2021-2022学年安徽省定远中学高二上学期第一次月考数学（理）试题含解析

2021-2022学年安徽省定远中学高二上学期第一次月考

数学（理）试题

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1．已知空间向量，共线，则实数的值是（    ）

A．-3 B．2 C．-3或2 D．3或-2

2．已知向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成的角为（          ）

A． B． C． D．

3．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是（    ）

A．x－y＋1＝0 B．x－y－＝0

C．x＋y－＝0 D．x＋y＋＝0

4．已知直线绕与x轴交点旋转过程中始终与动直线垂直，当直线逆时针旋转75°时，则直线沿与向量共线的方向平移4个单位长度后的直线的方程为（    ）

A．

B．

C．或

D．或

5．已知等腰直角三角形三个顶点，和，P为的中点，一质点从点P出发，经，反射后又回到点P（如图），则的周长为（    ）

A． B．3 C． D．4

6．已知直线，，若，则（    ）

A． B．2 C． D．2或

7．已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线段MN上，且MP=2PN，设向量，，，则= （    ）

A． B．

C． D．

8．如果直线的斜率是k，在y轴上的截距为b，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9．点P是棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的值可能是（    ）

A．－3 B． C．－2 D．－1

10．正方体的棱长为a，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

11．对于直线：，下列说法错误的是（    ）

A．直线恒过定点 B．直线斜率必定存在

C．时直线的倾斜角为 D．时直线与两坐标轴围成的三角形面积为

12．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（    ）

A．

B．平面

C．向量与的夹角是60°

D．直线与AC所成角的余弦值为

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13．过点且与直线平行的直线方程为___________

14．已知，，则___________.

15．已知，分别是直线，的方向向量，那么“，不平行”是“，异面”的________条件．（填“必要不充分”“充分不必要”“充要”或“既不充分也不必要”）

16．唐代诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马徬交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望峰火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短路程为___________.

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（10分）已知、.

（1）当时，求直线的方程；

（2）当，求直线的倾斜角的取值范围．

18．（12分）直线经过定点，点在直线上，且.

（1）当直线绕着点转动时，求点的轨迹的方程．

（2）已知点，是轨迹上一个动点，是直线上的一个动点，求的最小值.

19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，点、分别为、的中点，且，．

（1）证明：平面；

（2）设直线与平面所成角为，当时，求二面角的大小．

20．（12分）在中，，边上的高所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为.

（1）求点坐标；

（2）求直线的方程.

21．（12分）已知直线与直线交于点P．

（Ⅰ）直线过点P且平行于直线，求直线的方程；

（Ⅱ）直线经过点P，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，直线的方程．

（注：结果都写成直线方程的一般式）

22．（12分）已知空间中三点，，，设，.

（1）若，且，求向量；

（2）已知向量与互相垂直，求的值；

（3）若点在平面上，求的值.

参考答案

1．C

【详解】由题意存在实数，使得，即，

∴，解得或．故选：C.

2．A

【详解】

，故向量夹角为，

则直线与平面所成的角为.故选：A.

3．D

【详解】由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.

又直线过点(－1，0)，所以方程为y＝－ (x＋1)，即x＋y＋＝0.故选：D.

4．D

解：直线的斜率，倾斜角为，将直线逆时针旋转，可得直线的倾斜角为，所以旋转后直线的斜率，因为旋转后的直线与直线垂直，所以，所以，所以，因为，所以将直线沿与向量共线的方向平移4个单位长度后的直线的方程为或，即或；故选：D

5．C

【详解】由题意可知，，

记P关于对称的点为，设P关于对称的点为，

所以 ，解得，所以

由对称性知，，

所以，

易知当，Q，R，四点共线时，的值最小.

所以.

故选：C

6．A

【详解】

因为，所以，解得.故选：A.

7．C

【详解】

由题意，

=+=×(+)+×=故选：C

8．B

【详解】因为直线，

所以可得：，

故直线斜率为，在轴上的截距.

故选：B

9．CD

如图建系：

因为P在底面A1B1C1D1内，所以设，

又，

所以，

所以，

因为，

所以的最小值为-2，最大值为0，

所以的值可能是-2，-1.故选：CD

10．BC

【详解】

建立如图所示空间直角坐标系：

则，

，

所以，故A错误；

，故B正确；

，故C正确；

，故D错误；故选：BC

11．BC

【详解】

A：由直线方程知：恒过定点，正确；

B：当时，直线斜率不存在，错误；

C：时有，即，则倾斜角为，错误；

D：时，直线，则x、y轴交点分别为，所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，正确；

 故选：BC.

12．BD

【详解】

解：对于，

，

所以，选项错误；

对于

，所以，即，

，所以，即，因为，平面，所以平面，选项正确；

对于：向量与 的夹角是，所以向量与的夹角也是，选项错误；

对于，

所以，

，

同理，可得

，

所以，所以选项正确．

故选：BD．

13．

【详解】

由直线方程可得该直线的斜率为，

则与直线平行的直线的斜率为，

又直线过，

由直线方程的点斜式得直线方程为,

化为一般式得：，

故答案为：

14．##

【详解】

∵，，

∴，，

∴.

故答案为：.

15．必要不充分

【详解】若，不平行，则，相交或异面，

若，异面，则，不平行.

所以“，不平行”是“，异面”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分.

16．

【详解】如图所示：

设点B关于直线的对称点，

则，解得，即，

则，

即 “将军饮马”的最短路程为

故答案为：

17．（1）；（2）.

【详解】

（1）当时，点，则直线的斜率为，

因此，直线的方程为，即；

（2）直线的斜率为，

，，所以，，

因此，直线的倾斜角的取值范围是.

18．（1）；（2）.

【详解】（1），因为，

则，所以，

.

（2）圆的方程为：，圆心；设关于直的对称的为，则 ，可得，所以，

连接线段交圆于点，交直线于点，

则，

当且仅当，，，共线时，达到最小值，

因为，所以.

19．【详解】（1）因为四边形为平行四边形，则，

，则，所以，，

平面，以点A为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设，则、、、、、，

则，设平面的法向量为，

，，

，取，可得，

，

因为平面，平面；

（2）设平面的法向量为，，，

，取，得，

，，解得，

所以，，

易知平面的一个法向量为，

，

设二面角的平面角为，由图知为锐角，.

20．（1）；（2）

【详解】（1）由边上的高所在的直线方程为可得，

所以，

因为，所的方程为：，即，

由可得，所以点坐标为；

（2）设，则的中点，

所以，解得：，所以，

所以，

所以直线的方程为：，即.

21．（Ⅰ）；（Ⅱ）或．

解：（Ⅰ）根据题意，设直线的方程为，

，解可得，则P的坐标为，

P在直线上，则有，解可得，

则直线的方程为；

（Ⅱ）直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线不通过原点，且其斜率为1或，又∵直线经过点P，

∴若直线l2的斜率为1，则直线l2的方程为，即；

若直线l2的斜率为，则直线l2的方程为，即.

综合可得：直线l2的方程为或．

22．（1）或；（2）；（3）.

解：（1），因为，所以存在实数，使得.

又，所以，解得.

所以或.

（2）由已知，，

因为与互相垂直，故即，

故即.

（3）因为点在平面上，故存在，使得，

又，所以，解得.

故.