专题18 带电粒子在匀强电场中的偏转-2022高考物理一轮复习压轴题剖析（电学部分）

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专题18 带电粒子在匀强电场中的偏转 压轴题
一、单选题
1．喷墨打印机的简化模型如图所示，墨计微滴（重力不计）从墨盒喷出，经带电室带负电后，以速度v沿轴线垂直匀强电场飞入极板间，最终打在纸上，纸面关于轴线对称，通过调节信号输入使微滴可以带不同的电荷量q，改变偏转电压U及两极板的极性均可改变墨汁微滴打在纸上的位置，乃至能够恰好使微滴可以打在纸上的最高点和最低点。如果极板长度为L，板间距离为d，极板右端到纸面的距离为，纸张最高点到最低点的距离为2d，则（　　）

A．在微滴带负电时，要使微滴打在纸张的下部，应使上极板为正极
B．如果板间电压一定，要使微滴打在纸张上时的偏移量加倍，则微滴的电荷量要加倍
C．如果以中央轴线为准，上下增大板间距离，可以提高微滴偏移的灵敏度
D．要使微滴打在纸张的最高点或最低点，则微滴带电荷量与板间电压的关系应满足
【答案】B
【解析】
A．如果上极板是正极，则板间电场方向向下，由于微滴带负电，则微滴所受电场力向上，故会往上偏打到纸张的上部，A错误；
B．微滴在电场中做类平抛运动，由L=vt，

解得

由射出电场时速度方向的反向延长线过水平位移的中点，可得

为微滴在纸张上的偏移量，即

在U一定时，有，故如果板间电压一定，要使微滴打在纸张上的偏移量加倍，则微滴的电荷量要加倍，B正确；
C．由

知在保持其他条件不变的情况下，，则板间距离增大，微滴的偏移量减小，说明微滴偏移的灵敏度降低，C错误；
D．当微滴在纸张上的偏移量为d时，即有

解得

D错误。
故选B。
2．如图所示，虚线所围矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场．现从ab边的中点O处，某一粒子以最小速度υ垂直于磁场射入、方向垂直于ab时，恰能从ad边的a点穿出．若撤去原来的磁场在此矩形区域内存在竖直向下的匀强电场，使该粒子以原来的初速度在O处垂直于电场方向射入，通过该区域后恰好从d点穿出，已知此粒子的质量为m，电荷量的大小为q，其重力不计；ab边长为2ι，ad边长为3ι，则下列说法中正确的是（ ）

A．匀强磁场的磁感应强度大小与匀强电场的电场强度大小之比为
B．匀强磁场的磁感应强度大小与匀强电场的电场强度大小之比为
C．离子穿过磁场和电场的时间之比
D．离子穿过磁场和电场的时间之比
【答案】D
【解析】A、B项：粒子在磁场中运动，由题意可知，粒子做圆周运动的半径为，
由公式可得：，
联立两式解得：；
粒子在电场中偏转有：


联立解得：
所以，故A、B错误；
C、D项：粒子在磁场中运动的时间为：
粒子在电场中运动的时间为：
所以，故C错误，D正确．
故选D．
3．如图所示，一直角三角形处于平行于纸面的匀强电场中，∠A=90°，∠B=30°，AC长为L，已知A点的电势为，B点的电势为，C点的电势为0．一带电的粒子从C点以的速度出发，方向如图所示（与AC边成60°）．不计粒子的重力，下列说法正确的是（ ）

A．电场强度的方向由B指向C
B．电场强度的大小为
C．若粒子能击中图中的A点，则该粒子的比荷为
D．只要粒子的速度大小合适，就可能击中图中的B点
【答案】C
【解析】A、根据电场的性质，可知BC的中点的电势为，所以电场强度的方向沿∠C的角平分线指向C，故A错误；

B、根据可知电场强度的大小为，故B错误；
C、粒子在电场中做类平抛运动，粒子能击中图中的A点，则有，，，联立解得，故C正确；
D、粒子做类平抛运动，所以粒子速度不论多大在电场中都不能击中图中的B点，故D错误；
故选C．
4．如图所示为某粒子分析器的简化结构．一束带电粒子从 A 小孔特定的角度和初速度射入平行板电极 P和 Q 之间的真空区域，经偏转后打在 Q极板上如图所示的位置．在其他条件不变的情况下要使该 粒子束能从 Q极板上 B孔射出（不计粒子重力和粒子间的相互影响）．下列操作中可能实现的是（ ）

