2022年陕西省渭南市富平县中考数学一模试卷(word版含答案)

这是一份2022年陕西省渭南市富平县中考数学一模试卷(word版含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年陕西省渭南市富平县中考数学一模试卷
一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分.每小题只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）下列实数是无理数的是（　　）
A．﹣π B．0 C．9 D．12
2．（3分）如图所示的圆柱的左视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（3分）国家卫健委数据显示，截至2022年3月10日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗3180060000剂次．将数据3180060000用科学记数法表示为（　　）
A．3.18006×1010 B．3.18006×109
C．31800.6×105 D．318006×104
4．（3分）将一副三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示方式摆放，使得AC∥EF，则∠DOB等于（　　）

A．75° B．105° C．60° D．90°
5．（3分）已知点A（2，y1）和点B（a，y2）在一次函数y＝﹣3x﹣b的图象上，且y1＞y2，则a的值可能是（　　）
A．3 B．0 C．﹣1 D．﹣2
6．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，若对角线AC＝23，则AC的长为（　　）

A．3π2 B．5π3 C．4π3 D．43π3
7．（3分）点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（　　）
A．154 B．4 C．−154 D．−174
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
8．（3分）计算：（﹣a0）2022＝　 　．
9．（3分）过十边形的一个顶点，可以引出对角线的条数为 　 　．
10．（3分）如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝15，且AH：AE＝3：4，那么△DFC周长等于 　 　．

11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分线，过点D作DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为 　 　．

12．（3分）已知反比例函数y=−6x的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）．若x1y2＝﹣3，则x2y1的值为 　 　．
13．（3分）如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，点E、F分别为边BC、AD上任意一点，且O、E、F三点在一条直线上，连接AO，BO，EO，FO．若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积是 　 　．

三、解答题（共14小题，计81分.解答应写出过程）
14．（4分）计算：（−13）﹣2−3×27+|3﹣π|．
15．（4分）化简：（2x﹣3）（2x+3）﹣（2x﹣1）2．
16．（4分）解一元一次不等式组：3−2x＜5x+43≥x．
17．（4分）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC．请用尺规作图法，在线段DE上求作一点P，使点P到线段AB、BC的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）

18．（4分）解方程：x−3x−2+1=22−x．
19．（5分）如图，点C、E、F、B在同一条直线上，CE＝BF，AB＝DC，AB∥DC．求证：∠A＝∠D．

20．（5分）近期某高校为保护学生和教师的健康，进行了“抗疫物资”储备，用19000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，且甲、乙两种口罩的售价分别是20元/盒，25元/盒．求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？
21．（5分）第二十四届冬奥会于2022年2月20日在北京闭幕，北京成为全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．如图，是四张关于冬奥会运动项目的卡片，卡片的正面分别印有A．“花样滑冰”、B．“高山滑雪”、C．“单板滑雪大跳台”、D．“钢架雪车”（这四张卡片除正面图案外，其余都相同）．将这四张卡片背面朝上，洗匀．
（1）从中随机抽取一张，抽得的卡片恰好为“花样滑冰”的概率为 　 　；
（2）若先从中随机抽取一张，记录这张卡片上图案的运动项目后放回，背面朝上，洗匀．再从中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法，求这两次抽取的卡片图案上是“单板滑雪大跳台”和“钢架雪车”运动项目的概率．

22．（6分）本学期开学后，某校为了激发学生进行体育活动的积极性，提高学生身体素质，对九年级学生进行了1分钟“跳绳”项目摸底测试，同时统计了每个人的跳绳个数（设为x）．现在将这些同学中女生的测试结果随机抽取若干个成绩进行分析，分为四个等级：A．优秀（x≥170）、B．良好（145≤x≤169）、C．及格（120≤x≤144）和D．不及格（x≤119），并将统计结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全如图的条形统计图和扇形统计图；
（2）被测试女生1分钟“跳绳”个数的中位数落在 　 　等级；
（3）如果该校九年级现有女生500人，请估计该校九年级女生中1分钟“跳绳”个数达到优秀的人数．
23．（7分）风筝起源于春秋战国时期，至今已有两千多年．星期日，小明（A）与小丽（B）两人来到广阔的草原，一前一后在水平地面AD上放风筝，结果风筝在空中C处纠缠在一起，如图所示，测得∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，且小丽、小明之间的距离AB＝20m，求此时风筝C处距离地面的高度．（参考数据：3≈1.732，结果保留一位小数）

24．（7分）某年级430名师生秋游，计划租用8辆客车，现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如下表：

