人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用教案

第七讲  平面向量的应用

[玩转典例]

题型一  与向量的模有关的问题

例1  (1)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.

(2)已知|a|＝2，|b|＝4，a，b的夹角为，以a，b为邻边作平行四边形，求平行四边形的两条对角线中较短一条的长度．

(1)[解析]　依题意，可知|2a－b|2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4－4|a||b|·cos 45°＋|b|2＝4－2|b|＋|b|2＝10，即|b|2－2|b|－6＝0，∴|b|＝＝3(负值舍去)．

[答案]　3

(2)[解]　∵平行四边形的两条对角线中较短一条的长度为|a－b|，

∴|a－b|＝ ＝

＝ ＝2.

例2   若向量a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x，2x－1)，则|a－b|的最小值为________．

[解析]　∵a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x,2x－1)，

∴a－b＝(2x－1,3－x)－(1－x,2x－1)＝(3x－2，4－3x)，

∴|a－b|＝＝＝，

∴当x＝1时，|a－b|取最小值为.

[题型练透]

1.已知向量a、b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|.

解：由已知，|a＋b|＝4，∴|a＋b|2＝42，∴a2＋2a·b＋b2＝16.(*)

∵|a|＝2，|b|＝3，∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9，代入(*)式得4＋2a·b＋9＝16，

即2a·b＝3.又∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10，∴|a－b|＝.

2.设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C．2   D．10

解析：选B　由a⊥b，可得a·b＝0，即x－2＝0，得x＝2，所以a＋b＝(3，－1)，故|a＋b|＝＝.

题型二  两个向量的夹角问题

例3　已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．

[解析]　设a与b的夹角为θ，依题意有：(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝，因为0≤θ≤π，故θ＝.

例4　已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c(4，y)，且a∥b，a⊥c.

(1)求b与c；

(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．

[解]　(1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12.∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，

∴y＝－3，∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．

(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．

设m、n的夹角为θ，则cos θ＝＝

＝＝－.∵θ∈[0，π]，∴θ＝，即m，n的夹角为.

[题型练透]

1.已知a＝(1，)，b＝(＋1，－1)，则a与b的夹角为________．

解析：由a＝(1，)，b＝(＋1，－1)，

得a·b＝＋1＋×(－1)＝4，|a|＝2，|b|＝2.

设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝，又0≤θ≤π，所以θ＝.

答案：

2.若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．

解析：∵c⊥a，∴c·a＝0，∴(a＋b)·a＝0，即a2＋a·b＝0.

∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝－.

又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.

答案：120°

题型三  两个向量的垂直问题

例5　已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b 的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？

解：由已知得a·b＝3×2×cos 60°＝3.由c⊥d，则c·d＝0，即c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)

＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，

∴m＝，即m＝时，c与d垂直．

例6　已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－(3＋m))．若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．

解：若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，

则⊥，由已知＝(3,1)，＝(2－m,1－m)，

∴3(2－m)＋(1－m)＝0，解得m＝.

[题型练透]

1. 已知向量＝(－1,2)，＝(3，m)，若⊥，则m的值是(　　)

A.   B．－

C．4   D．－4

解析：选C　∵＝(－1,2)，＝(3，m)，

∴＝－＝(4，m－2)，

又∵⊥，∴·＝－1×4＋2(m－2)＝－8＋2m＝0，解得m＝4.

2.已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则＝________.

解析：(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2，∵a⊥b，∴|a＋2b|＝，|a－2b|＝.

故cos 120°＝＝＝＝－，

得＝，即＝.

答案：

题型四  平面几何中向量的方法

【例7】（1）（2020·澧县第一中学单元测试）点P是△ABC所在平面上一点，满足=0，则△ABC的形状是（   ）

A.等腰直角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等边三角形

（2）．（2020·江西）如图，设P、Q为△ABC内的两点，且，，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为        ．

【答案】（1）B （2）

【解析】（1）∵P是△ABC所在平面上一点，且 =0，

∴||﹣|（|=0，即||=||，∴||=||，

两边平方并化简得=0，∴（此处也可由||=||结合向量加减法的几何意义得到），∴∠A=90°，则△ABC是直角三角形．

（2）因为，所以，取AB中点M，则P点在线段CM上，且CP=4PM，因此;

因为，所以，取点N满足中，则Q点在线段CN上，且CQ=3QN，因此;

因此△ABP的面积与△ABQ的面积之比为

【题型练透】

1．（2020·宁夏高三月考）已知正方形的边长为，为平面内一点，则 的最小值为(  )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】以为原点建立平面直角坐标系如下图所示，，设，故.故选A.

