2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟（北京卷）数学试题

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注意事项：
1．本场考试时间120分钟，满分150分．
2．作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名．将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.
3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区城，不得错位．在试卷上作答一律不得分．
4．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】 ,故,故选:C
2．如果复数（其中为虚数单位，为实数）为纯虚数，那么（ ）
A．1B．2C．4D．
【解析】，因复数为纯虚数，
于是得且，解得，所以.故选：A
3．已知函数的图象在区间上连续不断，则“”是“在上存在零点”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】因为函数在区间上连续不断，由，
可知中可能有两正一负、两负一正、一正一负一零和，
所以函数在区间上存在零点；
由在区间上有零点且连续不断，不能推出“”，如函数在区间上单调递增且时，则，，则，
所以 “”是“在区间上存在零点”的充分不必要条件.故选：A.
4．已知正四棱锥的侧棱长为2，高为.则该正四棱锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【解析】
由题意可知，则，
，所以该正四棱锥的表面积为，故选：C
5．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【解析】椭圆的标准方程为，椭圆中的，
双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，双曲线中，
双曲线满足，即
又在双曲线中，即，解得：，
所以双曲线的方程为，故选：A．
6．已知等差数列，是数列的前项和，对任意的，均有成立，则的值不可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解析】根据题意，等差数列，对任意的，均有成立，即是等差数列的前项和中的最大值，必有，公差，
分3种情况讨论：
①，此时，、是等差数列的前项和中的最大值，
此时，则有，则，
②，此时，、是等差数列的前项和中的最大值，
此时，则有，，
③，，是等差数列的前项和中的最大值，
此时，，则，变形可得：，
，而，则有，
综合可得：.故选：A．
7．已知函数，，则（ ）
A．最大值为2，最小值为1
B．最大值为，最小值为1
C．最大值为，最小值为1
D．最大值为，最小值为
【解析】，时，sinx∈[，1]，
∴当sinx＝时，f(x)最大值为；当sinx＝1时，f(x)最小值为1.故选：B.
8．如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，则点A到平面PBC的距离为（ ）
A．1B．C．D．
【解析】因为平面ABC，所以,因为，，
所以，又，，所以,
所以,设点A到平面PBC的距离为，
则,即,，故选：A
9．已知直线与圆相交于两点，且，那么实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．
【解析】圆化简为标准方程为，圆心到直线的距离，，解得：.故选：D
10．已知椭圆上有个不同的点，，，，．设椭圆的右焦点为，数列是公差大于的等差数列，则的最大值为（ ）
A．2007B．2006C．1004D．1003
【解析】由椭圆可知：，，，右焦点为，离心率，
设，，到右准线的距离为，根据圆锥曲线的统一定义，得，
，数列是公差大于的等差数列，
，可得，化简得，
结合椭圆上点的横坐标的范围，得，
，得，得的最大值为2006，故选：B．
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．在二项式的展开式中，含的项的系数是________．
【解析】 ，
所以令得 ，即含的项的系数是
12．设抛物线的焦点为，则______；若点A在抛物线上，且，则点A坐标为________.
【解析】由题意，，即抛物线方程为，，，
所以，．故答案为：4；．
13．已知平面向量，的夹角为120°，且，，则的值为______，的最小值为______．
【解析】因为平面向量，的夹角为120°，且，，
所以，
，
所以当时，的最小值为，故答案为： ，
14．已知函数是偶函数，则的一个取值为___________.
【解析】因为该函数是偶函数，所以有，
当时，有，
于是有：或，解得：，
当时，有，
于是有或，解得，
所以，显然的一个取值可以是，故答案为：
15．已知函数.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是_____
【解析】画出的图象如下图所示，，
即与的图象有两个交点，由图可知，的取值范围是.
故答案为：
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.(本小题13分)
在中，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)的值；
(2)和面积的值．
条件①: ；条件②:.
【解析】(1)若选①：在中，,
即，而 ，故 或，则或，
因为，故 ,所以；
若选② ：在中，,
即，而 ，故 或，则或，
由得： 且 ，故A为最大角，
故 ,所以；
(2)若选①：由正弦定理得： ,则 ,
由知： ， ，故 ,则 ，
所以 ， ；
若选②：，由正弦定理得： ,
故 ,而 ,故 ,
所以 , .
17.(本小题13分)
如图，在四棱锥中，，，，平面.
(1)试在线段上取一点使平面，请给出点的位置，并证明；
(2)若点满足，求二面角的平面角的余弦值.
