专题04 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质-初升高数学衔接必备教材（解析版）

这是一份专题04 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质-初升高数学衔接必备教材（解析版），共30页。

专题04二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质

高中必备知识点1：二次函数图像的伸缩变换

问题 函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？
为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系．
先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象．
先列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
2x2
…
18
8
2
0
2
8
18

从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了．

再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝x2，y＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．

典型考题

【典型例题】
二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数是　　

A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【解析】
由图象可得，
，
，故错误，
当时，，故正确，
当时，，
由得，，
则，得，故正确，
，得，故正确，
故选：C．

【变式训练】
下列说法错误的是( )
A．二次函数y=－2x2中，当x=0时，y有最大值是0
B．二次函数y=4x2中，当x>0时，y随x的增大而增大
C．在三条抛物线y=2x2，y=－0.5x2，y=－x2中，y=2x2的图象开口最大，y=－x2的图象开口最小
D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点
【答案】C
【解析】
A、a=-2＜0，抛物线开口向下，当x=0时，y有最大值是0，故该选项正确；
B、二次函数y=4x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，故该选正确；
C、因为|2|＞|-1|＞|-0.5|，所以，y=2x2的图象开口最小，y=-0.5x2的图象开口最大，故该选错误；
D、不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点，故该选正确．
故选C．

【能力提升】
抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是（　　）
A．y=x2 B．y=﹣3x2 C．y=﹣x2 D．y=2x2
【答案】A
【解析】
∵二次函数中|a|的值越小，则函数图象的开口也越大，
又∵，
∴抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是y=x2，
故选A．

高中必备知识点2：二次函数图像的平移变换

函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？
同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y＝2(x＋1)2＋1与y＝2x2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y＝2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y＝2(x＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．

类似地，还可以通过画函数y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：
由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－
，
所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：
（1）当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而减小；当x＞时，y随着x的增大而增大；当x＝时，函数取最小值y＝．
（2）当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而增大；当x＞时，y随着x的增大而减小；当x＝时，函数取最大值y＝．

典型考题

【典型例题】
如图，已知抛物线C1：y＝﹣x2+4，将抛物线C1沿x轴翻折，得到抛物线C2
（1）求出抛物线C2的函数表达式；
（2）现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E．在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝x2﹣4（2）当m＝3时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形
【解析】
（1）∵抛物线C1的顶点为（0，4），
∴沿x轴翻折后顶点的坐标为（0．﹣4），
∴抛物线C2的函数表达式为y＝x2﹣4；
（2）存在
连接AN，NE，EM，MA，
依题意可得：M（﹣m，4），N（m，﹣4），
∴M，N关于原点O对称OM＝ON，
原C1、C2抛物线与x轴的两个交点分别（﹣2，0），（2，0），
∴A（﹣2﹣m，0），E（2+m，0），
∴A，E关于原点O对称，
∴OA＝OE
∴四边形ANEM为平行四边形，
∴AM2＝22+42＝20，
ME2＝（2+m+m）2+42＝4m2+8m+20，
AE2＝（2+m+2+m）2＝4m2+16m+16，
若AM2+ME2＝AE2，
∴20+4m2+8m+20＝4m2+16m+16，
解得m＝3，
此时△AME是直角三角形，且∠AME＝90，
∴当m＝3时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形．


【变式训练】
如图，抛物线轴的负半轴相交于点，将抛物线平移得到抛物线相交于点，直线于点，且.

(1)求点的坐标；
(2)写出一种将抛物线平移到抛物线的方法；
(3)在轴上找点，使得的值最小，求点的坐标.
【答案】(1)A(-2，0)，B(3，5)，C(8，10)；(2)先将向右平移5个单位，再向上平移5个单位得到；
(3)P(0， ).
【解析】
（1）M1：y=x2-4与x轴的负半轴相交于点A，

∴A（-2，0），
∵AB=BC，C（8，m），
∴，
设AB直线解析式为y=kx+b


，
∵y=x2-4与相交于点A和B，


∴m=10，
∴B（3，5），C（8，10）；
（2）∵抛物线M1平移得到抛物线M2，
∴a=1，
∵B（3，5），C（8，10）在抛物线y=x2+bx+c上，


∴y=x2-10+26=（x-5）2+1，
由M1平移得到抛物线M2先向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度；
（3）作点B关于y轴的对称点B'，连接CB'与y轴的交点即为P，
∴B'（-3，5），
设直线B'C的直线解析式为y=mx+n，



.

