2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟（上海卷）数学试题

2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟 (上海卷)

数    学 

注意事项：

1．本场考试时间120分钟，满分150分．

2．作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名．将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.

3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区城，不得错位．在试卷上作答一律不得分．

4．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1．已知集合，，且，则实数的值是___________．

【解析】因为，所以，，

当时，无意义，不满足题意；

当时，，满足题意；

当时，，不满足题意.

综上，实数的值1.

2．已知复数､满足，若和的幅角之差为，则___________.

【解析】因为，设，，

所以

，由题意可知或，

当时，，

，

当时，，

，

综上所述：

3．已知，，则______

【解析】由已知可得，故.

4．已知点为正四面体的外接球上的任意一点，正四面体的棱长为2，则的取值范围为___________.

【解析】

如图，将正四面体放在正方体内，并建立如图所示的空间直角坐标系，

∵正四面体的棱长为2，则正方体的棱长为，正四面体ABCD的外接球即为图中正方体的外接球，其半径为R，则，则，，

设，则，则，

∵，，

∴.

5．设且，则的展开式中常数项为_______．

【解析】的通项公式为，

，

的常数项为：.

6．若函数的反函数的图像经过点，则____________.

【解析】由于函数的反函数的图象经过点，

则，解得，∴函数，∴.

7．已知､､､…､是抛物线上不同的点，点，若，则___________

【解析】设，分别过，作抛物线的准线的垂线，

垂足分别为，､､､…､是抛物线上不同的点，点,准线为，

.

,,

.

8．从集合中任取3个不同元素分别作为直线方程中的，则经过坐标原点的不同直线有__________条（用数值表示）

【解析】依题意，，从任取两个不同元素分别作为的值有种，

其中重合的直线，按有序数对，

有：重合，重合，重合，重合，重合，

有：重合，重合，重合，重合，重合，

所以经过坐标原点的不同直线条数是.

9．已知实数m>1，实数x､y满足不等式组，若目标函数z=x+my的最大值等于10，则m=___________.

【解析】由约束条件作出可行域如图内的整数点(含边界线上的整数点)，

联立，解得A(3，3)，⇒B(，)，化目标函数z=x+my为，

由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最大，但B不是整数点，

因为：0≤x≤3，，故当y=4，x=2时，z有最大值为2+4m=10，即m=2.

10．若，且，则的取值范围是__________.

【解析】由题意，，

，由于，故，即，，

，

故，解得：或

11．平面直角坐标系中，满足到的距离比到的距离大的点的轨迹为曲线，点(其中，)是曲线上的点，原点到直线的距离为，则____________.

【解析】设曲线上的点为，由题意，，

则曲线为双曲线的右支，焦点坐标为，，

，，，，

双曲线方程为．所以渐近线方程为，

而点（其中，是曲线上的点，

当时，直线的斜率趋近于，即．

则，即．．

12．任意实数a，b，定义，设函数，正项数列是公比大于0的等比数列，且，则=____．

【解析】由题意，因为时，；

当时，；时，，

所以时，恒成立；因为正项数列是公比大于0的等比数列，且，

所以，

所以，

又，，所以；

当时，，所以，此时无解；

设恒成立，在单调递增，

当时，，所以，解得.

二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13．在数列中，已知，则“”是“是单调递增数列”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】已知，若，即，解得.

若数列是单调递增数列，对任意的，，即，

所以，对任意的恒成立，故，

因此，“”是“是单调递增数列”的充要条件.故选：C.

14．下列不等式恒成立的是（　　）

A． B．

C． D．

【解析】对于选项A，（）﹣（x+）＝﹣（x+）＝，而x+≥2或x+≤﹣2，令t＝x+∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），则

（）﹣（x+）＝≥0，所以≥x+，故A正确；

对于选项B，当x﹣y＝﹣2时，|x﹣y|＝2，所以|x﹣y|+＝2﹣＝＜2，故B错误；

对于选项C，因为|x﹣y|＝|（x﹣z）﹣（y﹣z）|≤|x﹣z|+|y﹣z|，故C错误；

对于选项D，因为﹣＝（x+3）+（x﹣1）﹣2﹣[x+2+x﹣2]

＝2﹣2＝2（）＞0，所以D错误．

故选：A．

15．如图，在棱长为1的正方体中，P､Q､R分别是棱AB､BC､的中点，以PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体的表面上，则这个直三棱柱的体积为（       ）

A． B． C． D．

【解析】如图所示：

连接,分别取其中点，连接，

则，且，

所以几何体是三棱柱，又，且，

所以平面，所以，同理，又，

所以平面PQR，所以三棱柱是直三棱柱，

因为正方体的棱长为1，所以,

所以直三棱柱的体积为，故选：C

16．已知数列满足，则下列选项错误的是（       ）

A．数列单调递增 B．数列无界

C． D．

【解析】，所以数列单调递增，恒成立，

故A，B正确；

，

，

所以，

所以，故C正确：

因为，所以，结合数列单调递增，所以，故D错误，

故选：D.

