人教版八年级下册第十六章 二次根式16.1 二次根式同步练习题

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专题01 二次根式及其运算知识讲义【相关概念】二次根式：形如（a≥0）的式子叫做二次根式.a为被开方数，a可以是数字或代数式.代数式：含有字母的数学表达式称为代数式. 整式、分式均为代数式.最简二次根式：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.【二次根式运算】乘法（a≥0，b≥0）除法（a≥0，b＞0）加（减）法先把各根式化成最简根式，再合并同类根式分母有理化【二次根式性质】双重非负性：≥0，a≥0非负数：|a|，a2n，【二次根式应用】因式的内移和外移：（1）负号不能移到根号下；（2）根号下的负号不能移到根号外.【题型一】二次根式有意义条件例1. （2021·河北承德市期末）若有意义，则m能取的最小整数值是（    ）A．m = 0 B．m = 1 C．m = 2 D．m = 3例2. （2021·上海市静安区）如果，那么x的取值范围是_______．例3．（2019·北京期末）如果，那么的取值范围是______.【题型二】同类二次根式例4. （2021·上海市期中）如果二次根式与是同类二次根式，那么满足条件的中最小正整数是________．例5. 若两个最简二次根式与能够合并，则_________．例6. 最简二次根式与是同类二次根式，则＝________．【题型三】变式考查例7. （2021·浙江宁波市期中）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（    ）A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数例8. （1）已知是整数，求自然数所有可能的值；（2）已知是整数，求正整数的最小值．例9．（2021·四川武外月考）若，则x=__________．【题型四】二次根式运算例10．（2021·南通市月考）一个等腰三角形两边的长分别为和，则这个三角形的周长为(       )A． B．C．或 D．无法确定例11．计算：． 
例12．（2021·福建省泉州月考）已知，x的整数部分为a，小数部分为b，求的值．       例13．（2021·广东佛山市月考）先阅读，再解答:由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：  ，请完成下列问题：(1)的有理化因式是           ；(2)化去式子分母中的根号：               ．（直接写结果）(3)      （填或）(4)利用你发现的规律计算下列式子的值： 
例14. 若a，b都是正整数，且a＜b，与是可以合并的二次根式，是否存在a，b，使＋＝？若存在，请求出a，b的值；若不存在，请说明理由．     例15．（2019·辽宁大连市期中）[观察]请你观察下列式子的特点，并直接写出结果：           ；           ；            ；……[发现]根据你的阅读回答下列问题：（1）请根据上面式子的规律填空：            （n为正整数）；（2）请证明(1) 中你所发现的规律．[应用]请直接写出下面式子的结果：       ． 
【题型五】化简求值例16. （2021·江苏南通市期末）化简的结果是（    ）A． B． C． D．1例17．（2021·浙江杭州期中）实数a，b在数轴上的位置如图，则化简的结果为（    ）A． B． C． D．例18．若数轴上表示数的点在原点的左边，则化简的结果是（    ）A． B． C． D．例19．（2021·温州月考）下列四个式子中，与的值相等的是（   ）A． B． C． D．例20．下列给出的四个命题：①若 ，则；②若a2﹣5a+5=0，则 ；③其中是真命题是             【题型六】阅读材料例21．（2021·北京延庆区期末）我们规定用（a，b）表示一对数对．给出如下定义：记，，其中（a ＞ 0，b ＞ 0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“对称数对”．例如：（4，1）的一对“对称数对”为（，1）和（1，）；（1）数对（9，3）的一对“对称数对”是         ；（2）若数对（3，y）的一对“对称数对”相同，则y的值为        ；（3）若数对（x，2）的一个“对称数对”是（，1），则x的值为        ；（4）若数对（a，b）的一个“对称数对”是（，），求ab的值． 例22. 阅读理解： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．  例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得：．  类比应用： （1）化简：               ； （2）化简：                ．  拓展延伸：  宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．（1）黄金矩形ABCD的长BC=             ；（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；（3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为            ． 
例23. （2019·四川月考）阅读下列材料，然后回答问题．①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab  3 ，求 a2   b2 ．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y  ab ，则 a 2  b2  (a  b)2  2ab  x2 2y  4 610．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．（1）计算：（2）已知 m 是正整数， a ，b 且 2a2 1823ab  2b2  2019 ．求 m．（3）已知，则的值为         例24.（2021·湖南怀化市期末）同学们，我们以前学过完全平方公式，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数（以及0）都可以看作是一个数的平方，如，，下面我们观察：，反之，，∴，∴求：（1）；（2）；（3）若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．例25．（2021·安徽安庆市）阅读理解题，下面我们观察：反之，所以，所以完成下列各题：（1）在实数范围内因式分解：；（2）化简：；（3）化简：．