2021-2022学年 北师大版2019必修2第二章平面向量及其应用 单元测试卷（word版含答案）
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2021-2022学年 必修2第二章平面向量及其应用 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(每题4分，共8各小题，共计32分)
1.已知向量,且,则( )
A.9 B.3 C. D.
2.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，，的面积为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
3.在中，边上的点满足，设，，则（ ）
A. B. C. D.
4.如图,在矩形ABCD中,,,E为BC的中点,点F在边CD上.若,则的值是( )
A. B.1 C. D.2
5.已知一个三角形的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的最小角的余弦值是( )
A. B. C. D.
6.已知点M是的边BC的中点，点E在边AC上，且，则向量( )
A. B. C. D.
7.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，则( )
A.6 B.5 C.4 D.3
8.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，角A的平分线交BC于点D，且，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(每题4分，共2各小题，共计8分)
9.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，.若，则的面积可能为( )
A. B. C. D.
10.三角形有一个角是60°，组成这个角的两边长分别为8和5，则( )
A.三角形的另一边长为6 B.三角形的周长为20
C.三角形内切圆的面积为 D.三角形外接圆的周长为
三、填空题(每题4分，共5各小题，共计40分)
11.已知，，则__________.
12.已知单位向量a，b的夹角为45°，与a垂直，则_______________.
13.在平行四边形ABCD中，，边AB，AD的长分别为2和1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足，则的取值范围是______________.
14.在中，，，，则的面积等于____________.
15.已知中，角所对边长分别为，满足且，则面积的最大值为________．
四、解答题
16.从①，，②，，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）若且，求的值；
（2）若D是线段AC上的一点，，________________，求BD的长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
17.在中，角所对的边分别为．已知．
（1）求；
（2）若，求周长取值范围．
18.如图，在中，角所对的边为，．
（1）若，求的长；
（2）若，求面积的最大值．
19.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求的大小；
(2)若的外接圆的半径为，面积为，求的周长.
参考答案
1.答案：C
解析：,解得，则.故选C.
2.答案：C
解析：因为，所以，所以.又因为，所以，所以，所以，当且仅当，即，或，时，等号成立，故的最小值为.故选C.
3.答案：B
解析：由，得，∴，
故选：B.
4.答案：C
解析：因为，,所以，，所以.故选C.
5.答案：B
解析：设的最大角为，最小角为，可得出，，
由题意得出，，所以，，
即，即，
将，代入得，解得，，，
则，故选B.
6.答案：B
解析：如图：
点M是的边BC的中点，点E在AC上，且，则向量.
7.答案：A
解析：由，结合正弦定理，得，所以.由余弦定理得，即，整理得.故选A.
8.答案：B
解析：因为，角A的平分线交BC于点D，所以.又，所以.因为，所以，.因为，所以，解得.在中，由正弦定理得，即，所以.因为，所以.又因为，，所以，所以为锐角，所以.故选B.
9.答案：BD
解析：，，去分母得，整理得.当时，为等边三角形，则；当时，，即，得为直角三角形，则.故选BD.
10.答案：BC
解析：由余弦定理可得三角形的另一边长为，故A错误，B正确.设这个三角形的内切圆半径为r，则，则，则内切圆的面积为，故C正确.设这个三角形的外接圆的半径为R，则，则外接圆的周长为，故D错误.故选BC.
11.答案：
解析：因为，所以，又因为，
所以，即，又，
所以，所以，
所以，
故答案为：.
12.答案：
解析：由题意知，所以.因为与a垂直，所以，即，即，得.
13.答案：
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，设，，则，，所以.因为，二次函数的对称轴为，所以时，.
14.答案：或
解析：在中，，，.
由正弦定理可得，得.
，，或.
当时，，；
当时，，.
15.答案：
解析：
16.答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）在中，由及，
得，
所以，
由正弦定理得，
又，所以.
（2）方案一：选条件①.
由及，得，.
设，，，则，，
所以，，
所以，.
因为，，所以，所以，
由余弦定理得，得，.
由得，
得，即.
方案二：选条件②.
由及，得，.
设，，，
因为，所以，
所以，
又，所以，（负值舍去），
所以，，
所以，.
因为，，所以，所以，
由余弦定理得，得，，
由得，
得，即.
方案三：选条件③.
由及，得，.
由，得线段BD平分且.
由得，
设，则.
由三角形内角平分线的性质可得，即.
由余弦定理得，即，
得，，代入，得，即.
17.答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，
由正弦定理可得，即，所以，，
，.
（2）由（1）可得，
即，可得，当且仅当时，等号成立，
由三角形三边关系可得，所以，，.
因此，周长取值范围.
18.答案：（1）
（2）
解析： （1）由题意知：，
设，
在中，，所以①，
而，所以②
由（1）（2）得：，解得，所以．
（2）由（1）知，而为三角形内角，
所以，
因为，所以．
在中，，
所以，当且仅当时时取等号，
所以，
所以面积的最大值为．
19.答案：(1)
(2)的周长.
解析：解：(1)因为，由正弦定理可得：，
由三角形内角和定理和诱导公式可得：，
代入上式可得：，
所以：.
因为：，
所以：，即：.
由于：，
所以：.
(2)因为：的外接圆的半径为，由正弦定理可得：.
又的面积为，
所以：，即：，
所以：.
由余弦定理得：，
则：，
所以：，即：.
所以：的周长.