【解析】(1) 为中点时使平面，理由如下：
设平面交于，连接、，
因为平面，平面平面，所以，
因为，平面，平面，所以平面，平面平面，平面，所以，又因为，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，所以是中点．
(2)取的中点，连接 ，因为，所以，如图建立空间直角坐标系，所以，，，，因为，所以，所以，，，设平面的法向量为，所以，令，则，，所以，平面的法向量为，所以，令，则，，所以，设二面角为，由图可知二面角的平面角为锐二面角，则，所以二面角的平面角的余弦值；
18.(本小题14分)
“双减”政策实施以来，各地纷纷推行课后服务“5+2"模式，即学校每周周一至周五5天都要面向所有学生提供课后服务，每天至少2小时．某学校的课后服务有学业辅导体育锻炼、实践能力创新培养三大类别，为了解该校学生上个月参加课后服务的情况，该校从全校学生中随机抽取了100人作为样本．发现样本中未参加任何课后服务的有14人，样本中仅参加某一类课后服务的学生分布情况如下：
(1)从全校学生中随机抽取1人．估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率；
(2)从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数．求X的分布列和数学期望；
(3)老样本中上个月未参加任何课后服务的学生有人在本月选择仅参加学业辅导．样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化．从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，以Y表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数．试判断方差、的大小关系（结论不要求证明）．
【解析】(1)由题意得，样本中仅参加某一类课后服务的学生共有
（人），又样本中未参加任何课后服务的有14人，
故样本中上个月至少参加了两类课后服务活动的学生共有（人）
则从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的频率为
由此，可估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率
(2)样本中，上个月仅参加学业辅导的有（人），对应频率为0.25
以频率估计概率，从全校学生中随机抽取1人，上个月仅参加学业辅导的概率为0.25，
X的可能取值为0，1，2，3，
，，，
，
X的分布列为
X的数学期望
(3)由题意可知随机变量X服从二项分布，故.
又知：上个月未参加任何课后服务的学生有人在本月选择仅参加学业辅导（样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化．），
则本月从全校学生中随机抽取1人仅参加学业辅导的概率估计为P ，且.
以Y表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数，由题意可知随机变量Y服从二项分布，
故,.
19.(本小题15分)
已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若对任意，都有，求实数的取值范围.
【解析】(1)当时，函数，定义域为，
又，，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
(2)若在上恒成立，即在上恒成立，
可令，，
则，，，
令，可解得，当时，即时，在上恒成立，
所以在上单调递增，，
又，所以恒成立，即时，在上恒成立，
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
此时，，又，，即，
不满足恒成立，故舍去，综上可知：实数的取值范围是.
20.(本小题15分)
已知椭圆：（）上一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左右顶点分别为、，当不与、重合时，直线，分别交直线于点、，证明：以为直径的圆过右焦点.
【解析】(1)由题干可得，所以，即椭圆的方程；
(2)解法一：设，
因为直线交直线于点，所以，则
同理，则 ，由于异于轴两侧，因此异号.
所以
又因为，所以
即 ，以为直径的圆过右焦点.
解法二：设直线方程，
，
得 ，即
因为直线交直线于点，即.
因为直线交直线于点，则由三点共线，得，即
所以， 即 ，以为直径的圆过右焦点.
21.(本小题15分)
对于有限数列，，，，定义：对于任意的，，有：
（i ）；
（ii ）对于，记.对于，若存在非零常数，使得，则称常数为数列的阶系数.
(1)设数列的通项公式为，计算，并判断2是否为数列的4阶系数；
(2)设数列的通项公式为，且数列的阶系数为3，求的值；
(3)设数列为等差数列，满足-1，2均为数列的阶系数，且，求的最大值.
【解析】(1)因数列通项公式为，所以数列为等比数列，且，
得．
数列通项公式为，所以当时，
,
所以2是数列的4阶系数．
(2)因为数列的阶系数为3，所以当时，存在，使成立．
设等差数列的前项和为，则,
令，则,所以，,
设等差数列的前项和为，，
则,令，则,所以，
当时，，当时，，
则，解得．
(3)设数列为等差数列，满足，2均为数列的阶系数，，
则存在，使
成立．
设数列的公差为，构造函数．
由已知得
，
所以，函数至少有三个零点，，，
由函数可知为偶数，且满足，
得，所以，解得，构造等差数列为：，，，，38，
可知当时命题成立，即的最大值为26．每周参加活动天数
课后服务活动
1天
2~4天
5天
仅参加学业辅导
10人
11人
4人
仅参加体育锻炼
5人
12人
1人
仅参加实践能力创新培养
3人
12人
1人
X
0
1
2
3
P