2021-2022学年河北省张家口市第一中学高二上学期12月月考数学试题含解析

2021-2022学年河北省张家口市第一中学高二上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．数列，，，，，，的一个通项公式为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据数列每项的绝对值组成等差数列进行求解即可.

【详解】∵数列{an}各项值为，，，，，，

∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴|an|＝2n﹣1

又∵数列的奇数项为负，偶数项为正，∴an＝（﹣1）n（2n﹣1）.

故选：C

2．已知双曲线（，）的一条渐近线的斜率为，则该双曲线的离心率为（　　）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【分析】根据双曲线的渐近线斜率公式可知，再根据双曲线的离心率，即可求出结果.

【详解】由双曲线（，）的一条渐近线的斜率为，可知，

所以该双曲线的离心率为.

故选：D.

3．在数列中，若，，则数列的通项公式为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知可得是首项为，公差为的等差数列，从而先利用等差数列的通项公式求出，进而可求出

【详解】解：因为，

所以，

所以是首项为，公差为的等差数列，

所以，

所以.

故选：A.

【点睛】此题考查等差数列的判定和基本量的计算，属于基础题.

4．已知数列满足，，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】应用累加法求得，结合基本不等式及数列的性质有或时有的最小值，进而比较它们的大小即可确定答案.

【详解】由题设，，

∴，

∴，又，则，

∴，当且仅当时等号成立，而，

∴当时，；当时，.

∴的最小值为.

故选：A.

5．若过原点的直线与圆有两个交点，则的倾斜角的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先由圆的方程确定圆心和半径，得到直线的斜率存在，设直线的方程为，根据直线与圆的位置关系列出不等式求解，得出斜率的范围，进而可得倾斜角的范围.

【详解】由得，

所以圆的圆心为，半径为，

因此为使过原点的直线与圆有两个交点，直线的斜率必然存在，

不妨设直线的方程为：，即

则有，即，整理得，解得，

记的倾斜角为，则，

又，所以.

故选：C.

6．已知双曲线与抛物线有共同的焦点，且点到双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线的方程为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，可得，求出渐近线方程，利用点到直线距离公式列关于的方程，解方程组即可得到结果.

【详解】抛物线的焦点坐标为,

可得双曲线的焦点为,

化为 ,得,

双曲线的一条渐近线方程为，

由点到双曲线渐近线的距离等于1，

得 , 即，①

又 ，即，②

联立①②解得，

双曲线的方程为，故选A .

【点睛】本题主要考查抛物线、双曲线的方程及简单性质,是中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.

7．已知A，B是过抛物线的焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足，，则（       ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】A

【分析】由，得到，得出点为的中点，求得，结合题设条件和，列出方程，即可求解.

【详解】不妨设直线的斜率，过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，

过作于点，

因为，可得，即，

所以点为的中点，即，所以，

又由，

因为，即，解得.

故选：A.

8．已知数列是各项均不为的等差数列,为其前项和,且满足.若不等式对任意的恒成立,则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由题意知，则，

当为偶数时,由，得，即，

因为，所以；

当为奇数时,原不等式等价于，

因为，故，即，

综上,实数 的取值范围是，故选C.

点睛：本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题．本题反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，把数列的知识和不等式的恒成立相结合，有效地考查了对知识的综合应用能力.

二、多选题

9．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是　　

A．

B．数列是等比数列

C．

D．数列是公差为2的等差数列

【答案】ABC

【分析】由，，，，公比为整数．解得，．可得，，进而判断出结论．

【详解】解：，，，，公比为整数．

解得．

，．

，数列是公比为2的等比数列．

．

．数列是公差为的等差数列．

综上可得：只有ABC正确．

故选：ABC．

10．下列说法正确的是（       ）

A．直线的倾斜角的取值范围为

B．“”是“点到直线距离为3”的充要条件

C．直线恒过定点

D．直线与直线平行，且与圆相切

【答案】ACD

【分析】利用斜截式方程求解直线的倾斜角的范围判断；利用点到直线的距离判断；直线系恒过的点的判断；直线的平行与圆的位置关系判断.

【详解】解：直线的倾斜角，可得，，所以的取值范围为，，，所以正确；

“点到直线距离为3”，可得．解得，，

所以“”是“点到直线距离为3”的充分不必要条件，所以不正确；

直线恒过定点，所以正确；

直线即与直线平行，，所以直线与圆相切，所以正确；

故选：ACD．

11．已知为等差数列的前n项和，且，，，记数列的前n项和为，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式可判断AB选项，由裂项求和法可判断CD选项.

【详解】设数列的公差为d，则由题意得

解得，，∴A错误，B正确；

，C错误；

∴数列的前10项和为，D正确.

故选：BD.

12．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（       ）

A．点的坐标为

B．若，，三点共线，则

C．若直线与的斜率之积为，则直线过点

D．若，则的中点到轴距离的最小值为2

【答案】BCD

【分析】根据抛物线的标准方程，求得焦点的坐标，可判定A错误；设直线的方程为，根据韦达定理和向量的运算，可判定B正确；设直线的方程为，根据直线的斜率公式、弦长公式等，可判定C、D正确.

【详解】由抛物线，可得，则焦点坐标为，故A错误；

设直线的方程为，

联立方程组，可得，所以，

所以，

所以，故B正确；

设直线的方程为，

联立方程组，可得，所以，

所以，

因为直线与的斜率之积为，即，可得，解得，

所以直线的方程为，即直线过点，故C正确；

因为，

所以，所以，

因为，

所以的中点到轴的距离：

，当且仅当时等号成立，

所以的中点到轴的距离的最小值为2，故D正确，

综上所述，正确命题为BCD.

