专题09 三角形-初升高数学衔接必备教材（解析版）

这是一份专题09 三角形-初升高数学衔接必备教材（解析版），共41页。试卷主要包含了5米，等内容，欢迎下载使用。

专题09三角形

高中必备知识点1：三角形的“四心”

三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.

如图3.2-1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.
三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.
三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.
三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.
过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.

典型考题

【典型例题】
如图，在⊙O中，AB是的直径，PA与⊙O 相切于点A，点C在⊙O 上，且PC＝PA，
（1）求证PC是⊙O的切线；
（2）过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，若CD＝PA＝2，
①求图中阴影部分面积；
②连接AC，若△PAC的内切圆圆心为I，则线段IE的长为 ．

【答案】（1）详见解析；（2）①S阴影＝． ②．
【解析】
（1）证明：连接OC､OP，
∵点C在⊙O上，
∴OC为半径．
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA．
∴∠PAO＝90°．
∵OC＝OA，
OP＝OP，
PC＝PA，
∴△PCO≌△PAO．
∴∠PCO＝∠PAO＝90°．
∴PC⊥OC．
∴PC是⊙O的切线．

（2）①作CM⊥AP于点M，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝ ，∠CEA＝90°．
∴四边形CMAE是矩形．
∴AM＝．
∴PM＝AM．
∴PC＝AC．
∵PC＝PA，
∴△PCA是等边三角形．
∴∠PAC＝60°．
∴∠CAB＝30°．
∴∠COE＝60°．
∴∠COD＝120°．
在Rt△COE中，
sin60°＝ ，
∴OC＝2．
∴S阴影＝π－．
②∵AP=2 ,AH=CE=
∴CH=AH=3
又∵I为正△PAC的内心
∴CI= CH=2
∴IE= = =

【变式训练】
已知菱形ABCD的边长为2．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。

（1）特殊发现：如图①，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．
①猜想验证：如图②．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
②拓展运用：如图③，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。
【答案】（1）见解析；（2）①外心P一定落在直线DB上，见解析；②为定值，.
【解析】
（1）证明：如图I，分别连接OE、0F

∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AD=DC=BC，
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．
∠ADO=∠ADC=×60°=30°，
又∵E、F分别为DC、CB中点
∴OE=CD，OF=BC，AO=AD，
∴0E=OF=OA ，
∴点O即为△AEF的外心，
（2）①猜想：外心P一定落在直线DB上，
证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，P J⊥AD于J

∴∠PIE=∠PJD=90°，∵∠ADC=60°
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°
∵点P是等边△AEF的外心，∴∠EPA=120°，PE=PA，
∴∠IPJ=∠EPA，∴∠IPE=∠JPA
∴△PIE≌△PJA， ∴PI=PJ，
∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上，
②为定值1.
当AE⊥DC时．△AEF面积最小，
此时点E、F分别为DC、CB中点．
连接BD、AC交于点P，由（1）
可得点P即为△AEF的外心，

解法：如图3．设MN交BC于点G
设DM=x，DN=y(x≠0．y≠O)，则 CN=
由BC∥DA 易证△GBP≌△MDP．∴BG=DM=x．
∴，
∵BC∥DA，∴△NCG∽△NDM
∴，∴
∴.
∴，即.

【能力提升】
定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心，例如：如图1，PD⊥AC，PE⊥AB，垂足分别为点D、E，若PD＝PE，则点P为△ABC的准内心

（1）应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准内心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度数．
（2）探究：如图3，已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准内心P在AC边上（不与点A、C重合），求PA的长．
【答案】（1）∠APB＝90°；（2）.
【解析】
（1）∵准内心P在高CD上，
∴①点P为∠CAD的角平分线与CD的交点，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠PAD＝∠PAC＝30°，
∵CD为等边三角形ABC的高，
∴AD＝DP，AD＝BD，
与已知PD＝AB矛盾，
∴点P不可能为∠CAD的角平分线与CD的交点，
同理可知②点P不可能为∠CBD的角平分线与CD的交点，
③∵CD⊥AB，
∴点P为∠BCA的平分线，
此时，点P到AC和BC的距离相等，
∵PD＝AB，
∴PD＝AD＝BD，
∴∠APD＝∠BPD＝45°，
∴∠APB＝90°；

