考点02 求函数解析式的3种方法-2022年新高考数学方法研究（人教A版2019）练习题

专题二  函数

考点2  求函数解析式的3种方法

【方法点拨】

求函数解析式的常用方法

1. 待定系数法：已知函数的类型，利用所给条件，列出方程或方程组，用待定系数法确定系数.
2. 配凑法或换元法：已知复合函数f[g(x)]=F(x)的解析式，把F(x)配凑成关于g(x)的表达式，再用x代替g(x)，称为配凑法；或者，直接令g(x)=t，解方程把x表示成关于t的函数，再代回，称为换元法，此时要注意新元t的取值范围.

3解方程组法(或赋值法)：已知关于f(x)与f(1/x)或f(-x)的表达式，可通过对自变量的不同赋值构造出不同的等式通过解方程组求出f(x).

【高考模拟】

1．已知是偶函数,且当时,,则当时,的解析式为（   ）

A． B． 

C． D．

【答案】C

【分析】

利用是偶函数，，当，，即可求得答案

【解析】

设，则，

当时,

，

是偶函数，

则

故选

【点睛】

本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式，掌握解题方法，较为简单．

2．已知幂函数的图象经过点，则的解析式（   ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

设幂函数解析式为 ，将点代入即可求解.

【解析】

设幂函数为

函数经过点（3，27），

解得

故的解析式

故选A

【点睛】

本题考查幂函数解析式的确定，是基础题；解题时需要认真审题，准确代入数值.

3．若函数在上是奇函数，则的解析式为（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由奇函数得，代入后求出解析式

【解析】

函数在上是奇函数

，

即，，

即

，

解得

则

故选

【点睛】

本题考查了函数奇偶性的运用，当奇函数定义域取到零时有，然后再赋值法求出解析式，较为基础。

4．若函数满足，则的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】

令，解出，然后代入计算即可.

【解析】

由题可知：令，所以

则

故选：C

5．已知，则函数的值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【分析】

配方可得，即得出解析式，求出.

【解析】

，

.

故选：D.

6．已知函数 ，若，则的值为（   ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【分析】

首先利用换元法求出函数的解析式，由解析式即可求解.

【解析】

由，，

令，则，

所以，

所以，解得.

故选：C

7．若，那么等于（    ）

A．8 B．3 C．1 D．30

【答案】A

【分析】

令，得，则，即可得出结果.

【解析】

由于，

令，得，

则，

当时，

，

故选：A.

8．已知，且，则m等于（    ）

A． B．2 C． D．3

【答案】D

【分析】

令解得，代入得，解之可得选项.

【解析】

因为，所以令解得，所以，

解得，

故选：D.

9．已知，则的值为（　　）

A．15 B．7 C．31 D．17

【答案】C

【分析】

利用换元法求得，代入即可得解.

【解析】

令，则，所以即，

所以.

故选：C．

10．已知，则的表达式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

令，可得，代入可求得的表达式，由此可得出函数的表达式.

【解析】

令，可得，代入，

可得，因此，.

故选：A.

11．设函数，则的值是（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】B

【分析】

利用换元法求得函数的解析式，代入即可求得的值，得到答案.

【解析】

设，则，所以，即，

所以.

故选：B.

12．已知函数，若，则实数的值为（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】C

【分析】

利用换元法求出函数解析式，利用解析式解方程可得结果.

【解析】

因为，令，则，

所以，

所以，解得.

故选：C

【点睛】

关键点点睛：利用换元法求出解析式是解题关键.

13．已知，则的解析式为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

令，利用换元法即可求解.

【解析】

由，

令，则，

则，即，

故选：B

14．已知函数满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

利用换元法求出的解析式.

【解析】

令，则.

因为，所以

即.

故选：A

15．已知函数，则等于（    ）

A．0 B． C．3 D．

【答案】A

【分析】

整体代换，令，代入计算．

【解析】

令，则，∴．

故选：A．

16．已知是一次函数，且，，则的解析式为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

设，代入已知条件求得．

【解析】

设，由题意，解得，

∴．

故选：C．

【点睛】

本题考查求函数解析式，解题方法是待定系数法．在已知函数类型的情况下一般用待定系数求解析式．

17．若一次函数满足，则_________．

【答案】

【分析】

设，利用可得的值，从而可求的解析式.

【解析】

设，则，

故，故，故，

故答案为：.

18．设函数f(x)=2x2，函数g(x)=，则f(x)∙g(x)=_______________.

【答案】

【分析】

利用解析式直接可得出.

【解析】

，，

.

故答案为：.

19．已知函数是一次函数.若，则解析式________

【答案】

【分析】

设，然后将，分别代入即可求出得值，从而得出解析式.

【解析】

设，因为，

所以 ，解得，所以，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了已知函数类型，利用待定系数法求函数解析式，属于基础题.

20．已知是一次函数，满足,则________.

【答案】

【解析】

由题意可设 即
解得

故答案为

21．已知函数，则________.

【答案】

【分析】

先求函数定义域，再化简函数解析式，即得结果.

【解析】

，

故答案为：

【点睛】

本题考查函数解析式，注意定义域，考查基本求解能力，属基础题.

22．若为一次函数，且，则_____________

【答案】或

【分析】

设一次函数，得到，从而得到方程组，解方程组求得，即可求得的解析式.

【解析】

解：设一次函数，

则，
，
解得或，
∴或.
故答案为：或.

【点睛】

本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，其中得到关于的方程组是解题的关键.

23．（1）已知求的解析式.

