高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第二章 平面向量及其应用4 平面向量基本定理及坐标表示4.1 平面向量基本定理学案设计

第六讲  平面向量基本定理和坐标运算

[玩前必备]

1．平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，

λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.

3．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.

4．平面向量数量积的坐标表示

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.

即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．

5．两个向量垂直的坐标表示

设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.

6．平面向量的模

(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝.

[玩转典例]

题型一  平面向量基本定理

例1　如图，四边形OADB是以向量＝a，＝b为边的平行四边形．又BM＝BC，CN＝CD，试用a、b表示，，.

例2　（2020·安徽省涡阳第一中学高一月考）下列各组向量中，可以作为基底的是(   )

A．，  B．，

C．，  D．，

[题型练透]

1.如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a，＝b，用a、b表示、、.

2.如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，.

3.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是(    )

A.，   B.，

C.，   D.，

题型二  向量的坐标运算

例3  (1)已知三点A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，则向量3＋2＝________，－2＝________.

(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标．

例3 (1)若a＝(－1,2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，且c＝pa＋qb，则p＝________，q＝________.

(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N及的坐标．

[题型练透]

1.已知a＝，B点坐标为(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标．

2.设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(　　)

A．(2,6)   B．(－2,6)

C．(2，－6)   D．(－2，－6)

3.已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，a＝mb＋nc(m，n∈R)，则m＋n＝________.

题型三  平面向量共线的坐标表示

例4　(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C．1   D．2

(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？

[题型练透]

1. (2020·济南模拟)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与3a－b平行，则实数x的值是__________________．

 2.已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是________．

题型四  平面向量数量积应用

例5　（2019·湖南衡阳市八中高三月考（文））设、，向量，，，且，，则等于（    ）

A． B． C． D．

例6　若向量，，则与的夹角等于（   ）

A． B． C． D．

例7　（2020·宁夏银川一中高三月考）已知正方形ABCD的边长为2，M为正方形ABCD内一点（包含边界），则的最小值为（ ）

A． B． C． D．

[题型练透]

1．设正方形的边长为1，则等于（     ）

A．0 B． C．2 D．

2.已知向量与的夹角为，则向量与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

3.（2019·辽宁高一期末）过△ABC的重心任作一直线分别交边AB，AC于点D、E．若,，，则的最小值为（      ）

A．4 B．3 C．2 D．1

[玩转练习]

1．已知e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是(　　)

A．e1，e1＋e2   B．e1－2e2，e2－2e1

C．e1－2e2,4e2－2e1   D．e1＋e2，e1－e2

2．若AD是△ABC的中线，已知＝a，＝b，则以a，b为基底表示＝(　　)

A.(a－b)   B.(a＋b)

C.(b－a)   D.b＋a

3．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则P点的坐标为(　　)

A．(－8,1)   B.

C.   D．(8，－1)

4．(2020·山西榆社中学诊断)若向量＝＝(2,0)，＝(1,1)，则＋等于(　　)

A．(3,1)  B．(4,2)  C．(5,3)  D．(4,3)

5．(2020·海南联考)设向量a＝(x，－4)，b＝(1，－x)，若向量a与b同向，则x等于(　　)

A．－2  B．2  C．±2  D．0

6．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m，3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，2)   B．(2，＋∞)

C．(－∞，＋∞)   D．(－∞，2)∪(2，＋∞)

7．在中，G是的重心，边的长分别为，则（    ）

A． B． C． D．

8．若非零向量满足，且，则与的夹角为

A. B.

C. D.

9．已知是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（     ）

A． B． C．2 D．

10．已知向量a＝(2x＋1,4)，b＝(2－x,3)，若a∥b，则实数x的值等于________．

11．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3,1)且与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________.

12．（2019·江苏启东中学高三开学考试）设向量 =（1,0）， =（−1,m）,若，则m=_________.

13．平面向量，且与的夹角等于与的夹角，则______.

14．设向量满足，则___________.

15．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．

(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？

(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．

16．已知两点A(3，－4)，B(－9,2)在直线AB上，求一点P使||＝||.