初中数学鲁教版 (五四制)七年级下册3 直角三角形达标测试

第十章  三角形的有关证明

3直角三角形

知识能力全练

知识点一  勾股定理

1.如图所示，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，则正方形ABCD的面积为（    ）

A.        B.3        C.5         D.5

2.已知在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，则AC＝__________.

3.如图所示，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米，请计算出旗杆的高度.

知识点二  勾股定理的逆定理

4.以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是（    ）

A.1，，2       B.，，       C.5，6，7       D.7，8，9

5.如图所示，△ABC中，D是BC上的一点，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求△ABC的面积.

6.如图所示，点C在线段BD上，∠B＝∠D＝90°，若AB＝2，BC＝1，CD＝4，DE＝3，AE＝.求证:∠ACE＝90°.

知识点三  互逆命题与互逆定理

7.下列说法错误的是（    ）

A.任何命题都有逆命题               B定理都有逆定理

C.命题的逆命题不一定是正确的       D.定理的逆定理一定是正确的

8.命题“邻补角的平分线互相垂直”的逆命题为________________________________.\知识点四  “斜边、直角边”（或“HL”）

9.如图所示，已知AB⊥CD，垂足为B，BC＝BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是______________.

10.如图所示，∠A＝∠B＝90°，∠1＝∠2，E是AB上的一点，且AD＝BE.求证:△ADE≌△BEC.

11.如图所示，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，EF过点C，BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，BE＝DF.求证:△BCE≌△DCF.

巩固提高全练

12.下列命题的逆命题成立的是（    ）

A.对顶角相等                               B.全等三角形的对应角相等

C.如果两个数相等，那么它们的绝对值相等     D.两直线平行，同位角相等

13.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，正方形AEDC，BCFG的面积分别为25和144，则AB的长度为（   ）

A.13         B.169         C.12         D.5

14.已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AH＝8，则BC的长是（   ）

A.21         B.15         C.6         D.21或9

15.若a，b，c满足（a-5）2＋|b-12|＋＝0，则以a，b，c为边长的三

角形的面积是___________.

16.求证:一条直角边相等且另一条直角边上中线相等的两个直角三角形全等.

17.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（    ）

A.5       B.6        C.7        D.8

18.命题“如果a＋b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为_______________________.

19.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题:“今有池方一丈，葭（jia）生其中央，出水一尺引葭赴岸，适与岸齐问水深几何？”（注:丈，尺是长度单位，1丈＝10尺）这段话翻译成现代汉语，即为有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，如图所示，则水池里水的深度是_________尺.

20.如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB＋∠PBA＝_______°.（点A，B，P是网格线的交点）

21.如图所示，已知AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BF＝DE，求证:AB∥CD.

22.在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E.

（1）若B、C在DE的同侧（如图10-3-12①所示），且AD＝CE，求证:AB⊥AC；

（2）若B、C在DE的两侧（如图10-3-12②所示），其他条件不变，AB与AC垂直吗？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由.

参考答案

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1.B     2.

3.解析  设旗杆的高度为x米，根据勾股定理，得x2＋92＝（x＋3）2，解得x＝12.

答:旗杆的高度为12米.

4.A

5.解析  ∵BD2＋AD2＝62＋82＝102＝AB2，∴△ABD是直角三角形，∴AD⊥BC.

在Rt△ACD中，CD＝＝＝15，

∴BC＝BD＋CD＝6＋15＝21，∴S△ABC＝BC·AD＝×21×8＝84，

因此△ABC的面积为84.

6.证明  ∵∠B＝∠D＝90°，

∴在Rt△AB中，由勾股定理，得AC＝＝＝，

在Rt△EDC中，由勾股定理，得CE＝＝＝5，

∵AE＝，AC2＋CE2＝30，∴AE2＝AC2＋CE2，∴∠ACE＝90°.

7.B

8.答案  如果两个角的平分线互相垂直，那么这两个角是邻补角

9.答案  AC＝DE

10.证明  ∵∠1＝∠2，∴DE＝CE，

∵∠A＝∠B＝90°，∴△ADE和△BEC都是直角三角形，

∵DE＝CE，AD＝BE∴△ADE≌△BEC.

11.证明  如图，连接BD，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，

∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝DC.

∵BE⊥EF，DF⊥EF，∴∠E＝∠F＝90°.

在△BCE和R∠DCF中∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）.

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12.D     13.A     14.D      15.答案  30

16.解析  已知:如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，CM为△ABC的中线，FN为△DEF的中线，且CM＝FN.

求证:△ABC≌△DEF

证明:在Rt△BCM和Rt△EFN中，∴Rt△BCM≌Rt△EFN（HL）

∴BM＝EN，∵CM为△ABC的中线，FN为△DEF的中线，

∴AB＝2BM，DE＝2EN，∴AB＝DE，

在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）.

∴一条直角边相等且另一条直角边上中线相等的两个直角三角形全等.

17.A

18.答案  如果a，b互为相反数，那么a＋b＝0

19.答案  12     20.答案  45

21.证明  ∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.

∵BF＝DE，∴BF＋EF＝DE＋EF，即BE＝DF.

在Rt△AEB和Rt△CFD中，，∴Rt△AEB≌RtCFD（HL），

∴∠B＝∠D，∴AB∥CD.

22.解析  （1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°.

在Rt△ABD和Rt△CAE中，,∴Rt△ABD≌Rt△CAE，

∴∠DBA＝∠EAC.

∵∠DAB+∠DBA=90°，∴∠DAB+∠EAC＝90°，

∴∠BAC＝180°-（∠DAB+∠EAC）＝90°，∴AB⊥AC.

（2）AB⊥AC.证明如下：

同（1）可证得Rt△ABD≌Rt△CAE，∴∠DAB＝∠ECA，

∵∠CAE＋∠ECA＝90°，

∴∠CAE＋∠DAB＝90°，即∠BAC＝90°，

∴AB⊥AC.