2020年初升高数学衔接课程第2讲集合间的基本关系（教师版含解析）练习题

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第2讲集合间的基本关系你能发现下面这两个集合之间的关系么？，子集：一般地，对于两个集合，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合是集合的子集，记作(或)，读作“包含于”(或“包含”).(反面：与)我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为图(如下图所示): 集合相等：如果集合是集合的子集，且集合是集合的子集，则集合和集合中的元素是一样的，因此集合与集合相等，记作. 真子集：若集合，但存在元素，且，就称集合是集合的真子集，记作⫋(或⫋)，读作“真包含于”(或“真包含”). 空集：不含任何元素的集合称为空集，记作. 规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集. 例1.用适当的符号填空：①0 ； ② ； ③ ； ④ ；⑤0 ； ⑥ ； ⑦ ； ⑧ .【答案】①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.【解析】元素与集合间的关系分为“属于”与“不属于”两种，集合间的关系分为“包含于”与“相等”两种. 例2.下列表述正确的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】空集是任何集合的子集，所以A、D错误，B正确；集合之间不存在“属于”关系，C错误. 例3.写出下列集合的所有子集：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】(1)；(2)；(3)；(4)结论：若一个集合包含个元素，则其子集数为个，其真子集数为个.【答案】. 例4.已知集合满足，写出集合的所有可能情况.【答案】. 例5. (1) 已知集合，，试用列举法写出集合，并指出与的关系；(2) 已知集合，，试用列举法写出集合，并指出与，与的关系.【答案】(1)，；(2)，且，.【解析】(1)由于中的元素都是中的元素，所以，；(2)由于中的元素是且，所以中的元素是集合，并且是的子集，所以.，因为是中的元素；同时，因为空集是任何集合的子集.是中的元素，所以. 例6. (1) 若集合，，是的真子集，求的值.(2)设集合，，若，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】(1)，⫋，的解为或2或无解.当的解为时，由得；当的解为2时，由得；当无解时，.综上所述，；（2），，或⫋.当，即时，则，0是方程的两根，由韦达定理得，解得；当⫋时，分两种情况：①若，则，解得；②若，则方程有两个相等的实数根，，解得，此时，满足题意.综上所述，的取值范围为. 例7. (1) 己知集合，，且，则实数的取值范围为________.(2) 已知集合，，且，则实数的取值范围为__________.(3) 已知集合，，且，则实数的取值范围为__________.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】(1)由已知条件得，解得，所以的取值范围为；(2)由已知条件得，解得，所以的取值范围为；(3)，，且，当时，，解得；当时，无解；综上所述，的取值范围为. 跟踪训练已知集合，，则使成立的实数的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知条件得，解得，故选C. 对于集合，“”不成立的含义是( )A.是的子集 B.中的元素都不是的元素C.中最少有一个元素不属于 D.中至少有一个元素不属于【答案】C【解析】“”成立的含义是集合中的任何一个元素都是的元素，不成立的含义是中至少有一个元素不属于. 若集合中只有一个元素，则实数( )A. B. C.0 D.0或【答案】D【解析】依题意方程只有一个解，当时，方程为，只有一个解，满足题意；当时，则，.综上所述，，故选D. 集合的真子集个数为__________.【答案】7【解析】，所以其真子集个数为7. 设集合，，若，则实数的取值范围__________.【答案】设集合，，若，求实数的值.【答案】或0【解析】依题意或，当时，解得或2；当时，解得或2，，且，或0. 已知集合，，若,求实数的取值范围.【答案】.【解析】，，且，当时，，解得；当时，，解得，综上所述，的取值范围为. 集合，，则下列关系中，正确的是( )A.⫋ B.⫋ C. D.无法确定两者关系【答案】A【解析】，，所以⫋ ，选A. 已知，，则下列关系中，正确的是( ) A.⫋ B. C.⫋ D.无法确定两者关系【答案】B【解析】若，则，当时，；当时，，所以.若，则，当时，，所以；当时，，所以，所以.综上所述，，故选B. 设是整数集的一个非空子集，对于，若且，则是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个.【答案】7【解析】依题意可知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，不含“孤立元”说明中的三个数必须连在一起，所以符合题意的集合是，，，，，，共7个. 已知集合，.若且⫋ ，试求实数的值.【答案】或.【解析】，且⫋ ，或.当时，，解得；当时，，解得.综上所述，或.