2．设是内部一点，且，则与的面积之比为________________.

【答案】

【解析】设为的中点，如图所示，连接，则.又，所以，即为的中点，且，即与的面积之比为.

3．（2020·甘肃省甘谷第一中学高二期末）如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，点P在线段BC上运动，且满足，当取到最小值时，的值为_________ .

【答案】

【解析】设，因为，，所以，；

，

所以，故当时，有最小值.

题型五   向量在物理中的应用

【例8】（1）如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（     ）

A． B．

C． D．

(2)河中水流自西向东每小时10 km，小船自南岸A点出发，想要沿直线驶向正北岸的B点，并使它的实际速度达到每小时10 km，该小船行驶的方向和静水速度分别为(　　)

A.西偏北30°，速度为20 km/h

B.北偏西30°，速度为20 km/h

C.西偏北30°，速度为20 km/h

D.北偏西30°，速度为20 km/h

【答案】（1)C(2)B

【解析】(1)作，使.在中，，，，.选C.

(2)由题意得 ，方向为北偏西30°，选B

【题型练透】

1．已知两个力的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（   ）

A. N B.5 N C.10 N D. N

【答案】A

【解析】由题意可知：对应向量如图，由于α=60°，∴的大小为|F合|•sin60°=10×．故选A．

2．（2020·陕西西安一中高二月考）一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过h，则船实际航程为(　　)

A.2  km B.6 km C.2 km D.8 km

【答案】B

【解析】设船的速度为，水的速度为，则船的实际航行速度为，于是有

==12

=船实际航程为=6。答案B。

[玩转练习]

1．已知|a|＝9，|b|＝6，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为(　　)

A．45°  B．135°  C．120°  D．150°

答案　B

解析　∵cos θ＝＝＝－，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.

2．|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影等于(　　)

A．－3  B．－2  C．2  D．－1

答案　D

解析　a在b方向上的投影是|a|cos θ＝2×cos 120°＝－1.

3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于(　　)

A.  B．－  C．±  D．1

答案　A

解析　∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2

＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0.∴λ＝.

4．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于(　　)

A．0  B．2  C．4  D．8

答案　B

解析　|2a－b|2＝(2a－b)2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a－b|＝2.

5．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10N，方向与水平面成角.当小车向前运动10m时，则力F做的功为(   )

A.100J B.50J

C. D.200J

【答案】B

【解析】由题意，一力作用在小车上，其中力F的大小为10N，方向与水平面成角，且小车向前运动10m时，此时根据向量的数量积的定义，

可得则力F做的功为，故选B。

6．四边形中，且，则的最小值为_______.

【答案】

【解析】设与的交点为，以为原点，，为坐标轴建立平面直角坐标系，

设，则，所以，

所以，

当时，取得最小值，故填：。

7．（2019·江苏高三开学考试（理））在锐角中，，点在边上，且与面积分别为2和4，过作于，于，则的值是______.

【答案】

【解析】因为，且为锐角，所以，根据三角形面积得，所以，所以.而，化简得.所以.

8．（2019·河南省实验中学高一期中）已知向量，.若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______．

【答案】

【解析】因为，，所以，.

因为向量与的夹角为锐角，所以且与不同向. 由得；与不同向时得；所以实数的取值范围为.

9．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.

答案　8

解析　∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)，∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c＝a－6b，∴c2＝a2－12a·b＋36b2＝20－12×6＋36×5＝128.∴|c|＝8.

10．设a＝(2，x)，b＝(－4,5)，若a与b的夹角θ为钝角，则x的取值范围是________．

答案　x<且x≠－

解析　∵θ为钝角，∴cos θ＝<0，即a·b＝－8＋5x<0，∴x<.

∵a∥b时有－4x－10＝0，即x＝－，当x＝－时，a＝(2，－)＝－b，

∴a与b反向，即θ＝π.故a与b的夹角为钝角时，x<且x≠－.

11．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．

(1)求a与b的夹角的余弦；

(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．

解　(1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，

|a|＝＝5，|b|＝＝，

∴cos〈a，b〉＝＝＝.

(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)，又(a－λb)⊥(2a＋b)，

∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝.

12.在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．

解　∵＝(2,3)，＝(1，k)，∴＝－＝(－1，k－3)．

若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－；若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，∴k＝；若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，

∴k＝.故所求k的值为－或或.