A．先断开开关S，再适当上移 P极板
B．先断开开关S，再适当左移 P极板
C．保持开关S闭合，适当上移 P极板
D．保持开关S闭合，适当左移 P极板
【答案】C
【解析】A、当断开开关S，则极板间电量不变，那么极板间电场强度，随着极板正对面积变化而变化，与极板间距无关，故A错误；
B、当断开开关，同理，当左移P极板时，极板间的电场强度增大，那么带电粒子在极板间运动的时间减小，则射程将更小，故B错误；
C、当保持开关S闭合，极板间的电压不变，根据，当适当上移P极板时，则极板间的电场强度减小，那么带电粒子在极板间运动的时间增大，则射程将更大，故C正确；
D、当保持开关S闭合，同理，适当左移P极板，极板间的电场强度不变，则射程不变，故D错误；
故选C．
5．如图所示，虚线空间存在水平向右的匀强电场，一电荷量为的带电粒子，从a点由静止开始经电压为的电场加速后，垂直于匀强电场方向以的速度进入匀强电场中，从虚线MN上的某点b（图中未画出）离开匀强电场时速度与电场方向成45°角．已知PQ、MN间距离为20cm，带电粒子的重力忽略不计．若带电粒子质量为m，离开电场时沿电场方向的偏转量为y，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】粒子在加速电场中运动的过程，由动能定理得：，解得带电粒子质量，粒子进入匀强电场中做类平抛运动，沿初速度方向做匀速运动，则有：，粒子沿电场方向做匀加速运动，则有：，由题意得：，偏转量，代入数据得，故A正确，BCD错误；
故选A．
6． （单选）如图所示，平行板电容器竖直放置，右侧极板中间开有一小孔，两极板之间的距离为12cm，内部电场强度大小为10N/C；极板右侧空间有磁感应强度大小为0.5T的匀强磁场．一比荷为1.6×10 2C/kg的带负电粒子，从电容器中间位置以大小为8m/s的初速度平行于极板方向进入电场中，经过电场偏转，从电容器右极板正中间的小孔进入磁场，不计带电粒子的重力及空气阻力．下列说法不正确的是（  ） 

A．电容器极板长度为×10-2m
B．粒子进入磁场时的速度大小为16m/s
C．粒子进入磁场时速度与水平方向夹角为60°
D．粒子在磁场中的运动时间为s
【答案】C
【解析】带电粒子在电场中做类平抛运动，则竖直方向： ；水平方向： ，解得,选项A正确；粒子进入磁场时水平速度： ，则粒子进入磁场时的速度大小为;粒子进入磁场时速度与水平方向夹角为，则θ=300，选项C错误；粒子在磁场中转过的角度为1200，则在磁场中运动的时间，选项D正确；故选ABD.

二、多选题
7．如图所示，带电粒子a、b从同一点以相同速度射入平行板间的匀强电场中，速度与电场方向垂直，a、b分别打在M、N点，若，不计粒子的重力，则粒子a、b的（ ）

A．运动时间之比为
B．加速度大小之比为
C．比荷之比为
D．位移大小之比为
【答案】AC
【解析】A．带电粒子射入电场后，在水平方向做匀加速运动，竖直方向做匀速运动，则竖直方向y=v0t可知

选项A正确；
B．水平方向：

则

则加速度大小之比为

选项B错误；
C．由，则比荷之比等于加速度之比，即4:1，选项C正确；
D．设水平位移均为x，则竖直位移分别为y和2y，则位移之比

选项D错误．
8．棱长为d的正方体置于存在匀强电场E的空间中，ABCD—A1B1C1D1是正方体的顶点。从D点向正方体内沿不同方向射入速度大小都是v，电荷量均为+q的带电粒子（不计重力）。从顶点射出的带电粒子中B1点的出射粒子动能最大，则下列说法正确的是（　　）

