2021-2022学年广东省梅州市高二上学期期末考试数学试题含答案

广东省梅州市2021-2022学年高二上学期期末考试数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.作答必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题

1. 直线的倾斜角为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知空间向量，，若，则实数的值是（    ）．

A.  B. 0 C. 1 D. 2

3. 设函数在R上可导，则（   ）

A.  B.  C.  D. 以上都不对

4. 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（　　）

A.  B.

C.  D.

5. 等差数列的前项和，若，则

A. 8 B. 10 C. 12 D. 14

6. 直线与圆位置关系是（   ）

A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定

7. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（    ）

A.  B.

C.  D.

8. 设函数，，，则（   ）

A.  B.

C.  D.

二、多项选择题

9. 若，方程表示的曲线可以是（   ）

A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线

10. 若构成空间一个基底，则下列向量共面的是（   ）

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

11. 已知函数，下列说法正确的有（   ）

A.  B. 只有一个零点

C. 有两个零点 D. 有一个极大值点

12. 正方体的棱长为，，，分别为，，的中点．则(    )

A. 直线与直线垂直 

B. 直线与平面平行

C. 平面截正方体所得的截面面积为 

D. 点与点到平面的距离相等

三、填空题

13. 双曲线 的离心率为__________．

14. 某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的关系为，则当s时，弹簧振子的瞬时速度为_________ mm/s.

15. 已知点F是抛物线焦点，点，点P为抛物线上的任意一点，则的最小值为_________.

16. 平面内n条直线两两相交，且任意三条直线不过同一点，将其交点个数记为，若规定，则，，_________，_________，（用含n的式子表示）

四、解答题

17. （1）求函数的单调区间.

（2）用向量方法证明：已知直线l，a和平面，，，，求证：.

18. 已知圆M经过原点和点，且它的圆心M在直线上.

（1）求圆M的方程；

（2）若点D为圆M上的动点，定点，求线段CD的中点P的轨迹方程.

19. 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，….（参考数据：，，.）

（1）写出一个递推公式，表示与之间的关系；

（2）将（1）中的递推关系表示成的形式，其中k，r为常数；

（3）求的值（精确到1）.

20. 如图，在正方体中，E，F，G，H，K，L分别是AB，，，，，DA各棱的中点.

（1）求证：E，F，G，H，K，L共面：

（2）求证：平面EFGHKL；

（3）求与平面EFGHKL所成角的余弦值.

21. 如图，分别是椭圆C：的左，右焦点，点P在椭圆C上，轴，点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且，.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知M，N是椭圆C上的两点，若点，，试探究点M，，N是否一定共线？说明理由.

22. 已知函数， .

（1）若函数与在x=1处的切线平行，求函数在处的切线方程；

（2）当时， 若恒成立，求实数a的取值范围.

答案

1-8 ACBCC BBA  9.ACD  10.ABD  11.BD  12.BC

13【答案】

14【答案】0

15【答案】3

16【答案】    ①. 6；    ②. .

17【答案】（1）的单调减区间为和，单调增区间为；

（2）证明：在直线a上取非零向量，

因为，所以是直线l的方向向量，

设是平面的一个法向量，因为，所以.

又，所以.

18【答案】（1）.   

（2）.

19【答案】（1）   

（2）   

（3）10626

20【答案】【小问1详解】

证明：以D为原点，分别以DA，DC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

不妨设正方体的棱长为2.

则，，，，，，，.

可得，，，，，.

可得，，，，，

所以，，，，共面，又它们过同一点E,

所以E，F，G，H，K，L共面.

【小问2详解】

证明：由（1）得，，

又

故，，又，

所以平面LEF，即平面EFGHKL.

【小问3详解】

由（2）知，是平面EFGHKL的一个法向量，

设与平面EFGHKL所成角为，

，,

.

所以,

所以与平面EFGHKL所成角的余弦值为.

21【答案】（1）   

（2）当轴时，，设，，

则

由已知条件和方程，可得，

整理得，，

解得或.

由于，所以当时，点M，，N共线；

所以当时，点M，，N不共线.

所以点M，，N不一定共线.

22【答案】（1）；（2）.