【能力提升】
已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）如果此抛物线上下平移后过点（﹣2，﹣1），试确定平移的方向和平移的距离．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）将抛物线向上平移4个单位．
【解析】
（1）把B（﹣1，0）和点C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）把x＝﹣2代入y＝﹣x2+2x+3得y＝﹣4﹣4+3＝﹣5，
点（﹣2，﹣5）向上平移4个单位得到点（﹣2，﹣1），
所以需将抛物线向上平移4个单位．
专题验收测试题

1．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣6
0
4
6
6
…
从上表可知，下列说法正确的有多少个
①抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）；
②抛物线与y轴的交点为（0，6）；
③抛物线的对称轴是直线x=；
④抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；
⑤在对称轴左侧，y随x增大而减少．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
的对称性，逐一判断．
【详解】
根据图表，抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），∴①正确；
根据图表，抛物线与y轴交与（0，6），②正确；
∵抛物线经过点（0，6）和（1，6），
∴对称轴为x=，
∴③正确；
设抛物线经过点（x，0），
∴x=
解得：x=3
∴抛物线一定经过（3，0），④正确；
在对称轴左侧，y随x增大而增大，∴⑤错误，
故选C.
2．如图，一条抛物线与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（点B在点A的右侧），其顶点P在线段MN上移动，M、N的坐标分别为（﹣1，2）、（1，2），x1的最小值为﹣4，则x2的最大值为（　　）

A．6 B．4 C．2 D．﹣2
【答案】B
【解析】
由题意可知，
当P在M点时，x1有最小值﹣4，
∵M的坐标分别为（﹣1，2），
∴x2＝2；
∴x2与对称轴的距离是3；
当P在N点时，x2有最大值，
∵N的坐标分别为（1，2），
∴x2的最大值为4.
故选B．
3．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x交于（1，1）和（3，3）两点，现有以下结论：①b2﹣4c＞0；②3b+c+6＝0；③当x2+bx+c＞时，x＞2；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0，其中正确的序号是（　　）

A．①②④ B．②③④ C．②④ D．③④
【答案】C
【解析】
∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，
∴b2﹣4ac＜0；
∴b2﹣4c＜0
故①不正确；
当x＝3时，y＝9+3b+c＝3，
即3b+c+6＝0；
故②正确；
把（1，1）（3，3）代入y＝x2+bx+c，得抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+3，
当x＝2时，y＝x2﹣3x+3＝1，y＝＝1，
抛物线和双曲线的交点坐标为（2，1）
第一象限内，当x＞2时，x2+bx+c＞；
或第三象限内，当x＜0时，x2+bx+c＞；
故③错误；
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，
∴x2+（b﹣1）x+c＜0．
故④正确；
故选：C．
4．定义运算“※”为：a※b=，如：1※（﹣2）=﹣1×（﹣2）2=﹣4．则函数y=2※x的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
解:y=2※x=，
当x>0时,图象是y=对称轴右侧的部分;
当x＜0时,图象是y=对称轴左侧的部分，
所以C选项是正确的.
5．若抛物线y＝ax2+2ax+4a(a＞0)上有A(，y1)、B(2，y2)、C(，y3)三点，则y1、y2、y3的大小关系为( ).
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
【答案】B
【解析】
解：抛物线的对称轴是x＝﹣1，开口向上，且与x轴无交点，
∴与对称轴距离越近的点对应的纵坐标越小．
A、B、C三点与对称轴距离按从小到大顺序是A、C、B，
∴y1＜y3＜y2，
故选：B．
6．下列函数是二次函数的是( ).
A．y＝2x B．y=+x
C．y＝x+5 D．y＝(x+1)(x﹣3)
【答案】D
【解析】
解：A、y＝2x，是一次函数，故此选项错误；
B、y＝+x，不是整式，故此选项错误；
C、y＝x+5，是一次函数，故此选项错误；
D、y＝(x+1)(x﹣3)，是二次函数，故此选项正确．
故选：D．
7．下列对二次函数的图象的描述，正确的是（　　）
A．经过原点
B．对称轴是y轴
C．开口向下
D．在对称右侧部分是向下的
【答案】A
【解析】
解：A、当x＝0时，y＝x2﹣x＝0，
∴抛物线经过原点，选项A正确；
B、∵,
∴抛物线的对称轴为直线，选项B不正确；
C、∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，选项C不正确；
D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线，
∴当时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．
故选：A．
8．已知函数y＝（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数y＝ax+b的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
解：∵y＝（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab，
∵抛物线的开口向上知二次项系数＞0，与y轴的交点为在y轴负半轴上，∴ab＜0，
∵对称轴在y轴的右侧，二次项系数大于0，
∴﹣（a+b）＞0．
∴a+b＜0，
∵a＞b，
∴a＞0，b＜0，
∴y＝ax+b的图象是C选项，
故选：C．
9．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点(﹣1，0)，以下结论：①2a+b＞0；②a+c＜0；③4a+2b+c＞0；④b2﹣5a2＞2ac．其中正确的是( )