A．顶点D、B1之间的电势差可能为
B．顶点D、B1之间的电势差可能为Ed
C．电场方向一定沿着DB1的连线，且自D指向B1
D．从D1点射出的带电粒子的速率可能为
【答案】AD
【解析】A．从D点向正方体内沿不同方向射入然后从顶点射出的带电粒子中B1点的出射粒子动能最大，则电场线的方向可能是由D指向B1，根据几何关系可知DB1之间的距离为： 所以电势差可能等于，故A正确；
B．要保证从B1点的出射粒子动能最大，则DB1在场强方向上的有效长度就不可能小于d，所以顶点D、B1之间的电势差不可能为Ed，故B错误；
C．要保证从B1点的出射粒子动能最大，则电场线可能是由D指向B1，也可能是非常接近DB1连线的直线，所以电场线不确定，故C错误；
D．若电场线沿着DB1的连线，且自D指向B1，根据动能定理解得：，从D1点射出的粒子速度小于此值，可能为，故D正确。
故选AD。
9．如图所示，长为8d、间距为d的平行金属板水平放置，O点有一粒子源（O点在极板左侧的中间处），能持续水平向右发射初速度为v0，电荷量为+q，质量为m的粒子。在两板间存在如图所示的交变电场，取竖直向下为正方向，不计粒子重力。以下判断正确的是（　　）

A．粒子在电场中运动的最短时间为
B．射出粒子的最大动能为mv02
C．时刻进入的粒子，从O点射出
D．时刻进入的粒子，从O点射出
【答案】AD
【解析】A．由图可知场强，则粒子在电场中的加速度

则粒子在电场中运动的最短时间满足

解得

选项A正确；
B．能从板间射出的粒子在板间运动的时间均为

则任意时刻射入的粒子射出电场时沿电场方向的速度均为0，可知射出电场时的动能均为，选项B错误；
C．时刻进入的粒子，在沿电场方向的运动是，先向下加速，后向下减速速度到零，若粒子没打在极板上，此过程粒子向下运动的位移为

则粒子将打在极板上，无法从O点射出，故C错误；
D．时刻进入的粒子，在沿电场方向的运动是：先向上加速，后向上减速速度到零，若粒子没打在极板上，此过程粒子向上运动的位移为

粒子恰好没有打在极板上，之后向下加速，再向下减速速度到零，此时回到直线OO’上。之后沿电场方向重复这个过程，则粒子最后从O点射出，选项D正确。
故选AD。
10．如图所示，虚线框abcd内存在着平行于线框平面的匀强电场或垂直于线框平面的匀强磁场，一带正电的粒子从bc边上的P点以速度v0射入，在虚线框内运动到cd边上的Q点飞出，飞出时的速度大小也为v0．已知PQ间距离为L，粒子在P、Q两点的速度方向与PQ连线的夹角都为θ（θ＜90º），粒子重力不计．下列说法中正确的是（ ）　　

A．若为匀强电场，场强方向可能与PQ平行
B．若为匀强电场，粒子从P到Q的最小速度为v0conθ
C．不论是电场或磁场，都可以求出粒子从P到Q的时间
D．若为匀强磁场，磁场方向垂直纸面向内
【答案】BC
【解析】AB．虚线框内若为匀强电场，带电粒子从P到Q做类类斜抛运动，运动轨迹为抛物线，根据对称性，电场方向应与PQ垂直，其最小速度为v0conθ，A错误、B正确；
D．虚线框内若为匀强磁场，根据左手定则，磁场方向应垂直纸面向外，D错误；
C．若为电场，则；若为磁场，粒子在磁场中的偏向角为2θ，圆心角也为2θ，则，，解得：，故C正确.
11．某空间内有高度为d、宽度足够宽、方向水平向左的匀强电场．当在该空间内建立如图所示的坐标系后．在x轴上的P点沿y轴正方向连续射入相同的带电粒子（粒子重力不计），由于粒子的入射速率v不同，有的粒子将在电场中直接通过y轴，有的将穿出电场后再通过y轴．设粒子通过y轴时，离坐标原点的距离为h，从P到y轴所需的时间为t，则（ ）