故选：BCD.

【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及几何性质，以及直线与抛物线的位置关系的应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．

三、填空题

13．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．

【答案】.

【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．

【详解】设等比数列的公比为，由已知，所以又，

所以所以．

【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．

14．焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则实数k的值为___________.

【答案】1

【分析】根据给定条件确定椭圆长短半轴长，再利用椭圆离心率计算公式列式计算得解.

【详解】因椭圆的焦点在x轴上，其长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，离心率为e，

于是得，，因此有：，解得，

所以实数k的值为1.

故答案为：1

15．已知递增数列满足，且，，则___________.

【答案】55

【分析】根据题设知为等比数列且，再由已知条件求出等比数列基本量并写出等比数列通项公式，最后由对数的运算性质求目标式的值.

【详解】由题设，显然，则，故为等比数列且，

∴，，解得：或（舍），

∴，则.

故答案为：55.

四、双空题

16．已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.

【答案】         

【分析】不妨假设，根据图形可知，，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率．

【详解】

如图所示：不妨假设，设切点为，

，

所以, 由，所以，，

于是，即，所以．

故答案为：；．

五、解答题

17．如图，过抛物线的焦点作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于两点.

（I）用表示；

（Ⅱ）若求这个抛物线的方程

【答案】（I）4p;（Ⅱ）

【解析】【详解】试题分析：（1）将直线方程与抛物线方程联立方程组，利用根与系数的关系和抛物线的定义得出；

（2）利用根与系数的关系用表示出 ，根据列方程解出，从而得出抛物线方程．

试题解析：（I）抛物线的焦点为,

过点且倾斜角为的直线方程为，

设，由

得，

（Ⅱ）由（I）知，

，

，

解得

这个抛物线的方程为

18．去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.记从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列.

(1)求数列和数列的通项公式；

(2)为了确定处理生活垃圾的预算，请求出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.（参考数据，，）

【答案】(1)，

(2)，今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨

【分析】（1）由题意，分析得到数列是以20(1+5%)为首项，1+5%为公比的等比数列，由此求解即可；

（2）利用等差数列与等比数列的求和公式列式求解即可.

(1)

由题意，从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列，

∴是以20(1+5%)为首项，1+5%为公比的等比数列；是以为首项，1.5为公差的等差数列，

∴，.

(2)

设今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为，

∴，

当时，.

∴今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.

19．点在椭圆：上，且点到椭圆两焦点的距离之和为．

(1)求椭圆的方程；

(2)已知动直线与椭圆相交于两点，若，求证：为定值

【答案】（1）（2）

【解析】【详解】试题分析：（1）利用椭圆的定义和点在椭圆上进行求解；（2）联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的数量积定义进行求解.

试题解析：（1）解得即椭圆的方程为

（2）设，联立得．

，

20．已知数列满足，.

（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和

【答案】（1）见解析（2）

【分析】（1）将式子合理变形，即可化成，从而证明是以首项为2，公比为2的等比数列，并利用等比数列通项公式求出的通项公式.

（2）由数列的通项公式是由等比数列与等差数列通项公式乘积得到，即可判断其可运用错位相减法求解前n项和.

【详解】（Ⅰ）证明：由题意可得： ，则，又

故是以首项为2，公比为2的等比数列，

所以，故

（2）由（1）知

【点睛】本题主要考查了等比数列的证明，以及错位相减法的运用，属于中档题.对于等比数列的证明主要有两种方法：（1）定义法，证得即可，其中为常数；（2）等比中项法：证得即可.

21．等比数列的各项均为正数，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可；

（2）由an＝化简bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，可得到bn的通项公式，求出的通项公式，利用裂项相消法求和.

【详解】（1）设数列{an}的公比为q,

由＝9a2a6得＝9,

所以q2＝.由条件可知q＞0,故q＝.

由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝.

故数列{an}的通项公式为an＝.

（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－.

故.

所以数列的前n项和为

22．在平面直角坐标系xOy中，有三条曲线：①；②；③.请从中选择合适的一条作为曲线C，使得曲线C满足：点F(1，0)为曲线C的焦点，直线y=x-1被曲线C截得的弦长为8.

（1）请求出曲线C的方程；

（2）设A，B为曲线C上两个异于原点的不同动点，且OA与OB的斜率之和为1，过点F作直线AB的垂线，垂足为H，问是否存在定点M，使得线段MH的长度为定值?若存在，请求出点M的坐标和线段MH的长度；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）；

【解析】（1）利用焦点以及弦长排除①②，从而可得，进而求出抛物线.

（2）、的斜率存在且不为，不可能是斜率为的直线，设方程：，与抛物线联立，设，，利用韦达定理求出，再将、方程联立，求出交点，过点，观察两个定点，，由，根据直角三角形的性质即可证出.

【详解】（1）对于②，，故排除②；

假设①为曲线C，则有，解得，

将直线代入，整理可得，

解得，此时弦长为，故排除①；

所以曲线C为③，

则，解得，

所以曲线C的方程为.

（2）易知、的斜率存在且不为，不可能是斜率为的直线，

设方程：，代入，

可得，，

设，，

则，，

且，解得，

联立、方程，即，解得，

，

已知过点，不妨猜测可能为，

则，此时不满足为定值，

观察两个定点，，

由于，故在以为直径的圆上，

的中心为圆心，圆心到的距离恒为.

 中点为，，

所以定点M，线段MH的长度为定值，且 .

【点睛】关键点点睛：根据焦点以及弦长确定曲线C，解题的关键是求出直线过点，围绕以及焦点，进行求解，考查了考生的计算求解能力.