A．①② B．③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【解析】
解：由图象可知a＜0，0＜﹣＜1，
∴b＜﹣2a，
∴2a+b＜0，所以①错误；
∵﹣＞0，a＜0，
∴b＞0，
当x＝﹣1时，y1＝a﹣b+c＝0，
∴a+c＝b＞0，所以②错误；
∵当x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0﹣﹣﹣﹣②，所以③正确；
∵过(﹣1，0)，代入得a﹣b+c＝0，
∴b2﹣2ac﹣5a2＝(a+c)2﹣2ac﹣5a2＝c2﹣4a2＝(c+2a)(c﹣2a)
又∵4a+2b+c＞0
4a+2(a+c)+c＞0
即2a+c＞0①
∵a＜0，
∴c＞0
则c﹣2a＞0②
由①②知(c+2a)(c﹣2a)＞0，
所以b2﹣2ac﹣5a2＞0，
即b2﹣5a2＞2ac，所以④正确．
故选：B．
10．二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(﹣2，﹣9a)，下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a(x+5)(x﹣1)＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝2有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有( )

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解析】
解：∵抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴，则c＜0，
∴abc＜0，所以①结论错误；
∵抛物线的顶点坐标(﹣2，﹣9a)，
∴﹣＝﹣2，＝﹣9a，
∴b＝4a，c＝﹣5a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2+4ax﹣5a，
∴4a+2b+c＝4a+8a﹣5a＝7a＞0，所以②结论正确，
5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a＝﹣4a＜0，故③结论错误，
∵抛物线y＝ax2+4ax﹣5a交x轴于(﹣5，0)，(1，0)，
∴若方程a(x+5)(x﹣1)＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故结论④正确，
若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，设方程ax2+bx+c＝1的两根分别为x1，x2，则＝﹣2，可得x1+x2＝﹣4，
设方程ax2+bx+c＝1的两根分别为x3，x4，则＝﹣2，可得x3+x4＝﹣4，
所以这四个根的和为﹣8，故结论⑤错误，
故选：A．
11．如图，与抛物线y＝x2﹣2x﹣3关于直线x＝2成轴对称的函数表达式为______．

【答案】y＝(x﹣3)2﹣4
【解析】
解：y＝x2﹣2x﹣3的顶点是（1，﹣4），
（1，﹣4）关于x＝2的对称点是（3，﹣4），
y＝x2﹣2x﹣3关于直线x＝2成轴对称的函数表达式为y＝（x﹣3）2﹣4，
故答案为：y＝（x﹣3）2﹣4．
12．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的一个根是2，且二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，则抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为_____．
【答案】（2，5）
【解析】
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，方程ax2+bx+c＝5的一个根是2，
∴当x＝2时，y＝ax2+bx+c＝5，
∴抛物线的顶点坐标是（2，5）．
故答案为：（2，5）．
13．二次函数 中，二次项系数为____，一次项是____，常数项是___
【答案】 -2x , 1
【解析】
∵y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项
∴ 中，二次项系数为，一次项是-2x，常数项是1.
故答案是：; -2x;1.
14．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1、3，与y轴负半轴交于点C．下面三个结论：①2a+b＝0；②a+b+c＞0；③只有当时，△ABD是等腰直角三角形；那么，其中正确的结论是_____．（只填你认为正确结论的序号）