（2）∵BC＝5，AB＝3，
∴AC＝＝4，
∵准内心在AC边上，（不与点A，B重合），
∴点P为∠CBA的平分线与AC的交点，
作PD⊥BC与点D，
∴PA＝PD，BD＝BA＝3，
设PA＝x，则x2+22＝（4﹣x）2，
∴x＝，即PA＝．



高中必备知识点2：几种特殊的三角形

结论一：等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上.
结论二：正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.

典型考题

【典型例题】
问题发现：如图1，△ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D作DE∥BC交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系？
拓展探究：如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明．
问题解决：如果△ABC的边长等于2，AD＝2，直接写出当△ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时BD的长．

【答案】问题发现：BD＝CE；拓展探究：结论仍然成立，见解析；问题解决：BD的长为2和2．
【解析】
问题发现：如图1,BD=CE,理由是
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,
∵DE∥BC,
∴BD=CE,
拓展探究：结论仍然成立,如图2,
由图1得,△ADE是等边三角形,
∴AD=AE,
由旋转得∠BAD=∠CAE,△BAD≌△CAE,(旋转的性质)
∴BD=CE,
问题解决：当△ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时,设垂足为点F,此时有两种情况: 

①如图3,
∵△ADE是等边三角形,AF⊥DE,
∴∠DAF=∠EAF=30°,
∴∠BAD=30°,
过D作DG⊥AB,垂足为G,
∵AD=2,
∴DG=1,AG=,
∵AB=2,
∴BG=AB-AG=,
∴BD=2（勾股定理）,
②如图4,

同理得△BAD≌△CAE,
∴BD=CE,
∵△ADE是等边三角形,
∴∠ADE=60°,
∵AD=AE,DE⊥AC,
∴∠DAF=∠EAF=30°,
∴EF=FD=AD=1,
∴AF=,
∴CF=AC+CF=2+=3,
在Rt△EFC中,EC=,
∴BD=EC=2.
综上所述,BD的长为2和2.

【变式训练】
如图，两条射线BA//CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，分别交AB，CD与点A，D．

（1）求∠BPC的度数；
（2）若，求AB+CD的值；
（3）若为a，为b，为c，求证：a+b=c．
【答案】（1）90°；（2）4；（3）证明见解析
【解析】
（1）∵BA∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°．
∵PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠BCD，∴∠PBC+∠PCB（∠ABC+∠BCD）=90°，∴∠BPC=90°；
（2）若∠BCD=60°，BP=2，∴∠ABC=180°－60°=120°，∠PCD∠BCD=30°，∴∠ABP∠ABC=60°．
在Rt△ABP中，BP=2，AB=1．在Rt△BCP中，CP=2．在Rt△PCD中，PD，CD=3，∴AB+CD=4．
（3）如图，作PQ⊥BC．
∵∠ABP=∠QBP，∠BAP=∠BQP，BP=BP．
∴△ABP≌△BQP（AAS）．
同理△PQC≌△PCD（AAS），∴S△BCP=S△BPQ+S△PQC=S△ABP+S△PCD，∴a+b=c．


【能力提升】
如图，△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB= ，BC=1，连结BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R．

(1)求证：△BFG∽△FEG
(2)求sin∠FBG的值．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【解析】
解：(1)依题可得：
BC=CE=EG=1，FG=AB=，
∴BG=3，
在△BFG和△FEG中，
∵，∠G=∠G，
∴△BFG∽△FEG.
(2)过点F作FH⊥BG于点H，如图，
，
则∠FHG=90°，
∵△FEG是等腰三角形，EG=1，
∴，
∴FH= ，
∵△BFG∽△FEG，
∴∠BFG=∠FEG=∠G，
∴BF=BG=3BC=3，
在Rt△FBH中，
∴sin∠FBG=.
专题验收测试题
1．如图，等边三角形的顶点A（1，1），B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，C点的对应点记为C1．如果这样连续经过2019次变换后，则C2019的坐标为（　　）