三、解答题（本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17.(本小题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)

如图，直三棱柱中，，，点D是BC的中点.

(1)求三棱锥的体积；

(2)求异面直线与所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

【解析】(1)由题意得

所以三棱锥的体积.

即所求三棱锥的体积为.

(2)连接，由题意得，，且，

所以直线与所成的角就是异面直线与所成的角.

在中，，，，

由余弦定理得，因为，所以.

因此所求异面直线与所成角的大小为.

18.(本小题满分14分.第1小题满分6分,第2小题满分8分)

落户上海的某休闲度假区预计于2022年开工建设.如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区，，迎宾区的入口设置在点A处，出口在点B处，游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，其中米，米，也可以沿便捷通道A-P-B到达出口（P为△ABC内一点）.

(1)若△PBC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟）

(2)园区计划将△PBC区域修建成室外游乐场，若，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由.

【解析】(1)由题设，米，米，在中，由余弦定理得

，于是 米.

游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，所需时间为分钟，

游客沿便捷通道A-P-B到达出口所需时间为分钟，

所以该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快分钟.

(2),设则 ，

在中，.由正弦定理得 ，

得.

所以面积，

当时，面积的最大值为平方米.

19.(本小题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)

有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，……，第100站.一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋向前跳一站（从k到），若掷出反面，棋向前跳两站（从k到），直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束.设棋子跳到第n站概率为.

（1）求，，的值；

（2）求证：，其中，，并求及的值.

【解析】（1）棋子开始在第0站为必然事件，∴.

第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为，∴.

棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：

①前两次掷硬币都出现正面，其概率为；②第一次掷硬币出现反面，其概率为.

∴.

（2）证明：棋子跳到第n（）站的情况是下列两种，而且也只有两种：

①棋子先到第站，又掷出反面，其概率为；

②棋子先到第站，又掷出正面，其概率为.

∴.∴.

当时，数列是首项为，公比为的等比数列.

∴，，，…，.

以上各式相加，得，

∴.

∴，.

20.(本小题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)

已知为椭圆C：内一定点，Q为直线l：上一动点，直线PQ与椭圆C交于A､B两点（点B位于P､Q两点之间），O为坐标原点.

(1)当直线PQ的倾斜角为时，求直线OQ的斜率；

(2)当AOB的面积为时，求点Q的横坐标；

(3)设，，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

【解析】(1)因为直线PQ的倾斜角为，且，所以直线PQ的方程为：，

由，得，所以直线OQ的斜率是；

(2)易知直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为，

由，得，

设，则，

所以，

所以，解得，即，

所以直线PQ的方程为或，由，得；

由，得；

(3)易知直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为，

由，得，

设，则，

所以，因为，，

所以，所以，

.

21.(本小题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)

已知函数的定义域为，若存在常数和，对任意的，都有成立，则称函数为“拟线性函数”，其中数组称为函数的拟合系数.

(1)数组是否是函数的拟合系数？

(2)判断函数是否是“拟线性函数”，并说明理由；

(3)若奇函数在区间上单调递增，且的图像关于点成中心对称（其中为常数），证明：是“拟线性函数”.

【解析】(1)因为所以当，

当时，因为或，所以，

所以数组是函数的拟合系数.

(2)①当时，对于恒成立，所以成立，

②当时，恒成立，所以成立，

由①②可知，不能同时满足，所以函数不是 “拟线性函数”.

(3)的图像关于点成中心对称，

，令x=0，得：，

由于在区间上递增，，，为奇函数，，

时，，记，下面证明对一切，都有，

为奇函数，，

，即，

由于

是周期函数，且一个周期为，

因为当时，，，

又因此时，当，，，

由于均为奇函数，也为奇函数，

当时，，也成立，

综合得: 时，,

当时，，，

因此，对一切， 都有，即恒成立.

所以是“拟线性函数”.