第18讲 角度、数量积定值问题-2022年新高考数学之圆锥曲线综合讲义

第18讲 角度、数量积定值问题

一、解答题

1．已知椭圆：的上下顶点分别为，且点．分别为椭圆的左、右焦点，且．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）点是椭圆上异于，的任意一点，过点作轴于，为线段

      的中点．直线与直线交于点，为线段的中点，为坐标原点．求

      的大小．

2．已知椭圆上的点到它的两个焦的距离之和为，以椭圆的短轴为直径的圆经过这两个焦点，点，分别是椭圆的左、右顶点．

（）求圆和椭圆的方程．

（）已知，分别是椭圆和圆上的动点（，位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，．求证：为定值．

3．已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，直线与椭圆交于、两点。

（Ⅰ）求椭圆的方程； 

（Ⅱ）若直线与圆相切，证明：为定值．

4．已知点为椭圆上任意一点，直线与圆交于两点，点为椭圆的左焦点．

（Ⅰ）求椭圆的离心率及左焦点的坐标；

（Ⅱ）求证：直线与椭圆相切；

（Ⅲ）判断是否为定值，并说明理由．

5．已知点F1为椭圆的左焦点，在椭圆上，PF1⊥x轴．

（1）求椭圆的方程：

（2）已知直线l与椭圆交于A，B两点，且坐标原点O到直线l的距离为的大小是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．

6．如图，点M在椭圆1（0＜b）上，且位于第一象限，F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1，F2，M的圆与y轴交于点P，Q（P在Q的上方），|OP|•|OQ|＝1．

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）直线PM与直线x＝2交于点N，试问，在x轴上是否存在定点T，使得•为定值？若存在，求出点T的坐标与该定值；若不存在，请说明理由．

7．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且过点，过椭圆的左顶点A作直线轴，点M为直线上的动点，点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于P

（1）求椭圆C的方程；

（2）求证：；

（3）试问是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．

8．已知椭圆左右焦点为，左顶点为A（-2.0），上顶点为B,且∠=.

（1）求椭圆C的方程；

（2）探究轴上是否存在一定点P，过点P的任意直线与椭圆交于M、N不同的两点，M、N不与点A重合，使得 为定值，若存在，求出点P；若不存在，说明理由.

9．    已知椭圆C：(a>b>0)经过点(，1)，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆经过椭圆的焦点．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设过点(－1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问在x轴上是否存在一个定点M，使得恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．

10．已知椭圆(a＞b＞0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与点F构成正三角形.

(1)求椭圆的方程；

(2)若过点(1，0)的直线l与椭圆交于不同的两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点E(m，0)，使恒为定值？若存在，求出E的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由.

11．已知椭圆的离心率为，右焦点为，直线l经过点F，且与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当直线l绕点F转动时，试问：在x轴上是否存在定点M，使得为常数?若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．

12．已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆的左顶点坐标为，离心率为．

求椭圆E的方程；

过点作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．

13．已知椭圆C：的离心率为，点P（1，）在椭圆C上，直线l过椭圆的右焦点与椭圆相交于A，B两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）在x轴上是否存在定点M，使得为定值？若存在，求定点M的坐标；若不在，请说明理由．

14．已知圆的圆心在轴上，半径，过点且与直线相切.

（1）求圆的方程；

（2）若过点的直线l与圆交于不同的两点，且与直线交于点，若中点为，问是否存在实数，使为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.