A．（﹣2017，﹣1﹣） B．（﹣2017，1+）
C．（﹣2018，﹣1﹣） D．（﹣2018，1+）
【答案】A
【解析】
解：∵△ABC是等边三角形，BC＝3﹣1＝2，
∴点C到x轴的距离为1+2×＝+1，其横坐标为2，
∴C（2， +1），
一次变换后顶点C的坐标为（1，﹣1﹣），
∵第2019次变换后的三角形在x轴下方，
∴点C的纵坐标为﹣1﹣，其横坐标为2﹣2019×1＝﹣2017，
∴经过2019次变换后，点C的坐标是（﹣2017，﹣1﹣），
故选：A．
2．如图，在正方形纸片ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，沿过点B的直线折叠，使点C落在EF上，落点为N，折痕交CD边于点M，BM与EF交于点P，再展开．则下列结论中：①CM＝DM；②∠ABN＝30°；③AB2＝3CM2；④△PMN是等边三角形．
正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
∵△BMN是由△BMC翻折得到的，
∴BN=BC，又点F为BC的中点，
在Rt△BNF中，sin∠BNF=，
∴∠BNF=30°，∠FBN=60°，
∴∠ABN=90°-∠FBN=30°，故②正确；
在Rt△BCM中，∠CBM=∠FBN=30°，
∴tan∠CBM=tan30°=，
∴BC=CM，AB2=3CM2故③正确；
∠NPM=∠BPF=90°-∠MBC=60°，∠NMP=90°-∠MBN=60°，
∴△PMN是等边三角形，故④正确；
由题给条件，证不出CM=DM，故①错误．
故正确的有②③④，共3个．
故选C．
3．如图，DE是线段AC的垂直平分线，下列结论一定成立的是（　　）

A．DE＝BD B．∠BCD＝∠A
C．∠B＞2∠A D．2∠BAC＝180°﹣2∠ADE
【答案】D
【解析】
解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴2∠BAC＝180°﹣2∠ADE，D正确，
故选：D．
4．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在C'处，BC'交AC于点E，若∠AEB＝75°，则∠BAC的度数为（　　）

A．.60° B．.65° C．.70° D．75°
【答案】B
【解析】
解：设AC交BD于O．

∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，∠ABC＝90°，
∴∠OCB＝∠OBC，
由翻折可知：∠EBO＝∠OBC，
∴∠EBO＝∠OBC﹣∠OCB，
∵∠AEB＝∠EBC+∠OCB＝3∠OCB＝75°，
∴∠OCB＝25°，
∴∠BAC＝90°﹣25°＝65°，
故选：B．
5．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AD，∠B=20°，则下列结论中错误的是（   ）

A．∠CAD=40°                   B．∠ACD=70°                  
C．点D为△ABC的外心          D．∠ACB=90°
【答案】A
【解析】试题分析：根据题意可知：MN是线段BC的中垂线，则CD=BD，∠DCB=∠B=20°，根据外角的性质可得：∠CDA=40°，根据CD=AD可得：∠CAD=∠ACD=70°，则∠ACB=90°，点D为△ABC的外心，故选A．
6．如图，锐角△ABC中，BC＞AB＞AC，求作一点P，使得∠BPC与∠A互补，甲、乙两人作法分别如下：

甲：以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于P点，则P即为所求.
乙：作BC的垂直平分线和∠BAC的平分线，两线交于P点，则P即为所求.
对于甲、乙两人的作法，下列叙述正确的是( )
A．两人皆正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．两人皆错误
【答案】A
【解析】
解：甲：如图1，∵AB＝BP，

∴∠BAP＝∠APB，
∵∠BPC+∠APB＝180°
∴∠BPC+∠BAP＝180°，
∴甲正确；
乙：如图2，过P作PG⊥AB于G，作PH⊥AC于H，

∵AP平分∠BAC，
∴PG＝PH，
∵PD是BC的垂直平分线，
∴PB＝PC，
∴Rt△BPG≌Rt△CPH（HL），
∴∠BPG＝∠CPH，
∴∠BPC＝∠GPH，
∵∠AGP＝∠AHP＝90°，
∴∠BAC+∠GPH＝180°，
∴∠BAC+∠BPC＝180°，
∴乙正确；
故选：A．
7．如图，把边长为4的正方形ABCD绕A点顺时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是( ).