甲种客车
乙种客车
载客量（座/辆）
60
45
租金（元/辆）
550
450
（1）设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式；
（2）当甲种客车有多少辆时，能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少，最少费用是多少元？
25．（8分）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE．
（1）过点C作⊙O的切线交BP于点D，求证：CD⊥PA；
（2）若⊙O的半径为5，AB＝6，求BD的长．

26．（8分）如图，抛物线y＝ax2+5x+c交x轴于点A（1，0）、B，交y轴于点C（0，﹣4）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若P是抛物线上x轴上方的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M．是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

27．（10分）【问题提出】
（1）如图①，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，则线段AC的最大值为 　 　；（用含a，b的式子表示）
【问题探究】
（2）如图②，点A为线段BC外一动点，且BC＝6，AB＝3，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE，找出图中与BE相等的线段，请说明理由，并求出线段BE长的最大值；
【问题解决】
（3）如图③，某市区有一块空地，为了美化环境，计划设计一个不规则的四边形景观区域ABCD．根据实际情况，要求AB＝AD，∠BAD＝60°，且对角线BD⊥CD于点D，为尽量增加游客观赏时间、提高观赏体验感，计划在景观区域内部沿对角线AC修一条小道．已知BC＝40m，求AC的最大值．



2022年陕西省渭南市富平县中考数学一模试卷
答案与解析
一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分.每小题只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）下列实数是无理数的是（　　）
A．﹣π B．0 C．9 D．12
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：﹣π是无理数，
0，9=3，12是有理数，
故选：A．
2．（3分）如图所示的圆柱的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：此圆柱的左视图是一个矩形，
故选：C．
3．（3分）国家卫健委数据显示，截至2022年3月10日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗3180060000剂次．将数据3180060000用科学记数法表示为（　　）
A．3.18006×1010 B．3.18006×109
C．31800.6×105 D．318006×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：3180060000＝3.18006×109．
故选：B．
4．（3分）将一副三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示方式摆放，使得AC∥EF，则∠DOB等于（　　）

A．75° B．105° C．60° D．90°
【分析】依据AC∥EF，即可得∠FBA＝∠A＝30°，由∠F＝∠E＝45°，利用三角形外角性质，即可得到∠DOB＝∠FBA+∠F，进而可求解．
【解答】解：∵AC∥EF，∠A＝30°，
∴∠FBA＝∠A＝30°．
∵∠F＝∠E＝45°，
∴∠DOB＝∠FBA+∠F＝30°+45°＝75°．
故选：A．
5．（3分）已知点A（2，y1）和点B（a，y2）在一次函数y＝﹣3x﹣b的图象上，且y1＞y2，则a的值可能是（　　）
A．3 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【分析】由k＝﹣3＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合y1＞y2，即可得出a＞2，再对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A（2，y1）和点B（a，y2）均在一次函数y＝﹣3x﹣b的图象上，且y1＞y2，
∴a＞2，
∴a的可能值是3．
故选：A．
6．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，若对角线AC＝23，则AC的长为（　　）

A．3π2 B．5π3 C．4π3 D．43π3
【分析】根据平行四边形的性质和OC＝OA得出四边形OABC是菱形，再根据垂径定理和三角函数求出圆心角和半径，即可求出答案．
【解答】解：连接OB，交AC于D，

∵四边形OABC是平行四边形，OC＝OA，
∴四边形OABC是菱形，OB⊥AC，
∵OA＝OB＝BC，
∴△OAB是等边三角形，∠AOB＝60°，
在Rt△OAD中，AD=12AC=3，
∴OA=ADsin60°=2，
∴AC的长是120×π×2180=4π3．
故选：C．
7．（3分）点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（　　）
A．154 B．4 C．−154 D．−174
【分析】根据题意，可以得到a的值，m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可得到m﹣n的最大值，本题得以解决．
【解答】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m−12）2−154，
∴当m=12时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n=−154，
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
8．（3分）计算：（﹣a0）2022＝　1　．
【分析】根据零指数幂，幂的乘方的法则进行求解即可．
【解答】解：（﹣a0）2022＝（﹣1）2022＝1．
故答案为：1．
9．（3分）过十边形的一个顶点，可以引出对角线的条数为 　7　．
【分析】n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，由此可得出m的值．
【解答】解：由题意得，10﹣3＝m＝7．
故答案为：7．
10．（3分）如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝15，且AH：AE＝3：4，那么△DFC周长等于 　36　．

