考点10 比较指数式、对数式的方法-2022年新高考数学方法研究（人教A版2019）练习题

专题二  函数

考点10  比较指数式、对数式的方法

【方法点拨】

一、指数式与对数式

二、指数函数与对数函数

1. 指数函数的图象与性质

2. 对数函数的图象与性质

三、判定方法。

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

【高考模拟】

1．若，则等于（    ）

A． B． C． D．非以上答案

【答案】B

【分析】

首先被开方数写出完全平方数，再开方.

【解析】

因为，所以，原式.

故选:B.

2．化简，结果是（    ）

A．6x―6 B．―6x+6 C．―4 D．4

【答案】D

【分析】

由根式的性质可得，再由根式的化简即可求解.

【解析】

∵，

∴，∴，

∴

故选：D.

3．化简＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

利用根式与指数式的转化与运算求解.

【解析】

因为.

故选：D

4．下列可能是函数的图象的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

先由解析式确定函数定义域，排除D；再计算，排除AB，即可得出结果.

【解析】

因为，所以其定义域为，故D排除；

又，故排除AB选项，C选项符合；

故选：C.

【点睛】

思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

5．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

利用指数函数和对数函数的单调性判断.

【解析】

因为，，，

所以，

故选：B.

6．已知，，，则下列关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

利用指数函数和对数函数的单调性判断.

【解析】

因为，，，

所以，

故选：D．

7．、、这三个数的大小关系为（    ）

A．  B． C． D．

【答案】B

【分析】

将指数幂化为根式的形式，即可直接得出结果.

【解析】

，，，

因为，所以.

故选：B.

8．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

直接利用指数函数和对数函数的单调性判断.

【解析】

因为，，，

所以，

故选：B.

9．已知，，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

根据指数与对数的互化，结合对数函数的图象与性质，分别求得的取值范围，即可求解.

【解析】

因为，可得，且，

又由，所以

又因为，

所以.

故选：C.

10．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据指对幂函数性质利用中间量即可比较大小.

【解析】

∵，，，

∴，

故选：D

11．设a，b，c为正数，且3a=4b=6c，则有（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

首先根据指对互化求出，再根据换底公式表示，最后根据对数运算法则化简.

【解析】

设3a=4b=6c=k， 则a=log3k， b=log4k， c=log6k，

∴， 同理，，

而， ∴，即．

故选：B

【点睛】

本题考查指对数运算，换底公式，以及对数运算的性质，关键是灵活应用对数运算公式，公式是关键.

12．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

根据指数函数、对数函数的性质计算可得；

【解析】

解：因为，，

所以，，，所以，

故选：A.

13．若函数.则函数的值域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

分别求出各段的值域，然后求并集即可.

【解析】

因为时，；时，

所以函数的值域是

故选：A.

14．函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）

A．或 B．

C． D．

【答案】B

【分析】

令，根据复合函数的单调性，分 和 两种情况讨论即可.

【解析】

由题可知，令 由得或

所以函数的定义域为，在上单调递增

当时，外函数 为减函数,根据复合函数“同增异减”可得在定义域内为减函数，不满足题意；当时,外函数为增函数，根据复合函数“同增异减”可得在定义域上为增函数，因为，所以，，满足题意.

故选：B.

15．已知函数，其图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

利用排除法，首先根据解析式判断函数的对称性，再确定时的符号，即可确定函数图象.

【解析】

由，知：关于原点对称，排除B、D；当时，，排除C.

故选：A

16．已知函数在区间上有最小值，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

令，根据对数函数的性质可得，从而得解.

【解析】

令，为开口向上的抛物线，对称轴为

函数在区间上有最小值，

则在上先减后增，

所以，

解得.

故选：A.

17．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由对数函数、指数函数、的单调性，可以得到，可得到大小关系

【解析】

，，，则，

所以，

故选：B

18．已知函数 ，则 f ( f (2)) =（    ）

A．4 B．2 C．1 D．0

【答案】D

【分析】

先计算，再计算即得结果.

【解析】

函数，故，所有f ( f (2)) =.

故选：D.

19．设函数，则函数的单调性（    ）

A．与有关，且与有关 B．与无关，且与有关

C．与有关，且与无关 D．与无关，且与无关

【答案】D

【分析】

通过对进行讨论，再用复合函数的求单调性的方法，可知该函数的单调性与是否有关.

【解析】

函数

当时，单调递增.

当时，单调递增.

则且，，的单调性都为单调递增.

所以函数的单调性与无关.

故选：D

20．设函数的定义域为M，函数y=lg(x－5)+lgx的定义域为N，则（    ）

A．M∪N=R B．M=N C．MN D．MN

【答案】C

【分析】

利用对数函数的真数大于0底数大于0且不等于1列出不等式组求出集合，；利用集合间包含关系的定义判断出和的关系．

【解析】

解：因为函数的定义域为，函数的定义域为；

由已知得

得或，

或，

由

，

．

故选：．

21．已知函数的定义域为A，函数的值域为B，又，则a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

先求出函数的定义域以及函数的值域，再利用集合的包含关系求解a的取值范围即可.

【解析】

根据题意得：，

，

则，

，

由，

可得，

故选：B.

22．函数则的值为（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】C

【分析】

由分段函数定义先计算，再计算．

【解析】

由题意，∴．

故选：C．

23．已知，则，按从小到大的顺序排列为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

由对数函数、指数函数的单调性比较大小即可.

【解析】

故选：D

24．函数的定义域为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

求出使函数式有意义的范围．

【解析】

由题意，解得．

故选：A．

25．函数的定义域为______.

【答案】

【分析】

由被开方数大于等于0，分母不等于0列出不等式组，再求交集即可.

【解析】

函数的自变量满足：，

解得即

故答案为：.

26．已知函数，则不等式的解集为____________．

【答案】

【分析】

根据函数为减函数和可得，进而可得解.

【解析】

易知为减函数，且，

所以等价于，

所以.

所以或.

故答案为：.

27．已知函数在R上单调递减，则实数a的取值范围为___________.

【答案】

【分析】

分段函数的两段都是减函数，两端端点处函数值左边不小于右边，由此可得．

【解析】

解：指数函数单调递减，则，

二次函数在上单调递减，则：，解得：，

且当时：，解得：，

综上可得，实数a的取值范围是.

故答案为：.

28．已知函数若，则的值为______．

【答案】4

【分析】

根据自变量所属的区间，代入相应段的解析式求值即可.

【解析】

由题意可知，，解得，

故答案为：4．

29．已知函数在上的最小值是，最大值是，则的值为_________．

【答案】12

【分析】

根据指数函数的单调性即可求出最大值和最小值，进而可得结果.

【解析】

因为函数在单调递减，

所以最小值，最大值，

所以，

故答案为：12.

30．已知函数，.若，，使，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】

转化为可求得结果.

【解析】

因为在上单调递增，

所以当时，，

因为在上单调递减，

所以当时，.

若，，使，

只要使即可.

即，解得，

所以实数的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】

结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．