A．由题设条件不能判断出粒子的带电性质
B．对h≤d的粒子，h不同，粒子在电场中的运动时间t相同
C．对的粒子，h不同，在时间t内，电场力对粒子做的功不相等
D．不同h对应的粒子，进入电场时的速率v可能相同
【答案】BC
【解析】粒子受电场力向左，可知粒子带正电，选项A错误；对h≤d的粒子，一直在电场中运动，然后通过y轴，水平方向的加速度相同，水平位移相同，则运动时间相同，选项B正确；对的粒子先在电场中向左偏转，然后从电场上边界出离电场，作直线运动到达y轴上，h不同的粒子，从电场上边界射出的位置不同，在电场中沿电场线方向的位移不同，则电场力对粒子做的功不相等，选项C正确；若h≤d的粒子，水平分位移x相等，由x=at2知，运动时间t相等，竖直分位移h=v0t，则h越大的粒子，进入电场时的速率v也越大；对h＞d的粒子，通过电场时竖直分位移y相等，h越大，沿着电场力偏转位移x越小，由x=at2可知t越小，由y=v0t，可知，v越大，故选项D错误；故选BC.
12．如图所示，一个半径R=0.5m的圆形轨道固定在竖直面内，以其最高点O为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，其中x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向，整个空间存在范围足够大、方向竖直向下的匀强电场，规定O点为电势能及重力势能的零点。若从O点将一个质量m=0.1kg、可视为质点的带正电小球以v0=2m/s的速度平行于x轴抛出，小球落于轨道上x=0.4m处的A点，若该小球抛出速度增至4v0，小球将沿轨道做完整的圆周运动，已知重力加速度g=10m/s2，则下列说法正确的是（ ）

A．小球所受电场力大小等于其重力的4倍
B．小球以v0=2m/s的速度抛出后运动至A点的过程中，其速度变化量为8m/s，方向竖直向下
C．小球以4v0的速度抛出后的运动过程中，小球与轨道间的最大弹力为29.8N
D．小球以4v0的速度抛出后的运动过程中，小球机械能的最大值为6.2J
【答案】BD
【解析】A．带电小球以v0=2m/s的速度沿x轴正向抛出，小球落于轨道上x=0.4m处，由运动公式

x=v0t
解得
t=0.2s，a=40m/s2
由牛顿第二定律得
mg+qE=ma
解得
qE=3mg
故A错误；
B．小球以v0=2m/s的速度抛出后从最高点至最低点的运动过程，其速度变化为∆v=at=8m/s，方向竖直向下，故B正确；
C．小球以4v0的速度抛出后从最高点至最低点的运动过程中由动能定理可得

解得v=12m/s，在最低点

解得N=32.8N，故C错误；
D．小球运动至最低点时，电势能最小，机械能最大，最大值为
J
故D正确。
故选BD。
13．如图，在xOy平面的第一象限内，分布有沿x轴负方向的场强的匀强电场，第四象限内分布有垂直于纸面向里的磁感应强度B1=0.2T的匀强磁场，第二、三象限内分布有垂直于纸面向里的 磁感应强度为B2的匀强磁场。在x轴上有一个垂直于y轴的平板OM平板上开有一个小孔P，P处连接有一段长度d=1cm，内径不计的准直管，位于第一象限内，管内由于静电屏蔽没有电场。Y轴负方向上距O点cm的粒子源S可以向第四象限平面内各个方向发射α粒子，且OS
A．经过P点进入电场中运动的α粒子，第一次到达y轴的位置与O点的距离为0.06m
B．经过P点进入电场中运动的α粒子，第一次到达y轴的位置与O点的距离为0.07m
C．要使离开电场的α粒子能回到粒子源S处，磁感应强度B2可为
D．要使离开电场的α粒子能回到粒子源S处，磁感应强度B2可为
【答案】BD
【解析】AB．在B1磁场中做匀速圆周运动，则有

得到

粒子进入电场后做类平抛运动， x轴方向位移为

y轴方向位移为

加速度为

由几何关系可得

所以粒子到达y轴位置与O点的距离
；
CD．设粒子在y轴射出电场的位置到粒子源S的距离为H，有

设粒子在y轴射出电场的速度方向与y轴正方向夹角为θ，有

所以
θ=45°，
粒子离开电场经B2磁场偏转后直接回到离子源处，则在B2磁场中圆周运动半径为

由得

故D正确，C错误；
故选BD。

14．如图所示，一充电后与电源断开的平行板电容器的两极板水平放置，板长为L，板间距离为d，距板右端L处有一竖直屏M.一带电荷量为q、质量为m的质点以初速度v0沿中线射入两板间，最后垂直打在M上，则下列结论正确的是（已知重力加速度为g）（　　）