【分析】由AH：AE＝3：4，设AH＝3x，则AH＝4x，因△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，所以BH＝4x，利用勾股定理，可以得到AB＝5x＝15，从而可以求解x，求出△ABH的周长，根据全等性质，可以求出△DFC的周长．
【解答】解：设AH＝3x，
∵AH：AE＝3：4，
∴AE＝4x，
∵△ADE≌△BAH，
∴BH＝AE＝4x，
在Rt△ABH中，AB=AH2+BH2=5x，
∵AB＝15，
∴5x＝15，
∴x＝3，
∴△ABH的周长为：3x+4x+5x＝12x＝36，
∵△ABH≌△CDF，
∴△DFC的周长为36，
故答案为：36．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分线，过点D作DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为 　2　．

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF的长．
【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝30°，
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°，
∴∠DAF＝∠F＝30°，
∴AD＝DF，
∵AB＝6，∠B＝30°，
∴AD=12AB＝2，
∴DF＝2，
故答案为：2．
12．（3分）已知反比例函数y=−6x的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）．若x1y2＝﹣3，则x2y1的值为 　﹣12　．
【分析】根据反比例函数系数k＝xy得到x1y1＝x2y2＝﹣6，再由x1y2＝﹣3，得到y1y2=−6−3=2，即可得到y1＝2y2，从而得到x2y1＝2x2y2＝2×（﹣6）＝﹣12．
【解答】解：∵反比例函数y=−6x的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1y1＝x2y2＝﹣6，
∵x1y2＝﹣3，
∴y1y2=−6−3=2，
∴y1＝2y2，
∴x2y1＝2x2y2＝2×（﹣6）＝﹣12，
故答案为：﹣12．
13．（3分）如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，点E、F分别为边BC、AD上任意一点，且O、E、F三点在一条直线上，连接AO，BO，EO，FO．若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积是 　33　．

【分析】连接CO，过A作AH⊥BC于H，依据点O是平行四边形ABCD的对称中心，即可得到S△BOC=12S△ABC，再根据△AOF≌△COE（SAS），即可得到S△AOF＝S△COE，进而得出S阴影部分＝S△BOC＝33．
【解答】解：如图所示，连接CO，过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝4，∠ABC＝60°，∠AHB＝90°，
∴∠BAH＝30°，BH=12AB＝2，
∴AH＝23，
∴S△ABC=12BC×AH=12×6×23=63，
又∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，
∴O是AC的中点，
∴S△BOC=12S△ABC=12×63=33，
∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，且O、E、F三点在一条直线上，
∴AO＝CO，FO＝EO，∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE（SAS），
∴S△AOF＝S△COE，
∴S阴影部分＝S△BOC＝33，
故答案为：33．

三、解答题（共14小题，计81分.解答应写出过程）
14．（4分）计算：（−13）﹣2−3×27+|3﹣π|．
【分析】先计算负整数指数幂、二次根式和绝对值，后计算加减．
【解答】解：（−13）﹣2−3×27+|3﹣π|
＝9﹣9+π﹣3
＝π﹣3．
15．（4分）化简：（2x﹣3）（2x+3）﹣（2x﹣1）2．
【分析】先利用平方差公式与完全平方公式分别计算乘法与乘方，再去括号、合并同类项即可．
【解答】解：（2x﹣3）（2x+3）﹣（2x﹣1）2
＝（4x2﹣9）﹣（4x2﹣4x+1）
＝4x2﹣9﹣4x2+4x﹣1
＝4x﹣10．
16．（4分）解一元一次不等式组：3−2x＜5x+43≥x．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3﹣2x＜5，得：x＞﹣1，
解不等式x+43≥x，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
17．（4分）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC．请用尺规作图法，在线段DE上求作一点P，使点P到线段AB、BC的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】作∠ABC的角平分线交DE于点P，点P即为所求．
【解答】解：如图，点P即为所求．

18．（4分）解方程：x−3x−2+1=22−x．
【分析】去分母将分式方程转化为整式方程，求出解再检验即可．
【解答】解：去分母得：x﹣3+x﹣2＝﹣2，
移项，合并同类项得：2x＝3，
解得x＝1.5．
检验：当x＝1.5时，x﹣2≠0，
∴x＝1.5是原分式方程的解．
19．（5分）如图，点C、E、F、B在同一条直线上，CE＝BF，AB＝DC，AB∥DC．求证：∠A＝∠D．