A．12 B．8+ C．8+ D．8+
【答案】C
【解析】
解：如图，

∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝AD＝4，∠DAB＝90°
∵旋转
∴AB＝AB'＝AD＝4，∠BAB'＝30°
∴∠DAB'＝∠DAB﹣∠BAB'＝60°，
∵AD＝AB'，AO＝AO
∴Rt△AOB'≌Rt△AOD(HL)
∴∠DAO＝∠B'AO＝30°，DO＝B'O，
∴AD＝DO＝4
∴DO＝＝B'O
∴四边形AB′OD′的周长＝AD+AB'+DO+B'O＝8+
故选：C．
8．如图，已知∠BED＝55°，则∠B+∠C＝（　　）

A．30° B．35° C．45° D．55°
【答案】D
【解析】
解：∵∠BED是△BCE的外角，
∴∠BED＝∠B+∠C＝55°，
故选：D．
9．钓鱼是一项特别锻炼心性的运动，如图，小南在江边垂钓，河堤AB的坡度为1：2.4，AB长为3.9米，钓竿AC与水平线的夹角是60°，其长为4.5米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是60°，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为(　　)米．(参考数据：≈1.732)

A．1.732 B．1.754 C．1.766 D．1.823
【答案】C
【解析】
如图，延长CA交DB延长线与点E，过点A作AF⊥BE于点F，
则∠CED＝60°，
∵AB的坡比为1：2.4，
∴，则设AF＝5x，BF＝12x，
∵AB＝3.9米，
∴在直角△ABF中，由勾股定理知，3.92＝25x2+144x2．
解得x＝ ．
∴AF＝5x＝ ，BF＝12x＝
∴EF＝
∵∠C＝∠CED＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∵AC＝4.5米，
∴DE＝CE＝AC+AE＝4.5+ (米)，
则BD＝DE﹣EF﹣BF＝4.5+﹣≈1.766(米)，
答：浮漂D与河堤下端B之间的距离为1.766米．
故选：C．

10．已知：如图,在菱形ABCD中,F为边AB的中点,DF与对角线AC交于点G,过G作GE⊥AD于点E,若AB=2,且∠1=∠2,则下列结论：①DF⊥AB;②CG=3GA;③CG=DF+GE;④S四边形BFGC=−1中,说法正确的是( )

A．①③④ B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】C
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠FAG=∠EAG，∠1=∠GAD，AB=AD，
∵∠1=∠2，
∴∠GAD=∠2，
∴AG=GD，
∵GE⊥AD，
∴GE垂直平分AD，
∴AE=ED，
∵F为边AB的中点，
∴AF=AE，
在△AFG和△AEG中，
，
∴△AFG≌△AEG（SAS），
∴∠AFG=∠AEG=90°，
∴DF⊥AB，
∴①正确；
连接BD.

∵DF⊥AB，F为边AB的中点，
∴AF=AB=1，AD=BD，
∵AB=AD，
∴AD=BD=AB，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠BAD=∠BCD=60°，
∴∠BAC=∠1=∠2=30°，
∴AC=2AB•cos∠BAC=2×2×，
AG= ，
∴CG=AC-AG= ，
∴CG=2GA，
∴②不正确；
∵GE垂直平分AD，
∴ED=AD=1，
由勾股定理得：DF= ，
GE=tan∠2•ED=tan30°×1= ，
∴DF+GE=
∴③正确；
∵∠BAC=∠1=30°，
∴△ABC的边AC上的高等于AB的一半，即为1，
FG= ，
S四边形BFGC=S△ABC-S△AGF= ，
∴④不正确；
故选：C
11．如图，在一张长为8cm，宽为6cm的长方形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余的两个顶点在长方形的边上）．则剪下的等腰三角形的底边长可以是_____