A．两极板间电压为
B．板间电场强度大小为
C．整个过程中质点的重力势能增加
D．若仅增大两极板间距，则该质点不可能垂直打在M上
【答案】BC
【解析】据题分析可知，小球在平行金属板间轨迹应向上偏转，做类平抛运动，飞出电场后，小球的轨迹向下偏转，才能最后垂直打在M屏上，前后过程质点的运动轨迹有对称性，如图所示：

可见两次偏转的加速度大小相等，根据牛顿第二定律得：，解得，由得板间电势差，故A错误，B正确；小球在电场中向上偏转的距离，，解得：，故小球打在屏上的位置与P点的距离为：，重力势能的增加量，故C正确．仅增大两板间的距离，因两板上电量不变，根据可知，板间场强不变，小球在电场中受力情况不变，则运动情况不变，故仍垂直打在屏上，故D错误．故选BC．

三、解答题
15．虚线MN位于竖直平面内，已知MN与水平方向成角，在MN的右侧有大小为E，方向竖直向下的匀强电场，在MN的左侧有方向竖直向上的匀强电场（为未知量），图中均未画出。一质量为m、电荷量为的粒子以速度从M点水平向右射入，粒子的重力可以忽略。求：
（1）粒子到达MN连线上的某点时所用的时间；
（2）粒子在MN左侧再经过相同的时间重新到达MN连线上的另一点，求。

【答案】（1）；（2）E
【解析】（1）粒子在电场中做类平抛运动，水平方向位移为x，运动时间为t，竖直位移为h，加速度为a，则有





联立可得

（2）粒子在MN左侧再经过相同的时间重新到达MN连线上的另一点，则水平方向


由此可知

由此可知MN左右两段运动具有对称性，则加速度大小相等，则电场强度大小相等，故有

16．如图所示，在平面直角坐标系xOy内，第Ⅰ象限的半径R=h的圆形区域内存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，圆与x、y坐标轴切于D、A两点，y＜0的区域内存在着沿y轴正方向的匀强电场．一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从电场中Q（-2h，-h）点以速度v0水平向右射出，从坐标原点O射入第Ⅰ象限，与水平方向夹角为α，经磁场能以垂直于x轴的方向从D点射入电场．不计粒子的重力，求：

（1）电场强度E的大小以及α的正切值
（2）磁感应强度B的大小
（3）带电粒子从Q点运动到最终射出磁场的时间t．
【答案】（1） ，α＝45°，因此粒子从C点正对圆心O1进入磁场．（2） （3）
【解析】
（1）粒子在匀强电场中做类平抛运动，由类平抛运动规律及牛顿运动定律得
2h＝v0t
h＝at2
又qE＝ma
联立解得
设粒子到达O点时的速度为v，沿y轴正方向的分速度为vy，
则有vy＝at＝＝v0，
v＝＝v0
速度v与x轴正方向的夹角α满足tan α＝＝1
即α＝45°，因此粒子从C点正对圆心O1进入磁场．
（2）又因为粒子垂直于x轴射出磁场，
轨道半径
由牛顿第二定律有
联立解得
（3）带电粒子在电场中做类平抛运动的时间
从O点运动到磁场边界的时间
粒子从D点射入电场后折返进入磁场，最后从磁场中射出
在磁场中运动的时间：
在第四象限电场中往复时间
带电粒子从Q点运动到最终射出磁场的时间
17．如图所示，在xOy平面内0L的区域内有一方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场．某时刻，一带正电的粒子从坐标原点，以沿x轴正方向的初速度进入电场；之后的另一时刻，一带负电粒子以同样的初速度从坐标原点进入电场．正、负粒子从电场进入磁场时速度方向与电场和磁场边界的夹角分别为60°和30°，两粒子在磁场中分别运动半周后恰好在某点相遇．已知两粒子的重力以及两粒子之间的相互作用都可忽略不计．求：

