高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用学案及答案

第七讲  平面向量的应用

[玩转典例]

题型一  与向量的模有关的问题

例1  (1)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.

(2)已知|a|＝2，|b|＝4，a，b的夹角为，以a，b为邻边作平行四边形，求平行四边形的两条对角线中较短一条的长度．

例2   若向量a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x，2x－1)，则|a－b|的最小值为________．

[题型练透]

1.已知向量a、b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|.

2.设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C．2   D．10

题型二  两个向量的夹角问题

例3　已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．

例4　已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c(4，y)，且a∥b，a⊥c.

(1)求b与c；

(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．

[题型练透]

1.已知a＝(1，)，b＝(＋1，－1)，则a与b的夹角为________．

2.若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．

题型三  两个向量的垂直问题

例5　已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b 的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？

例6　已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－(3＋m))．若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．

[题型练透]

1. 已知向量＝(－1,2)，＝(3，m)，若⊥，则m的值是(　　)

A.   B．－

C．4   D．－4

2.已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则＝________.

题型四  平面几何中向量的方法

【例7】（1）（2020·澧县第一中学单元测试）点P是△ABC所在平面上一点，满足=0，则△ABC的形状是（   ）

A.等腰直角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等边三角形

（2）．（2020·江西）如图，设P、Q为△ABC内的两点，且，，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为        ．

【题型练透】

1．（2020·宁夏高三月考）已知正方形的边长为，为平面内一点，则 的最小值为(  )

A． B． C． D．

2．设是内部一点，且，则与的面积之比为________________.

3．（2020·甘肃省甘谷第一中学高二期末）如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，点P在线段BC上运动，且满足，当取到最小值时，的值为_________ .

题型五   向量在物理中的应用

【例8】（1）如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（     ）

A． B．

C． D．

(2)河中水流自西向东每小时10 km，小船自南岸A点出发，想要沿直线驶向正北岸的B点，并使它的实际速度达到每小时10 km，该小船行驶的方向和静水速度分别为(　　)

A.西偏北30°，速度为20 km/h

B.北偏西30°，速度为20 km/h

C.西偏北30°，速度为20 km/h

D.北偏西30°，速度为20 km/h

【题型练透】

1．已知两个力的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（   ）

A. N B.5 N C.10 N D. N

2．（2020·陕西西安一中高二月考）一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过h，则船实际航程为(　　)

A.2  km B.6 km C.2 km D.8 km

[玩转练习]

1．已知|a|＝9，|b|＝6，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为(　　)

A．45°  B．135°  C．120°  D．150°

2．|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影等于(　　)

A．－3  B．－2  C．2  D．－1

3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于(　　)

A.  B．－  C．±  D．1

4．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于(　　)

A．0  B．2  C．4  D．8

5．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10N，方向与水平面成角.当小车向前运动10m时，则力F做的功为(   )

A.100J B.50J

C. D.200J

6．四边形中，且，则的最小值为_______.

7．（2019·江苏高三开学考试（理））在锐角中，，点在边上，且与面积分别为2和4，过作于，于，则的值是______.

8．（2019·河南省实验中学高一期中）已知向量，.若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______．

9．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.

10．设a＝(2，x)，b＝(－4,5)，若a与b的夹角θ为钝角，则x的取值范围是________．

11．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．

(1)求a与b的夹角的余弦；

(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．

12.在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．