2021-2022学年四川省乐山市高二上学期期末数学（文）试题含解析

这是一份2021-2022学年四川省乐山市高二上学期期末数学（文）试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年四川省乐山市高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1．过点且斜率为的直线方程为（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】由题意可知所求直线的方程为，即.故选：B.2．已知直线，若异面，，则的位置关系是（       ）A．异面 B．相交 C．平行或异面 D．相交或异面【答案】D【分析】以正方体为载体说明即可.【详解】如下图所示的正方体：和是异面直线，，；和是异面直线，，与是异面直线.所以两直线与是异面直线，，则的位置关系是相交或异面.故选：D3．圆的圆心坐标与半径分别是（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得答案.【详解】由题可知，圆的标准方程为，所以圆心为，半径为3，故选.4．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出辅助线，找到异面直线所成的角，利用几何性质进行求解.【详解】连接与，因为，则为所求，又是正三角形，.故选：C.5．曲线与曲线的（       ）A．实轴长相等 B．虚轴长相等C．焦距相等 D．渐进线相同【答案】D【分析】将曲线化为标准方程后即可求解.【详解】化为标准方程为，由于，则两曲线实轴长､虚轴长､焦距均不相等，而渐近线方程同为.故选：6．用斜二测画法画出边长为2的正方形的直观图，则直观图的面积为（       ）A． B． C．4 D．【答案】A【分析】画出直观图，求出底和高，进而求出面积.【详解】如图，，，，过点C作CD⊥x轴于点D，则,所以直观图是底为2､高为的平行四边形，所以面积为.故选：A.7．已知点是椭圆上的任意点，是椭圆的左焦点，是的中点，则的周长为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设椭圆的另一个焦点为，连接，利用中位线的性质结合椭圆的定义可求得结果.【详解】在椭圆中，，，，如图，设椭圆的另一个焦点为，连接，因为、分别为、的中点，则，则的周长为，故选：A.8．已知点是双曲线的左焦点，是双曲线右支上一动点，过点作轴垂线并延长交双曲线左支于点，当点向上移动时，的值（       ） A．增大 B．减小 C．不变 D．无法确定【答案】C【分析】令双曲线右焦点为，由对称性可知，，结合双曲线的定义即可得出结果.【详解】令双曲线右焦点为，由对称性可知，，则，为常数，故选：C.9．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，则与平面所成角的正弦值为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中点，连接，易证平面，进一步得到线面角，再解三角形即可.【详解】如图，取的中点，连接，三棱柱为直三棱柱，则平面，又平面，所以，又由题意可知为等腰直角三角形，且为斜边的中点，从而，而平面，平面，且，所以平面，则为与平面所成的角.在直角中，.故选：C10．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设圆锥的半径为，母线长，根据已知条件求出、的值，可求得该圆锥的高，利用锥体的体积公式可求得结果.【详解】设圆锥的半径为，母线长，因为侧面展开图是一个半圆，则，即，又圆锥的表面积为，则，解得，，则圆锥的高，所以圆锥的体积，故选：D.11．如图，在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，将该几何体放置于正方体中截得，进而转化为求边长为2的正方体的外接球，再求解即可.【详解】解：因为在三棱锥中，，所以将三棱锥补形成正方体如图所示，正方体的边长为2，则体对角线长为，外接球的半径为，所以外接球的表面积为，故选：.12．过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，，抛物线的准线与轴交于点，则的面积为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】画出图形，利用已知条件结合抛物线的定义求解边长CF，BK，然后求解三角形的面积即可．【详解】如图，设拋物线的准线为，过作于，过作于，过作于，设，则根据抛物线的定义可得，，，的面积为，故选：.二、填空题13．抛物线的准线方程是________【答案】【分析】将抛物线方程化为标准形式，从而得到准线方程.【详解】抛物线方程可化为：       抛物线准线方程为：故答案为【点睛】本题考查抛物线准线的求解，易错点是未将抛物线方程化为标准方程.14．如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，若该棱锥的体积为，则该正方体的边长为___________.【答案】2【分析】根据体积公式直接计算即可.【详解】设正方体边长为，则，解得.故答案为：15．过椭圆上一点作轴的垂线，垂足为，则线段中点的轨迹方程为___________.【答案】【分析】相关点法求解轨迹方程.