（1）正、负粒子的比荷之比：；
（2）正、负粒子在磁场中运动的半径大小；
（3）两粒子先后进入电场的时间差．
【答案】（1）：（2），    （3）   
【解析】
（1）设粒子进磁场方向与边界夹角为θ，
     
  
   
联立可得
 所以：=：   
（2）磁场中圆周运动速度，，   
 ，
，
   

两粒子离开电场位置间的距离    
根据题意作出运动轨迹，两粒子相遇在P点

由几何关系可得 ，    
，    
（3）两粒子在磁场中运动时间均为半个周期
    
    
由于两粒子在电场中时间相同，所以进电场时间差即为磁场中相遇前的时间差 
18．在竖直平面内建立一平面直角坐标系xoy，x轴沿水平方向，如图甲所示。第一象限有一竖直向下的匀强电场，第二象限内有一水平向左的匀强电场，第一象限场强大小为第二象限场强大小的一半。处在第三象限的某种发射装置（图中没有画出）竖直向上射出一个质量为m、电荷量为-q（q>0）的带电粒子（可视为质点），该粒子以初速度v0从-x上的A点沿y轴正方向进入第二象限，并从+y上的C点沿x轴正方向进入第一象限，C点粒子动能为A点粒子动能的4倍。重力加速度为g。试求：
（1）OC距离L以及第二象限匀强电场的电场强度E的大小；
（2）若第一象限同时存在按如图乙所示规律变化的磁场，磁场方向垂直于纸面（以垂直纸面向外的磁场方向为正方向，图中B0，T0均为未知量），并且在t=时刻粒子由C点进入第一象限，且恰好能通过同一水平线上的D点，速度方向仍然水平，且CD=OC．若粒子在第一象限中完成一个完整圆周运动的周期与磁场变化周期相同，求交变磁场变化的周期T0的大小；
（3）若第一象限仍同时存在按如图乙所示规律变化的磁场（以垂直纸面向外的磁场方向为正方向，图中B0，T0均为未知量），调整磁场变化的周期，让粒子在t=0时刻由C点进入第一象限，且恰能通过x轴上F点，且OF=OC，求交变磁场的磁感应强度B0的大小应满足的条件。

【答案】（1），；（2）；（3）
【解析】

（1）设粒子从A点运动至C点所用时间为t，C点速度为，根据“C点粒子动能为A点粒子动能的四倍”可得

竖直方向上粒子做匀减速直线运动，取竖直向上为正方向，则


取水平向右为正方向，则

解得
，
（2）由第（1）问及题干可知

因此带电粒子在第一象限将做速度为的匀速圆周运动。

设运动半径为R，周期为，使粒子从C点运动到同一水平线上的D点，如图所示，则

由位移关系可得

粒子在磁场中匀速圆周运动的周期

则磁场变化的周期

（3）使粒子从C点运动到F点，如图所示，设粒子运动轨道半径为R′，则每经过磁场的半个周期粒子转过圆心角60°，则


又

故交变磁场磁感应强度大小应满足的关系

19．人类研究磁场的目的之一是为了通过磁场控制带电粒子的运动，某控制带电粒子运动的仪器原理如图所示，区域PP′M′M内有竖直向下的匀强电场，电场场强为E，宽度为d，长度为L；区域MM′N′N内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，长度也为L，磁场宽度足够。电量为q，质量为m的带正电的粒子以水平初速度从P点射入电场。边界 MM′不影响粒子的运动，不计粒子重力。
（1）若带电粒子以水平初速度v0从P点射入电场后，从MM′边界进入磁场，求粒子第一次射入磁场的位置到M点的距离；
（2）当带电粒子射入电场的水平初速度为多大时，粒子只进入磁场一次就恰好垂直P′N′边界射出。