【答案】5cm或2cm或4cm
【解析】
解：分三种情况讨论：
①如图1所示：BE＝BF＝5，
由勾股定理得：EF＝，
②如图2所示：
∵AE＝EF＝5，
∴BE＝6﹣5＝1，
∴BF＝ ，
∴AF＝ ，
③如图3所示，
∵AE＝EF＝5，
∴ED＝8﹣5＝3，
∴DF＝ ＝4，
∴AF＝ ，
所以剪下的等腰三角形的底边长为5cm或2 cm或4 cm；
故答案为：5cm或2cm或4cm．



12．如图，在中，平分，，点是的中点，连结,且，，则____ .

【答案】2
【解析】
解：如图，延长BD与AC相交于点F，
∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴∠DAB＝∠DAF，AD＝AD，∠ADB＝∠ADF，
∴△ADB≌△ADF，
∴AF＝AB，BD＝DF，
∵AB＝6，AC＝10，
∴CF＝AC−AF＝AC−AB＝10−6＝4，
∵E为BC中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE＝CF＝×4＝2．
故答案为：2.

13．如图，已知等边三角形OA1B1，顶点A1在双曲线（x＞0）上，点B1的坐标为（4，0）．过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过点A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B5的坐标为_____．

【答案】
【解析】
解：如图，作A2C⊥x轴于点C，设B1C＝a，则A2C＝a，
OC＝OB1+B1C＝4+a，A2（4+a，a）．
∵点A2在双曲线（x＞0）上，
∴（4+a）•a＝4，
解得a＝2﹣1，或a＝﹣2﹣2（舍去），
∴OB2＝OB1+2B1C＝4+4﹣4＝4，
∴点B2的坐标为（4，0）；
作A3D⊥x轴于点D，设B2D＝b，则A3D＝b，
OD＝OB2+B2D＝4+b，A3（4+b，b）．
∵点A3在双曲线（x＞0）上，
∴（4+b）•b＝，
解得b＝﹣2+2，或b＝﹣2﹣2（舍去），
∴OB3＝OB2+2B2D＝4﹣4+4＝4，
∴点B3的坐标为（4，0）；
同理可得点B4的坐标为（4，0）即（8，0）；
以此类推…，
∴点Bn的坐标为（4，0），
∴点B5的坐标为（4，0）．
故答案为（4，0）．

14．如图，PA切⊙O于点A，点B是线段PO的中点，若⊙O的半径为，则图中阴影部分的面积为_____．

【答案】
【解析】
解：如图，连接OA，AB．
∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP＝90°，
∵点B是线段PO的中点，
∴AB是直角三角形OAP斜边上的中线，
∴AB＝OB，
∵OB＝OA，
∴AB＝OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝，OP＝2，
∴AP＝＝3，
∴△OAP的面积＝，扇形AOB的面积＝＝，
图中阴影部分的面积为．
故答案为：．

15．如图，在矩形OABC中，点A和点C分别在x轴和y轴上，点B(9，6)．点D(5，0)，P从A点出发，沿A→B→C运动，在运动过程中，点P坐标为_____时，△ODP是等腰三角形．

【答案】(9，3)或(，6)
【解析】
解：∵四边形ABCO是矩形
∴AB∥OC，BC∥OA，BC＝OA，
∵点B(9，6)．点D(5，0)，
∴AB＝6，OA＝BC＝9，OD＝5，
∴AD＝4
若OD＝DP＝5，
∴AP＝＝3
∴点P(9，3)
若PO＝PD，即点P在OD的中垂线上，且在BC上，
∴点P(，6)
若OD＝OP＝5，则点P(0，5)，不合题意
故答案为：(9，3)或(，6)
16．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，点D在AB上，∠ACD＝15°，则（）2的值是_____．