【答案】①③
【解析】
解：①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴AB＝4，
∴对称轴x＝﹣＝1，
即2a+b＝0．
故选项正确；
②由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，而﹣＝1，
∴b＜0，
∵对称轴x＝1，
∴当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0．故选项错误；
③要使△ABD为等腰直角三角形，必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半；
D到x轴的距离就是当x＝1时y的值的绝对值．
当x＝1时，y＝a+b+c，
即|a+b+c|＝2，
∵当x＝1时y＜0，
∴a+b+c＝﹣2，
又∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴当x＝﹣1时y＝0，即a﹣b+c＝0，
x＝3时y＝0，即9a+3b+c＝0，
解这三个方程可得：b＝﹣1，a＝，c＝﹣，故选项正确．
故答案为：①③．
15．把二次函数y=x2+2x+3的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，就得到二次函数____的图象．
【答案】y=（x+2）2+1或y=x2+2x+5．
【解析】
∵y=x2+2x+3=（x+1）2+2，
∴抛物线y=x2+2x+3先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，
平移后的函数关系式是：y=（x+2）2+1或y=x2+2x+5．
故答案为：y=（x+2）2+1或y=x2+2x+5．
16．已知当2≤x≤3时，关于x的多项式x2﹣2kx+k2﹣k﹣1（k为大于2的常数）有最小值﹣2，则常数k的值为___．
【答案】4．
【解析】
解：x2﹣2kx+k2﹣k﹣1＝（x﹣k）2﹣k﹣1（k＞2），
①当2＜k≤3时，当x＝k时取最小值，
∴﹣k﹣1＝﹣2，
∴k＝2，不合题意；
②当k＞3时，当x＝3时取最小值，
∴9﹣6k+k2﹣k﹣1＝﹣2，
∴k＝4或2.5，
∵k＞3，
∴k＝4；
综上，k＝4；
故答案为：4．
17．已知二次函数y=a（x-m）2-a（x-m）（a，m为常数，且a≠0）．
（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）设该函数的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），且x12+x22=25，求m的值；
（3）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，且△ABC的面积为1，求a的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为-4或3；（3）a的值是±8．
【解析】
（1）证明：令y=0，a（x-m）2-a（x-m）=0，
△=（-a）2-4a×0=a2，
∵a≠0，
∴a2＞0，
∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）解：y=0，则a（x-m）2-a（x-m）=a（x-m）（x-m-1）=0，
解得x1=m，x2=m+1，
∵x12+x22=25，
∴m2+（m+1）2=25，
解得m1=-4，m2=3．
故m的值为-4或3；
（3）解：∵x1=m，x2=m+1，
∴AB=（m+1）-m=1，
y=a（x-m）2-a（x-m）=a（x-m-）2-，
△ABC的面积=×1×|-|=1，
解得a=±8．
故a的值是±8．
18．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE交x轴于点E，连接BD．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（2，2）．
【解析】
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，解得，
∴所求的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图，连接PC，PE．
抛物线的对称轴为x＝＝1．
当x＝1时，y＝4，
∴点D的坐标为（1，4）．
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
则，
解得．
∴直线BD的解析式为：y＝2x+6，
设点P的坐标为（x，﹣2x+6），又C（0，3），E（1，0），
则PC2＝x2+（3+2x﹣6）2，PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，
∵PC＝PE，
∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，
解得，x＝2，
则y＝﹣2×2+6＝2，
∴点P的坐标为（2，2）．

19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与直线y＝x﹣3交于点C（0，﹣3），直线y＝x﹣3与x轴交于点D．
（1）求该抛物线的解析式
（2）点P是抛物线上第四象限上的一个动点连接PC，PD，当△PCD的面积最大时，求点P的坐标；
（3）将抛物线的对称轴向左平移3个长度单位得到直线l，点E是直线l上一点，连接OE，BE，若直线l上存在使sin∠BEO最大的点E，请直接写出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）P（3，﹣）；（3）点E的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）.
【解析】
解：（1）用交点式函数表达式得：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），
即﹣8a＝﹣3，解得：a＝，
则函数的表达式为：；
（2）y＝x﹣3，令y＝0，则x＝2，即点D（2，0），

连接OP，设点P（x，），
S△PCD＝S△PDO+S△PCO﹣S△OCD
＝，
∵﹣＜0，∴S△PCD有最大值，
此时点P（3，﹣）；
（3）如图，经过点O、B的圆F与直线l相切于点E，此时，sin∠BEO最大，

过圆心F作HF⊥x轴于点H，则OH＝OB＝2＝OA，OF＝EF＝4，
∴HF＝2，过点E的坐标为（﹣2，﹣2）；
同样当点E在x轴的上方时，其坐标为（﹣2，2）；
故点E的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）．
20．已知抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），C三点．直线y＝mx+交抛物线于A，Q两点，点P是抛物线上直线AQ上方的一个动点，作PF⊥x轴，垂足为F，交AQ于点N．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，当点P运动到什么位置时，线段PN＝2NF，求出此时点P的坐标；
（3）如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）点P的坐标为（，）；（3）在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，此时G（﹣，）．
【解析】
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），
∴将点A和点B的坐标代入得： ，解得a＝﹣1，b＝1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．
（2）直线y＝mx+交抛物线与A、Q两点，把A（﹣1，0）代入解析式得：m＝，
∴直线AQ的解析式为y＝x+．
设点P的横坐标为n，则P（n，﹣n2+n+2），N（n， n+），F（n，0），
∴PN＝﹣n2+n+2﹣（n+）＝﹣n2+n+ ，NF＝n+．
∵PN＝2NF，即﹣n2+n+＝2×（n+），解得：n＝﹣1或．
当n＝﹣1时，点P与点A重合，不符合题意舍去．
∴点P的坐标为（，）．
（3）∵y＝﹣x2+x+2，＝﹣（x﹣）2+，
∴M（，）．
如图所示，连结AM交直线DE与点G，连结CG、CM此时，△CMG的周长最小．