【答案】（1）；（2）或
【解析】
（1）粒子以水平速度从P点射入电场后，做类平抛运动

竖直方向

水平方向

解得粒子第一次射入磁场的位置到M点的距离

（2）设粒子从电场入射初速度为
同第一问原理可以求得粒子在电场中类平抛运动的水平位移

粒子进入磁场时，垂直边界的速度

设粒子与磁场边界之间的夹角为α，则粒子进入磁场时的速度

在磁场中

粒子第一次进入磁场后，垂直边界从磁场射出，必须满足


联立解得

粒子第一次进入磁场后，垂直边界从电场射出，必须满足


联立解得

20．在如图甲所示的直角坐标系中，两平行极板MN垂直于y轴，N板在x轴上且其左端与坐标原点O重合，极板长度l=0.08m，板间距离d=0.09m，两板间加上如图乙所示的周期性变化电压，两板间电场可看作匀强电场．在y轴上（0，d/2）处有一粒子源，垂直于y轴连续不断向x轴正方向发射相同的带正电的粒子，粒子比荷为=5×107C／kg，速度为v0=8×105m/s．t=0时刻射入板间的粒子恰好经N板右边缘打在x轴上.不计粒子重力及粒子间的相互作用，求:

（1）电压U0的大小；
（2）若沿x轴水平放置一荧光屏，要使粒子全部打在荧光屏上，求荧光屏的最小长度；
（3）若在第四象限加一个与x轴相切的圆形匀强磁场，半径为r=0.03m，切点A的坐标为（0.12m，0），磁场的磁感应强度大小B=，方向垂直于坐标平面向里．求粒子出磁场后与x轴交点坐标的范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】
（1）对于t=0时刻射入极板间的粒子：







解得：
（2）时刻射出的粒子打在x轴上水平位移最大：
所放荧光屏的最小长度即：
（3）不同时刻射出极板的粒子沿垂直于极板方向的速度均为vy.
速度偏转角的正切值均为：


即：所有的粒子射出极板时速度的大小和方向均相同.


由分析得，如图所示，所有粒子在磁场中运动后发生磁聚焦由磁场中的一点B离开磁场.

由几何关系，恰好经N板右边缘的粒子经x轴后沿磁场圆半径方向射入磁场，一定沿磁场圆半径方向射出磁场；从x轴射出点的横坐标：
.
由几何关系，过A点的粒子经x轴后进入磁场由B点沿x轴正向运动.
综上所述，粒子经过磁场后第二次打在x轴上的范围为：
21．如图所示，图面内有竖直线DD′，过DD′且垂直于图面的平面将空间分成Ⅰ、Ⅱ两区域．区域Ⅰ有方向竖直向上的匀强电场和方向垂直于图面的匀强磁场B（图中未画出）；区域Ⅱ有固定在水平地面上高h＝2l、倾角α＝ 的光滑绝缘斜面，斜面顶端与直线DD′距离s＝4l，区域Ⅱ可加竖直方向的大小不同的匀强电场（图中未画出）；C点在DD′上，距地面高H＝3l．零时刻，质量为m、带电荷量为q的小球P在K点具有大小 、方向与水平面夹角θ＝ 的速度，在区域Ⅰ内做半径的匀速圆周运动，经C点水平进入区域Ⅱ．某时刻，不带电的绝缘小球A由斜面顶端静止释放，在某处与刚运动到斜面的小球P相遇．小球视为质点，不计空气阻力及小球P所带电量对空间电磁场的影响．l已知，g为重力加速度．

（1）求匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（2）若小球A、P在斜面底端相遇，求释放小球A的时刻tA；
（3）若小球A、P在时刻t＝β （β为常数）相遇于斜面某处，求此情况下区域Ⅱ的匀强电场的场强E，并讨论场强E的极大值和极小值及相应的方向．
【答案】（1） （2） （3）0， 竖直向上
【解析】
试题分析：（1）由题知，小球P在区域Ⅰ内做匀速圆周运动，有①
代入数据解得②
（2）小球P在区域Ⅰ做匀速圆周运动转过的圆心角为θ，运动到C点的时刻为tC，到达斜面低端时刻为t1，有③
④
小球A释放后沿斜面运动加速度为aA，与小球P在时刻t1相遇于斜面底端，有⑤
⑥
联立以上方程可得⑦
（3）设所求电场方向向下，在t'A时刻释放小球A，小球P在区域Ⅱ运动加速度为aP，有
⑧
⑨
⑩
联立相关方程解得
对小球P的所有运动情形讨论可得
由此可得场强极小值为；场强极大值为，方向竖直向上．