【答案】2
【解析】
过点A作AE⊥BC于E，在AE上截取EF＝EC，连接FC，则△CEF为等腰直角三角形，

∵AB=AC，AE⊥BC，
∴，∠ACF=∠ACB-∠ECF=75°-45°=30°，,
在△ADC和△CFA中
，
∴△ADC≌△CFA，
∴AD＝CF，
由勾股定理得，
∴ .
∴
故答案为2．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°．
（1）作AC边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E（用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）；
（2）连接CE，求∠BCE的度数．

【答案】（1）详见解析；（2）62°．
【解析】
解：（1）如图，DE为所求；

（2）∵DE垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴∠ECA＝∠A＝28°．
∴∠BCE＝90°﹣∠ECA＝90°﹣28°＝62°．
18．如图，点F、B、E、C在同一直线上，并且BF=CE，∠ABC=∠DEF．能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC≌△DEF，并给出证明．
提供的三个条件是：①AB=DE；②AC=DF；③AC∥DF．

【答案】不能；见解析
【解析】
分析：由BF=CE可得EF=CB，再有条件∠ABC=∠DEF不能证明△ABC≌△DEF。
可以加上条件①AB=DE，利用SAS定理可以判定△ABC≌△DEF；加上条件③AC∥DF，利用ASA定理可以判定△ABC≌△DEF；加上条件②AC=DF，则不可以判定△ABC≌△DEF。（答案不唯一）　
解：不能；
选择条件：①AB=DE：
∵BF=CE，∴BF+BE=CE+BE，即EF=CB。
∵在△ABC和△DFE中，BF=CE，∠ABC=∠DEF，CB=EF，
∴△ABC≌△DFE（SAS）。

19．如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．
（1）求证：△ACB≌△BDA；
（2）若∠ABC＝36°，求∠CAO度数．

【答案】（1）证明见解析（2）18°
【解析】
（1）证明：∵∠D＝∠C＝90°，
∴△ABC和△BAD都是Rt△，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；
（2）∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠ABC＝∠BAD＝36°，
∵∠C＝90°，
∴∠BAC＝54°，
∴∠CAO＝∠CAB﹣∠BAD＝18°．
20．如图1，平面内有一点P到△ABC的三个顶点的距离分别为PA、PB、PC，若有PA2＝PB2+PC2则称点P为△ABC关于点A的勾股点．

（1）如图2，在4×5的网格中，每个小正方形的长均为1，点A、B、C、D、E、F、G均在小正方形的顶点上，则点D是△ABC关于点　 　的勾股点；在点E、F、G三点中只有点　 　是△ABC关于点A的勾股点．
（2）如图3，E是矩形ABCD内一点，且点C是△ABE关于点A的勾股点，
①求证：CE＝CD；②若DA＝DE，∠AEC＝120°，求∠ADE的度数．
（3）矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，E是矩形ABCD内一点，且点C是△ABE关于点A的勾股点，
①若△ADE是等腰三角形，求AE的长；②直接写出AE+BE的最小值．
【答案】（1）B，F；（2）①见解析，②∠ADE＝40°；（3）①AE的长为或，②AE+BE.
【解析】
解：（1）∵DA2＝12+22＝5，DB2＝12+32＝10，DC2＝DA2＝5
∴DB2＝DC2+DA2
∴点D是△ABC关于点B的勾股点
∵EA2＝42+42＝32，EB2＝22+52＝29，EC2＝4
∴点E不是△ABC的勾股点
∵FA2＝32+42＝25，FB2＝22+42＝20，FC2＝12+22＝5
∴FA2＝FB2+FC2
∴点F是△ABC关于点A的勾股点
∵GA2＝42+22＝20，GB2＝22+32＝13，GC2＝22+22＝8
∴点G不是△ABC的勾股点
故答案为：B；F．
（2）①证明：∵点C是△ABE关于点A的勾股点
∴CA2＝CB2+CE2
∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD，AD＝BC，∠ADC＝90°
∴CA2＝AD2+CD2＝CB2+CD2
∴CB2+CE2＝CB2+CD2
∴CE＝CD
②设∠CED＝α，则∠CDE＝∠CED＝α
∴∠ADE＝∠ADC﹣∠CDE＝90°﹣α
∵∠AEC＝120°
∴∠AED＝∠AEC﹣∠CED＝120°﹣α
∵DA＝DE
∴∠DAE＝∠DEA＝120°﹣α
∵∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°
∴2（120°﹣α）+（90°﹣α）＝180°
解得：α＝50°
∴∠ADE＝90°﹣50°＝40°
（3）①∵矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6
∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝5
∵点C是△ABE关于点A的勾股点
∴CE＝CD＝5
i）如图1，