设直线AM的函数解析式为y＝kx+b，且过A（﹣1，0），M（，）．
根据题意得： ，解得 ．
∴直线AM的函数解析式为y＝x+．
∵D为AC的中点，
∴D（﹣，1）．
设直线AC的解析式为y＝kx+2，将点A的坐标代入得：﹣k+2＝0，解得k＝2，
∴AC的解析式为y＝2x+2．
设直线DE的解析式为y＝﹣x+c，将点D的坐标代入得： +c＝1，解得c＝，
∴直线DE的解析式为y＝﹣x+．
将y＝﹣x+ 与y＝x+联立，解得：x＝﹣ ，y＝ ．
∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，此时G（﹣，）．
21．现有一次函数y＝mx+n和二次函数y＝mx2+nx+1，其中m≠0，
（1）若二次函数y＝mx2+nx+1经过点（2，0），（3，1），试分别求出两个函数的解析式．
（2）若一次函数y＝mx+n经过点（2，0），且图象经过第一、三象限．二次函数y＝mx2+nx+1经过点（a，y1）和（a+1，y2），且y1＞y2，请求出a的取值范围．
（3）若二次函数y＝mx2+nx+1的顶点坐标为A（h，k）（h≠0），同时二次函数y＝x2+x+1也经过A点，已知﹣1＜h＜1，请求出m的取值范围．
【答案】（1）y＝x﹣2，y=x2++1；（2）a＜；（3）m＜﹣2或m＞0．
【解析】
（1）将点（2，0），（3，1），代入一次函数y＝mx+n中，
，
解得，
∴一次函数的解析式是y＝x﹣2，
再将点（2，0），（3，1），代入二次函数y＝mx2+nx+1，
，
解得，
∴二次函数的解析式是．
（2）∵一次函数y＝mx+n经过点（2，0），
∴n＝﹣2m，
∵二次函数y＝mx2+nx+1的对称轴是x＝，
∴对称轴为x＝1，
又∵一次函数y＝mx+n图象经过第一、三象限，
∴m＞0，
∵y1＞y2，
∴1﹣a＞1+a﹣1，
∴a＜．
（3）∵y＝mx2+nx+1的顶点坐标为A（h，k），
∴k＝mh2+nh+1，且h＝，
又∵二次函数y＝x2+x+1也经过A点，
∴k＝h2+h+1，
∴mh2+nh+1＝h2+h+1，
∴，
又∵﹣1＜h＜1，
∴m＜﹣2或m＞0．
22．如图，在直角坐标系中，直线y＝x+1与x轴、y轴的交点分别为A、B，以x＝﹣1为对称轴的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，设抛物线的对称轴l与x轴交于一点D，连接PD，交AB于E，求出当以A、D、E为顶点的三角形与△AOB相似时点P的坐标；
（3）若点Q在第二象限内，且tan∠AQD＝2，线段CQ是否存在最小值？如果存在直接写出最小值，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）点P的坐标是（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存在，CQ的最小值为-.
【解析】
解：（1）∵直线y＝x+1与x轴交点为A，
∴点A的坐标为（﹣3，0），
∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴点C的坐标为（1，0），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、C，
∴抛物线为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为x＝﹣1，
∴点D的坐标为（﹣1，0），
①当∠ADE＝90°时，△ADE∽△AOB．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，坐标为（﹣1，4）；
②当∠AED＝90°时，△AED∽△AOB．
过点P作PG⊥AC于点G，则△AED∽△PGD．

于是＝＝＝，
∴PG＝3GD．
即：﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），
解得 t1＝﹣2，t2＝3（不合题意，舍去）．
当t＝﹣2时，﹣22+2×2+3＝3，
所以此时点P的坐标为（﹣2，3）．
综上所述，点P的坐标是（﹣1，4）或（﹣2，3）；
（3）存在，CQ的最小值为﹣，

如图，取点F（﹣1，1），过点ADF作圆，则点E（﹣2，）为圆心．
∵tan∠AFD＝2，
∴圆弧AFD（A、D除外）上的点都是满足条件的Q点．
连CE交⊙E于点Q，则CQ为满足条件的最小值，
此时CE＝＝，⊙E半径为，
∴CQ最小值为﹣．
故答案为：（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）点P的坐标是（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存在，CQ的最小值为-.