人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系精品课件ppt

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前面我们认识了空间中点、直线、平面之间的一些位置关系，如点在平面内，直线在平面内，两个平面相交，等等，空间中点、直线、平面之间还有其他位置关系吗？
【问题】在同一平面内,两条直线的位置关系有哪几种?
答：有两种,平行和相交.
答：棱AA1和棱BB1平行;
棱AA1和棱BB1是什么关系?
棱AA1与棱BC是什么关系?
答：而棱AA1与棱BC既不平行也不相交,称之为两条异面直线.
棱AA1和棱AD是什么关系?
答： 棱AA1和棱AD相交。
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。常借助一个 或两个平面来衬托.
两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行.
两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内.
空间中直线与直线之间的位置关系总结
在同一个平面内,有且只有一个公共点:
在同一个平面内,没有公共点:
不同在任何一个平面内,没有公共点:
例1　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中， (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是______；
解 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC， ∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是____________；
解　直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.
例1　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是______；
解 直线D1D与直线D1C相交于点D1.
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是__________.
解 直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.
判断空间两条直线位置关系的决窍
(1)建立空间观念：全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，关注异面直线.
(2)建立模型直观：长方体、正方体等常见几何体模型的应用，说明两条直线的位置关系.
【练1】若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（ ） A.平行 B.异面 C.相交 D.平行、相交或异面
解 可借助长方体来判断. 如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′ 所在直线为a，AB所在直线为b， 已知a和b是异面直线，b和c是异面直线， 则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′. 故a和c可以平行、相交或异面.
【问题】观察下图，长方体ABCD-A1B1C1D1中,线段A1B所在的直线与长方体的六个面所在 平面有几种位置关系?
解析 (1)直线A1B与平面ABB1A1有无数个公共点,此时， 称直线A1B在平面ABB1A1内；
(3)直线A1B与平面ABCD 、平面BCC1B1、平面ADD1A1 、平面A1B1C1D1只有一个公共点.此时，称直线A1B与平面ABCD 、平面BCC1B1、平面ADD1A1 、平面A1B1C1D1相交 ；
(2)直线A1B与平面CDD1C1没有公共点,此时，称直线A1B与平面CDD1C1平行；
直线在平面内（直线上所有的点都在平面内）
直线与平面相交（直线与平面有且只有一个公共点）
直线与平面平行（直线与平面无公共点）
我们常把直线与平面平行或相交的情况称为直线在平面外。记作
例3 若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是（ ） A.直线上所有的点都在平面外 B.直线上有无数多个点都在平面外 C.直线上有无数多个点都在平面内 D.直线上至少有一个点在平面内
解 直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，
故直线上有无数多个点在平面外.
例4 （多选）若a，b表示直线，α表示平面，则以下命题中假命题是（ ） A.若a∥b，b⊂α，则a∥α B.若a∥α，b∥α，则a∥b C.若a∥b，b∥α，则a∥α D.若a∥α，b⊂α，则a∥b或a与b是异面直线
解 如图 ，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1∥AB，AB⊂平面ABB1A1， A1B1⊂平面ABB1A1，故A错误；
A1B1∥平面ABCD，B1C1∥平面ABCD，但A1B1与B1C1相交，故B错误；
AB∥CD，CD∥平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，故C错误；
因为a∥α,所以a与α无公共点,又b在α内,所以a与b无公共点,所以a∥b或a与b异面直线.
练习若a是平面α外的一条直线,则直线a与平面α内的直线的位置关系是(　) A.平行 B.相交 C.异面 D.平行、相交或异面
练习已知直线a,b与平面α满足a∥α,b∥α,则a与b的位置关系是　　　　 . 
（2）相交：两个平面相交于一条线,如平面ABCD与平面ABB1A1相交, 交线是AB.
（1）平行：两个平面没有公共点.如平面ABCD与平面 A1B1C1D1；
例5　(多选)以下四个命题中，正确的有 A.在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行 B.在平面α内有无数条直线与平面β平行，那么这两个平面平行 C.平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0， 那么这两个平面平行 D.平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交
解 当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平 面，所以AB错误.
利用正方体(或长
【练3】如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平 面的位置关系一定是（ ） A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.无法确定
解 由题意作图，自然语言转化为图形语言，可得出两平面的位置关系，如图所示.
1.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交
解　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.
2.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？
解　B1D1在平面A1C1内，B1D1与平面BC1，平面AB1，平面AD1， 平面CD1都相交，B1D1与平面AC平行.
3.如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b，a与β的位置关系并证明你的结论.
解　a∥b，a∥β.证明如下： 由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ， ∵α∥β，a⊂α，b⊂β， ∴a，b无公共点 又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b. ∵α∥β，∴α与β无公共点. 又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.
4.三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是 A.相交 B.平行 C.直线在平面内 D.平行或直线在平面内
解　延长各侧棱可恢复成棱锥的形状， 所以三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.
5.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是 A.α内的所有直线均与a异面 B.α内不存在与a平行的直线 C.α内的直线均与a相交 D.直线a与平面α有公共点
解　若直线a不平行于平面α，则a∩α＝A或a⊂α，故D项正确.
6.(多选)以下四个命题中正确的有 A.三个平面最多可以把空间分成八部分 B.若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价 C.若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l D.若n条直线中任意两条共面，则它们共面
解 对于A，正确； 对于B，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b，故B错误； 对于C，正确； 对于D，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故D错误.
7.如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中 A.AB∥CD B.AD∥EF C.CD∥GH D.AB∥GH
解　把正方体的展开图还原成正方体， 得到如图所示的正方体， 由正方体性质得，AB与CD相交， AD与EF异面，CD与GH平行， AB与GH异面.
8.如图，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，C∉l， 直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.
解　平面ABC与平面β的交线与l相交. 证明如下： ∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l是相交直线. 设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l. 又∵AB⊂平面ABC，l⊂β， ∴P∈平面ABC且P∈平面β，即点P是平面ABC与平面β的一个公共点， 而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点，
又∵P，C不重合，∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线， 即平面ABC∩平面β＝直线PC，而直线PC∩l＝P，∴平面ABC与平面β的交线与l相交.
(1)两直线的位置关系.(2)直线与平面的位置关系.(3)平面与平面的位置关系.
2.方法：举反例、特例.
3.易错点：异面直线的判断.
课本P131 练习 1,2,3,4