若DE＝DA，则DE＝6
过点E作MN⊥AB于点M，交DC于点N
∴∠AME＝∠MND＝90°
∴四边形AMND是矩形
∴MN＝AD＝6，AM＝DN
设AM＝DN＝x，则CN＝CD﹣DN＝5﹣x
∵Rt△DEN中，EN2+DN2＝DE2；Rt△CEN中，EN2+CN2＝CE2
∴DE2﹣DN2＝CE2﹣CN2
∴62﹣x2＝52﹣（5﹣x）2
解得：x＝
∴EN＝，AM＝DN＝
∴ME＝MN﹣EN＝6﹣
∴Rt△AME中，AE＝
ii）如图2，

若AE＝DE，则E在AD的垂直平分线上
过点E作PQ⊥AD于点P，交BC于点Q
∴AP＝DP＝
AD＝3，∠APQ＝∠PQC＝90°
∴四边形CDPQ是矩形
∴PQ＝CD＝5，CQ＝PD＝3
∴Rt△CQE中，EQ＝
∴PE＝PQ﹣EQ＝1
∴Rt△APE中，AE＝
iii）如图3，

若AE＝AD＝6，则AE2+CE2＝AD2+CD2＝AC2
∴∠AEC＝90°
取AC中点O，则点A、B、C、D在以O为圆心、OA为半径的⊙O上
∴点E也在⊙O上
∴点E不在矩形ABCD内部，不符合题意
综上所述，若△ADE是等腰三角形，AE的长为或．
②当BE⊥AC时，AE+BE取得最小值．
过点E分别作ER⊥AB于点R，ES⊥BC于点S,

∴四边形BRES是矩形，∠EBS与∠ACB互余
∴∠EBS＝∠ACD
∴tan∠EBS＝tan∠ACD＝
∴tan∠EBS＝
设ES＝6a，BS＝5a，则BE＝，CS＝6﹣5a，AR＝5﹣6a
∵Rt△CES中，CS2+ES2＝CE2，即（6﹣5a）2+（6a）2＝52
解得：a1＝（舍去），a2＝，61a2﹣60a＝﹣11
∴Rt△ARE中，AE＝＝
∴AE+BE＝.
21．已知：如图①，将∠D＝60°的菱形ABCD沿对角线AC剪开，将△ADC沿射线DC方向平移，得到△BCE，点M为边BC上一点(点M不与点B、点C重合)，将射线AM绕点A逆时针旋转60°，与EB的延长线交于点N，连接MN．
(1)①求证：∠ANB＝∠AMC；
②探究△AMN的形状；
(2)如图②，若菱形ABCD变为正方形ABCD，将射线AM绕点A逆时针旋转45°，原题其他条件不变，(1)中的①、②两个结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．