【分析】先由CE＝BF推导出BE＝CF，再由AB∥DC证明∠B＝∠C，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABE≌△DCF，再根据全等三角形的对应角相等证明∠A＝∠D．
【解答】证明：如图，∵CE＝BF，
∴CE+EF＝BF+EF，
∴BE＝CF，
∵AB∥DC，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
AB=DC∠B=∠CBE=CF，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠A＝∠D．
20．（5分）近期某高校为保护学生和教师的健康，进行了“抗疫物资”储备，用19000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，且甲、乙两种口罩的售价分别是20元/盒，25元/盒．求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？
【分析】设甲种口罩购进了x盒，乙种口罩购进了y盒，由题意：用19000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，且甲、乙两种口罩的售价分别是20元/盒，25元/盒．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设甲种口罩购进了x盒，乙种口罩购进了y盒，
依题意得：x+y=90020x+25y=19000，
解得：x=700y=200，
答：甲种口罩购进了700盒，乙种口罩购进了200盒．
21．（5分）第二十四届冬奥会于2022年2月20日在北京闭幕，北京成为全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．如图，是四张关于冬奥会运动项目的卡片，卡片的正面分别印有A．“花样滑冰”、B．“高山滑雪”、C．“单板滑雪大跳台”、D．“钢架雪车”（这四张卡片除正面图案外，其余都相同）．将这四张卡片背面朝上，洗匀．
（1）从中随机抽取一张，抽得的卡片恰好为“花样滑冰”的概率为 　14　；
（2）若先从中随机抽取一张，记录这张卡片上图案的运动项目后放回，背面朝上，洗匀．再从中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法，求这两次抽取的卡片图案上是“单板滑雪大跳台”和“钢架雪车”运动项目的概率．

【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）从中随机抽取一张，抽得的卡片恰好为“花样滑冰”的概率为14，
故答案为：14；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有16种能可能出现的结果情况，其中两次抽取的卡片图案上是“单板滑雪大跳台”和“钢架雪车”运动项目的有2种结果，
所以两次抽取的卡片图案上是“单板滑雪大跳台”和“钢架雪车”运动项目的概率为216=18．
22．（6分）本学期开学后，某校为了激发学生进行体育活动的积极性，提高学生身体素质，对九年级学生进行了1分钟“跳绳”项目摸底测试，同时统计了每个人的跳绳个数（设为x）．现在将这些同学中女生的测试结果随机抽取若干个成绩进行分析，分为四个等级：A．优秀（x≥170）、B．良好（145≤x≤169）、C．及格（120≤x≤144）和D．不及格（x≤119），并将统计结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全如图的条形统计图和扇形统计图；
（2）被测试女生1分钟“跳绳”个数的中位数落在 　B　等级；
（3）如果该校九年级现有女生500人，请估计该校九年级女生中1分钟“跳绳”个数达到优秀的人数．
【分析】（1）根据A等级的百分比和人数可得总人数，计算出C等级的人数和B等级的百分比可完成统计图；
（2）根据中位数的定义即可得出答案；
（3）根据A等级占24%可得九年级达到优秀的人数．
【解答】解：（1）总人数为6÷24%＝25（人），
C等级人数为25×20%＝5（人），
B等级所占百分比为1225×100%＝48%，
补图如下：

（2）∵共有25个人，6+12＝18，
∴中位数落在B等级，
故答案为：B；
（3）500×24%＝120（人），
即九年级女生中1分钟“跳绳”个数达到优秀的人数是120人．
23．（7分）风筝起源于春秋战国时期，至今已有两千多年．星期日，小明（A）与小丽（B）两人来到广阔的草原，一前一后在水平地面AD上放风筝，结果风筝在空中C处纠缠在一起，如图所示，测得∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，且小丽、小明之间的距离AB＝20m，求此时风筝C处距离地面的高度．（参考数据：3≈1.732，结果保留一位小数）

【分析】过点C作CE⊥AD，垂足为E，利用三角形的外角可证明BA＝BC，然后在Rt△CBE中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：过点C作CE⊥AD，垂足为E，

∵∠CBD是△ABC的一个外角，
∴∠CBD＝∠CAD+∠ACB，
∵∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAD＝30°，
∴BA＝BC＝20（米），
在Rt△CBE中，sin∠CBE=CEBC=CE20，
∴CE＝20×sin60°＝20×32=103≈17.3（米），
∴此时风筝C处距离地面的高度为17.3米．
24．（7分）某年级430名师生秋游，计划租用8辆客车，现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如下表：

甲种客车
乙种客车
载客量（座/辆）
60
45
租金（元/辆）
550
450
（1）设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式；
（2）当甲种客车有多少辆时，能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少，最少费用是多少元？
【分析】（1）根据表格可以求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式；
（2）由表格中的数据可以得到甲乙两辆车的载客量应至少为430人，从而可以列出相应的不等式得到x的值，因为x为整数，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）由题意，得：
y＝550x+450（8﹣x），
化简，得y＝100x+3600，
即y（元）与x（辆）之间的函数表达式是y＝100x+3600；
（2）由题意，得：
60x+45（8﹣x）≥430，
解得，x≥423且x为整数，
∵y＝100x+3600，
∵100＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴x＝5时，租车费用最少，最少为：y＝100×5+3600＝4100（元），
即当甲种客车有5辆时，能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少，最少费用是4100元．
25．（8分）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE．
（1）过点C作⊙O的切线交BP于点D，求证：CD⊥PA；
（2）若⊙O的半径为5，AB＝6，求BD的长．

