

所以要使该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，至少需要8小时．

9．已知常数，函数的图象经过点、，若 ，则___

【答案】；

【详解】

由条件可知，得 ①

 ，得 ②

①②得，

，又，得.

10．函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则mn的最大值为___________.

【答案】

【详解】

解：函数（且）的图象恒过定点A，

，

点A在直线上，

，

又，，

，

，当且仅当，即时等号成立，

所以mn的最大值为，