【答案】(1)①证明见解析；②△AMN是等边三角形，理由见解析；(2)见解析.
【解析】
(1)如图1，①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠D＝60°，
∴△ADC和△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠NAM＝60°，
∴∠NAB＝∠CAM，
由△ADC沿射线DC方向平移得到△BCE，可知∠CBE＝60°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABN＝60°，
∴∠ABN＝∠ACB＝60°，
∴△ANB≌△AMC，
∴∠ANB＝∠AMC；
②如图1，△AMN是等边三角形，理由是：
由∴△ANB≌△AMC，
∴AM＝AN，
∵∠NAM＝60°，
∴△AMN是等边三角形；
(2)①如图2，∠ANB＝∠AMC成立，理由是：
在正方形ABCD中，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝45°，
∵∠NAM＝45°，
∴∠NAB＝∠MAC，
由平移得：∠EBC＝∠CAD＝45°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABN＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴∠ABN＝∠ACM＝45°，
∴△ANB∽△AMC，
∴∠ANB＝∠AMC；
②如图2，不成立，
△AMN是等腰直角三角形，理由是：
∵△ANB∽△AMC，
∴ ，
∴ ，
∵∠NAM＝∠BAC＝45°，
∴△NAM∽△BAC，
∴∠ANM＝∠ABC＝90°，
∴△AMN是等腰直角三角形．

22．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4．一动点P从点B出发，沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C即停止，在整个运动过程中，过点P作PD⊥BC与Rt△ABC的直角边相交于点D，延长PD至点Q，使得PD＝QD，以PQ为斜边在PQ左侧作等腰直角三角形PQE．设运动时间为t秒（t＞0）
（1）在整个运动过程中，判断PE与AB的位置关系是
（2）如图2，当点D在线段AB上时，连接AQ、AP，是否存在这样的b，使得AP＝PQ？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由；
（3）当t＝4时，点D经过点A：当t＝时，点E在边AB上．设△ABC与△PQE重叠部分的面积为S，请求出在整个运动过程中S与t之间的函数关系式，以及写出相应的自变量t的取值范围，并求出当4＜t≤时S的最大值．

【答案】（1）PE与AB互相垂直，理由详见解析；（2）t的值为；（3）详见解析.
【解析】
解：（1）结论：PE与AB互相垂直．
理由：如图1中，设PE交AB于K．

∵△ABC，△PQE都是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠EPQ＝45°，
∵PQ⊥BC，
∴∠BPQ＝90°，
∴∠EPB＝90°，
∴∠B+∠EPB＝90°，
∴∠PKB＝90°，
∴PE⊥AB．
（2）如图2中，过点A作AH⊥BC于点H．

∵Rt△ABC中，AB＝AC＝4
∴BC＝＝8，
∴AH＝BH＝CH＝4，
依题意得BP＝t．PH＝BH﹣BP＝4﹣t，
∴PA＝＝，
∵PD⊥BC，∠B＝45°，
∴PD＝BP＝t，PQ＝2PD＝2t，
∵PQ＝AP，
∴2t＝，
解得：t＝或（舍弃），
∴t的值为．
（3）如图3﹣1中，△ABC与△PQE的重叠部分为△PFD．

由题意可得△PFD、△BPD为等腰直角三角形，
∴BP＝PD＝t，
∴PF＝DF＝PD•cos45°＝t，
∴S＝•PF•DF＝（0＜t≤4）．
如图3﹣2中，△ABC与△PQE的重叠部分为四边形PDAF．

由题意可得△PFB、△PDC为等腰直角三角形，
∵BP＝t，PC＝BC﹣PB＝8﹣t，
∴BF＝PF＝t，DP＝PC＝8﹣t，
∴S＝S△ABC﹣S△PFB﹣S△PDC
＝×4×4﹣×t×t﹣•（8﹣t）•（8﹣t）
＝﹣t2+8t﹣16（4＜t≤）
＝﹣（t﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当x＝时，S有最大值．
如图3﹣3中，△ABC与△PQE的重叠部分为四边形FEPD．

∵CP＝PD＝8﹣t，
∴QD＝PD＝8﹣t，PQ＝16﹣2t，
由题意可得△QDF为等腰直角三角形
∴QF＝（8﹣t），QE＝（16﹣2t），
∴S＝S△PQE﹣S△QDF
＝×（16﹣2t）•（16﹣2t）﹣×（8﹣t）×（8﹣t）
＝﹣12t+48（＜t≤8）．