【分析】（1）连接OC，证明OC与AP平行即可．
（2）过点O作OF⊥AB交BP于点F，易证四边形DCOF为矩形，，进而可求出BD的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，

∴OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴PA∥OC，
∵OC为⊙O的半径，CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴CD⊥PA．
（2）如图，过点O作OF⊥AB交BP于点F，

∴AF＝BF=12AB，∠OFD＝90°，
由（1）可知∠OCD＝∠CDA＝90°，
∴四边形DCOF为矩形，
∴DF＝OC＝OA，DF＝CD，
∴BD＝DF+BF＝OA+12AB=5+12×6=8．
26．（8分）如图，抛物线y＝ax2+5x+c交x轴于点A（1，0）、B，交y轴于点C（0，﹣4）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若P是抛物线上x轴上方的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M．是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）用待定系数法即得抛物线的表达式为y＝﹣x2+5x﹣4；
（2）过P作PM⊥x轴于M，在y＝﹣x2+5x﹣4中，可得B（4，0），从而OB＝OC＝4，OA＝1，∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°，设P（t，﹣t2+5t﹣4），则M（t，0），∠PMA＝90°，根据以A，P，M为顶点的三角形与△OBC相似，知AM＝PM，即t﹣1＝﹣t2+5t﹣4，即可解得答案．
【解答】解：（1）把A（1，0）、C（0，﹣4）代入y＝ax2+5x+c得：
a+5+c=0c=−4，
解得a=−1c=−4，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+5x﹣4；
（2）存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OBC相似，理由如下：
过P作PM⊥x轴于M，如图：

在y＝﹣x2+5x﹣4中，令y＝0得﹣x2+5x﹣4＝0，
解得x＝1或x＝4，
∴B（4，0），
∴OB＝OC＝4，OA＝1，∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°，
由P是抛物线上x轴上方的一动点，设P（t，﹣t2+5t﹣4），
则M（t，0），∠PMA＝90°，
∵以A，P，M为顶点的三角形与△OBC相似，
∴AM＝PM，即t﹣1＝﹣t2+5t﹣4，
解得t＝1（舍去）或t＝3，
当t＝3时，﹣t2+5t﹣4＝﹣32+5×3﹣4＝2，
∴P（3，2）．
答：存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OBC相似，P的坐标是（3，2）．
27．（10分）【问题提出】
（1）如图①，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，则线段AC的最大值为 　a+b　；（用含a，b的式子表示）
【问题探究】
（2）如图②，点A为线段BC外一动点，且BC＝6，AB＝3，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE，找出图中与BE相等的线段，请说明理由，并求出线段BE长的最大值；
【问题解决】
（3）如图③，某市区有一块空地，为了美化环境，计划设计一个不规则的四边形景观区域ABCD．根据实际情况，要求AB＝AD，∠BAD＝60°，且对角线BD⊥CD于点D，为尽量增加游客观赏时间、提高观赏体验感，计划在景观区域内部沿对角线AC修一条小道．已知BC＝40m，求AC的最大值．


【分析】（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；
（2）①根据等边三角形的性质得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD＝BE；②由于线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；
（3）以BC为边作等边三角形△BCM，由△ABC≌△DBM，推出AC＝MD，推出欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，由BC＝40m＝定值，∠BDC＝90°，推出点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，点D，点O，点M共线时，DM的值最大．
【解答】解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，
∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB＝a+b，
故答案为：a+b；

（2）①CD＝BE，
理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
即∠CAD＝∠EAB，
在△CAD与△EAB中，
AD=AB∠CAD=∠EABAC=AE，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴CD＝BE；
②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，
∴由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，
∴BE的最大值为BD+BC＝AB+BC＝3+6＝9；

（3）如图，以BC为边作等边三角形△BCM，
∵∠ABD＝∠CBM＝60°，
∴∠ABC＝∠DBM，
∵AB＝DB，BC＝BM，
∴△ABC≌△DBM（SAS），
∴AC＝MD，
∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，
∵BC＝40m＝定值，∠BDC＝90°，
∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，
由图象可知，当点D在BC上方，点D，点O，点M共线时，DM的值最大，最大值为20（3+1）m，
∴AC的最大值为20（3+1）m．