2021-2022学年人教B版2019必修2 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 单元测试卷（word版含答案）

2021-2022学年必修2 第四章 指数函数、对数函数与幂函数  单元测试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题(每题4分，共8各小题，共计32分)

1.设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若，则(   )

A. B. C. D.

2.幂函数的图象过点,则该幂函数的解析式为(   )

A. B. C.  D.

3.某引进的外来水生植物在水面的蔓延速度极快，对当地的生态造成极大的破坏.某科研部门在水域中投放一定面积的该植物，研究发现该植物在水面的覆盖面积（单位：）与经过的时间（单位：月）的关系式为，当投放一定面积的该植物后，经过1个月面积达到.那么要使该植物在水面的覆盖面积达，至少要经过的时间约为（    ）参考数据：（）

A.15个月 B.16个月 C.17个月 D.18个月

4.已知幂函数在上是减函数，则的值为（    ）

A.1或 B.1 C. D.

5.已知函数，则（    ）

A. B. C.0 D.14

6.已知函数，则不等式的解集为（    ）

A. B. C. D.

7.在导数定义中“当时，，（   ）

A.恒取正值  B.恒取正值或恒去取负值

C.有时可取  D.可取正值可取负值，但不能取零

8.16、17世纪之交，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，在此基础上，布里格斯制作了第一个常用对数表，在科学技术中，还常使用以无理数e为底数的自然对数，其中称之为“欧拉数”，也称之为“纳皮尔数”对数是简化大数运算的有效工具，依据下表数据，的计算结果约为（    ）

A.3.797 B.4.715 C.5 D.7.397

二、多项选择题(每题4分，共2各小题，共计8分)

9.已知幂函数，则是（    ）

A.偶函数 B.奇函数 C.有最大值 D.无最大值

10.高斯是德国著名的数学家.近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字自名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，已知函数，，则下列叙述中错误的是（    ）

A.为减函数  B.为奇函数

C.为偶函数  D.的值域是

三、填空题(每题4分，共5各小题，共计20分)

11.函数且的图像恒过定点，则点的坐标为___________.

12.已知函数，则的解集为____________.

13.设幂函数的图象经过点，则___________.

14.函数且的图象恒过的定点是_____________.

15.某产品的总成本（万元）与产量（台）之间的关系式为，若每台产品的售价为8万元，且当产量为6台时，生产者可获得的利润为16万元，则____________.

四、解答题(每题10分，共4各小题，共计40分)

16.已知函数，其中

（1）求函数的最大值和最小值；
（2）若实数满足：恒成立，求实数的取值范围.

17.已知奇函数.

(1)求实数a的值；

(2)判断函数在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；

(3)当时，恒成立，求实数m的取值范围.

18.已知幂函数()的图象经过点

(1)试求m的值并写出该幂函数的解析式

(2)试求满足的实数a的取值范围

19.某林区2018年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁砍伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率达到5%.

(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求的表达式，并求此函数的定义域；

(2)作出函数的图像，并应用图像求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米.

参考答案

1.答案：B

解析：由已知，，则.设，则.因为，则.又，，则，即，从而.当时，，则在内单调递增，所以，即，选B.

2.答案：B

解析：设幂函数(a为常数)，幂函数的图象过点，，即，解得，.故选：B.

3.答案：B

解析：当时，，则，

设需要经过个月该植物在水中域中的面积达到，则，

则，

故至少需要经过大约16个月.

故选：B.

4.答案：D

解析：依题意是幂函数，所以，解得或.

当时，在递增，不符合题意.

当时，在递减，符合题意.

故选：D

5.答案：A

解析：令，对任意，，

所以，函数的定义域为，

，

因此，

.

故选：A.

6.答案：D

解析：

7.答案：D

解析：根据题意，当时，，

的值可取正值和负数，但不能取0；

故选：D．

8.答案：A

解析：，

∴根据表格对应关系知：结果约为3.797．

故选：A.

9.答案：BD

解析：由题可知，是幂函数，则，

所以，

所以是奇函数，且无最大值.

故选：BD.

10.答案：ABC

解析：由题意，函数，

因为，所以，所以，

当时，即时，；

当时，即时，，

所以，作出函数的图象，如图所示，

结合图象，可得既不是偶函数，也不是奇函数，且不是单调函数，值域为.

故选：ABC.

11.答案：

解析：设.

当时，，

所以函数的图象经过定点.

故答案为：

12.答案：

解析：由题意，函数是定义在R上的奇函数，且，在R上单调递增，，即，即，解得.

13.答案：4

解析： 幂函数的图象经过点，，解得，

故答案为：4.

14.答案：

解析：因为函数图象恒过定点，所以令函数中，得，所以，所以函数图象恒过定点.

15.答案：3

解析：当产量为 6 台时，总成本 万元，
则生产者可获得的利润为 ，
解得 ，
故答案为 : 3

16.答案： （1）最小值为，最大值为26；

（2）.

解析： (1)

令，

∵，

∴.

令

当时，是减函数；当时，是增函数.

∴

(2)∵恒成立，即恒成立

∴恒成立.

由(1)知，

∴.

故的取值范围为

17.答案：(1)

(2)在上单调递减，理由见解析

(3)

解析：(1)是奇函数，

，即.

，即，得，

经检验时不符合题意，.

(2)在上单调递减.

证明：

由(1)得，.任取，，且，

.

，，，，

，，

在上单调递减.

(3)由已知得，即.

由(2)知在上为减函数，

在上的最小值为.

于是，即实数m的取值范围为.

18.答案：(1)，.

(2)

解析：(1)由题可得，所以，

所以，解得或，又，

所以，.
(2)的定义域为，且在上单调递增

则有，解得，

所以a的取值范围为.

19.答案：(1)

(2)经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米

解析：(1)现有木材的蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为；经过2年后木材蓄积量为；

所以经过x年后木材蓄积量为.

所以.

(2)作出函数的图像，如图中散点所示.

设直线与图中曲线交于点A，则，点A的横坐标的值就是时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的年数x的值.因为，则取，所以经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米.