第13讲 导数解答题之构造新函数类-2022年新高考数学之导数综合讲义

第13讲 导数解答题之构造新函数类

1．已知函数，，其中，均为实数．

（1）求的极值；

（2）设，，若对任意的，，，恒成立，求的最小值；

（3）设，若对任意给定的，，在区间，上总存在、，使得成立，求的取值范围．

2．已知．

（1）当时，

①求的图象在点处的切线方程；

②当时，求证：．

（2）若存在，，使得成立，求实数的取值范围．

3．已知函数．

（Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）设，且有两个极值点，，其中，若恒成立，求的取值范围．

4．已知函数为常数）有两个极值点．

（1）求实数的取值范围；

（2）设的两个极值点分别为，，若不等式恒成立，求的最小值．

5．记，表示，中的最大值．如，．已知函数，，，．

（1）求函数在，上的值域；

（2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．

6．已知函数，．

（1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值；

（2）设，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，求实数的取值范围．

7．已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）证明当时，关于的不等式恒成立；

（Ⅲ）若正实数，满足，证明．

8．设，已知定义在上的函数在区间内有一个零点，为的导函数．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）设，，，函数，求证：；

（Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，，且，，，满足．