（2）已知函数，求函数，的解析式

（3）已知是二次函数，且，求的解析式

（4）已知函数满足，则=_____________.

【答案】（1），；（2）；；（3）；（4）.

【分析】

（1）先令，求出的范围，再由题中条件，求出，进而可得的解析式；

（2）令，根据题中条件，求出，进而可得的解析式；

（3）设二次函数，根据题中条件，由待定系数法，即可求出解析式；

（4）由已知条件，得到，根据消元法，即可求出结果.

【解析】

（1）令，当时，，当且仅当时，等号成立；

当时，，当且仅当时，等号成立；

所以；

又，所以，，

因此，；

（2）令，因为，所以，即；

所以；

（3）设二次函数，

因为，

所以，

即，即，

因此，解得，所以；

（4）因为函数满足①，

所以②，

②①可得：，

整理得.

【点睛】

方法点睛：

求函数解析式的常用方法：

1.换元法：已知的解析式，求时，常用换元法求解，求解时利用，求出，再由相等函数的概念，即可得出结果；

2.待定系数法：已知函数类型求解析式时，常永待定系数法求解，先设函数解析式，根据题中条件，列出关于待定系数的方程组，求出待定系数，即可得出解析式；

3.消元法（解方程组法）：已知与、与（为常数）等之间的关系式，只需结合原式得出新的式子，两式联立，利用消元法，即可求出.

24．（1）已知是二次函数且，，求；

（2）已知，求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

(1) 设该二次函数的解析式，然后，利用待定系数法求解其解析式（2）在等式的两边同时以代x，构造一个新的等式，然后，求解f（x）即可；

【解析】

（1）∵f（x）为二次函数，

∴f（x）＝ax2+bx+c  （a≠0），∵f（0）＝c＝2，

∵f（x+1）﹣f（x）＝x﹣1，∴2ax+a+b＝x﹣1，∴a，b，

∴f（x）x2x+2．

（2）∵，①，

∴f（）+2f（x），②

①-②×2得：﹣3f（x）＝x，

∴

【点睛】

方法点睛：求解函数解析式的基本方法：待定系数法，换元法和构造方程组，是基础题型．

25．已知函数是一次函数，且，求的表达式．

【答案】．

【分析】

设，根据，列出方程组，求得的值，即可得到答案.

【解析】

由题意，设一次函数的解析式为，

因为，可得，

整理得，即，解得，

所以函数的表达式为.

26．（1）已知，求.

（2）已知，且为一次函数，求.

（3）已知函数满足，求.

【答案】（1）；（2）或；（3）.

【分析】

（1）用换元法，设求出，表示出，可得出的解析式.

（2）通过为一次函数可设，然后再通过的解析式，可求出的值.

（3）由可得出，将两个方程联立可得出的解析式.

【解析】

（1）令则.

.

（2）为一次函数设.

.

或

或.

（3）①②.

联立①式，②式

则.

27．已知满足下列条件，分别求的解析式．

（1）已知是一次函数且，求的解析式；

（2）已知，对任意的实数，，都有，求的解析式．

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）运用待定系数法，设，代入，运用恒等式的思想建立方程组，可求得的解析式．

（2）运用赋值法，令，可得，从而求得函数的解析式．

【解析】

（1）（待定系数法）因为是一次函数，可设，

．即，

因此应有，解得．故的解析式是．

（2）令，得，，即．

【点睛】

方法点睛：求函数解析式的方法：

一、换元法：已知复合函数的解析式，求原函数的解析式，把 看成一个整体t，进行换元，从而求出的方法，注意所换元的定义域的变化.

二、配凑法：使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.

三、待定系数法：己知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据己知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法.

四、消去法(方程组法)：方程组法求解析式的关键是根据己知方程中式子的特点，构造另一个方程.

五、特殊值法：根据抽象函数的解析式的特征，进行对变量赋特殊值.

28．（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域；

（2）已知是一次函数，且有，求的解析式.

【答案】（1）；（2）或.

【分析】

（1）由，得，求得函数的定义域，再利用，求得函数的定义域；

（2）设，代入，根据恒等式的思想可解得，得出函数的解析式.

【解析】

解：（1）因为，所以，所以函数的定义域为，

所以，解得，即，

∴函数的定义域为.

（2）设，，

∴，∴或，

∴或.

【点睛】

思路点睛：（1）已知的定义域，求复合函数的定义域：若的定义域为，求出中的x的范围，即为的定义域；

（2）已知复合函数的定义域，求的定义域：若的定义域为，则由确定出的范围，即为的定义域.

29．已知二次函数满足，且.

（1）求函数的解析式；

（2）求在区间上的值域.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）设出二次函数的解析式，根据题意结合待定系数法求解即可；

（2）根据二次函数的单调性求出在区间上的值域.

【解析】

解：（1）根据题意，二次函数满足，设其解析式为

又由

∴

∴，解得，

则；

（2）由（1）的结论，

又

当时，取得最小值，且其最小值

当时，取得最大值，且其最大值；

故在上的值域为

30．根据下列条件，求的解析式.

（1），其中为一次函数；

（2）.

【答案】（1）或；（2）.

【分析】

（1）由题意，设，根据题中条件，列出方程组求解，得出系数，即可求出解析式；

（2）根据原式，将原式中的与互换，得，两式联立求解，即可得出结果.

【解析】

（1）由题意，设，

则，

由恒等式性质，得，

或.

∴所求函数解析式或.

（2）解：因为，将原式中的与互换，

得.

于是得关于的方程组.

解得.