【详解】设，则，则，即，因为，代入可得，即的轨迹方程为.故答案为：16．已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，满足，直线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是___________.【答案】【分析】过点作于，过点作于，利用双曲线的定义以及勾股定理可求得，由已知可得，可得出关于、的齐次不等式，结合可求得的取值范围.【详解】过点作于，过点作于，因为，所以，又因为，所以，故，又因为，且，所以，因此，所以，又因为直线与圆有公共点，所以，故，即，则，所以，又因为双曲线的离心率，所以.故答案为：.三、解答题17．如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别是上的点，满足.(1)求证：四点共面；(2)设与交于点，求证：三点共线.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)连接AC，分别是的中点，.在中，，所以四点共面.(2)，所以，又平面平面，同理平面，为平面与平面的一个公共点.又平面平面，即三点共线.18．已知是抛物线的焦点，直线交拋物线于、两点.(1)若直线过点且，求；(2)若平分线段，求直线的方程.【答案】(1)；(2).【分析】（1）分析可知直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，求出点的坐标，利用抛物线的定义可求得；（2）利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.(1)解：设点、，则直线的倾斜角为，易知点，直线的方程为，联立，可得，由题意可知，则，，因此，.(2)解：设、，若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以直线的斜率存在，因为、在抛物线上，则，两式相减得，又因为为的中点，则，所以，直线的斜率为，此时，直线的方程为，即.19．在四棱锥中，平面，底面是边长为2的菱形，分别为的中点.(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，利用三角形中位线定理可证明BG//EF，由线线平行，可得线面平行；（2根据图像可得，以为底面，证明为高，利用三棱锥的体积公式，可得答案;(1)取的中点，因为为的中点，所以且，又因为为的中点，四边形为菱形，所以且，所以且，故四边形BFEG为平行四边形，所以BG//EF，因为面面，所以面.(2)因为底面是边长为2的菱形，，则为正三角形，所以因为面，所以为三棱锥的高所以三棱锥的体积.20．已知直线与双曲线相交于、两点.(1)当时，求；(2)是否存在实数，使以为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析.【分析】（1）当时，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可求得；（2）假设存在实数，使以为直径的圆经过坐标原点，设、，将直线与双曲线的方程联立，列出韦达定理，由已知可得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理可得出，即可得出结论.(1)解：设点、，当时，联立，可得，，由韦达定理可得，，所以，.(2)解：假设存在实数，使以为直径的圆经过坐标原点，设、，联立得，由题意可得，解得且，由韦达定理可知，因为以为直径的圆经过坐标原点，则，所以，，整理可得，该方程无实解，故不存在.21．如图，在正四棱柱中，是上的点，满足为等边三角形.(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据题意证明，，然后根据线面垂直的判定定理证明问题；（2）结合（1），进而利用等体积法求得答案.(1)由题意，，为等边三角形，，∵平面ABCD，∴，则，即为中点.连接，∵平面，平面，∴，易得，则，又，于是，即，同理，即，又平面.(2)设M到平面的距离为d，，∴.易得，取BD的中点N，连接，则，所以，，所以，，.即M到平面的距离为1.22．已知椭圆，点在上，，且(1)求出直线所过定点的坐标；（不需要证明）(2)过A点作的垂线，垂足为，是否存在点，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）分斜率存在和斜率不存在两种情况，当斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理列出方程，求出定点坐标，当斜率不存在时，设出点的坐标进行求解；（2）结合第一问的定点坐标，结合直角三角形斜边中线得到存在点，使得为定值，求出结果.(1)设点，若直线斜率存在时，设直线的方程为：，代入椭圆方程消去并整理得：，可得，因为，所以，即，根据，代入整理可得：，所以，整理化简得:，因为不在直线上，所以，故，于是的方程为，所以直线过定点直线过定点.当直线的斜率不存在时，可得，由得：，得，结合可得：，解得：或（舍）.此时直线过点.(2)由（1）可知因为，取中点，则此时，【点睛】直线过定点问题，一般处理思路是分斜率存在和斜率不存在两种情况，特别是斜率存在时，设出直线为，联立后用韦达定理得到两根之和与两根之积，结合题干条件得到等量关系，求出的关系，进而得到定点坐标.