高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.4 函数与方程同步测试题

课时跟踪检测(三十三)　计算函数零点的二分法

[A级　基础巩固]

1．(多选)下列函数中，能用二分法求函数零点的有(　　)

A．f(x)＝3x－1　　　　　 B．f(x)＝x2－2x＋1

C．f(x)＝log4x  D．f(x)＝ex－2

解析：选ACD　f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，f(1)＝0，当x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)>0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中在函数的零点两侧函数值异号．故选A、C、D.

2．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内的实根，下一个有根区间是(　　)

A．[2，2.5]  B．[2.5，3]

C．[2，2.25]  D．[2.75，3]

解析：选A　令f(x)＝x3－2x－5，f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(2.5)＝5.625>0，f(2)f(2.5)<0，所以由零点存在定理可知下一个有根区间是[2，2.5]，故选A.

3．用二分法求方程的近似解，求得f(x)＝x3＋2x－9的部分函数值数据如表所示：

则当误差值为0.1时，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为(　　)

A．1.6  B．1.7

C．1.8  D．1.9

解析：选C　由表格可得，函数f(x)＝x3＋2x－9的零点在区间(1.75，1.812 5)内．结合选项可知，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为1.8.故选C.

4．(2021·山西太原高一质检)已知函数y＝f(x)为[0，1]上的连续函数，且f(0)·f(1)<0，使用二分法求函数零点，要求近似值的误差不超过0.1，则需对区间至多等分的次数为(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

解析：选C　设需计算n次，则n满足<0.1，即2n>10，故计算4次就可满足要求，故选C.

5．已知函数f(x)是R上的单调函数，且f(x)的零点同时在区间(0，4)，(0，2)，(1，2)，内，则与f(0)符号相同的是(　　)

A．f(1)  B．f(2)

C．f  D．f(4)

解析：选A　零点在(0，4)内，则有f(0)·f(4)<0，不妨设f(0)>0，f(4)<0，取中点2；

零点在(0，2)内，则有f(0)·f(2)<0，则f(0)>0，f(2)<0，取中点1；零点在(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，则f(1)>0，f(2)<0，取中点；零点在内，则有f(1)·f<0，则f(1)>0，f<0.

所以与f(0)符号相同的是f(1)．

6．若用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，误差不超过0.001，则结束计算的条件是________．

解析：误差不超过0.001，即|a－b|≤0.001，又b>a，∴b－a≤0.001.

答案：b－a≤0.001

7．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．

解析：∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b.

答案：a2＝4b

8．用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1，2]上零点的近似值，先取区间中点c＝，则下一个含根的区间是________．

解析：令f(x)＝ln x－2＋x，

∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，

f＝ln －＜0，

∴下一个含根的区间是.

答案：

9．已知函数f(x)＝x3－x2＋1.

(1)证明方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解；

(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0，2])的实数解x0在哪个较小的区间内．

解：(1)证明：因为f(0)＝1>0，f(2)＝－<0，所以f(0)·f(2)<0，由函数零点存在定理可得方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解．

(2)取x1＝×(0＋2)＝1，得f(1)＝>0，

由此可得f(1)·f(2)<0，下一个有解区间为(1，2)．

再取x2＝×(1＋2)＝，得f＝－<0，

所以f(1)·f<0，下一个有解区间为.

再取x3＝×＝，得f＝>0，

所以f·f<0，下一个有解区间为.

综上所述，所求的实数解x0在区间内．

10．已知方程2x＋2x＝5.

(1)判断该方程解的个数以及所在区间；

(2)用二分法求出方程的近似解(误差不超过0.1)．

参考数值：

解：(1)令f(x)＝2x＋2x－5.

因为函数f(x)＝2x＋2x－5在R上是增函数，所以函数f(x)＝2x＋2x－5至多有一个零点．

因为f(1)＝21＋2×1－5＝－1<0，

f(2)＝22＋2×2－5＝3>0，

所以方程2x＋2x＝5有一解在(1，2)内．

(2)用二分法逐次计算，列表如下：

因为|1.375－1.25|＝0.125>0.1，

且|1.312 5－1.25|＝0.062 5<0.1，

所以函数的零点近似值为1.312 5，

即方程2x＋2x＝5的近似解可取为1.312 5.

[B级　综合运用]

11．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|<ε(ε为误差值)时，函数零点的近似值x0＝与真实零点的误差最大不超过(　　)

A.  B．

C．ε  D．2ε

解析：选B　真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－＝－a＝<，因此误差最大不超过.

12．若函数f(x)在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)·f(b)<0，f(a)·f>0，则(　　)

A．f(x)在上有零点

B．f(x)在上有零点

C．f(x)在上无零点

D．f(x)在上无零点

解析：选B　由f(a)·f(b)<0，f(a)·f>0可知f·f(b)<0，根据零点存在定理可知f(x)在上有零点．

13．已知f(x)＝－ln x，在区间(n，n＋1)(n∈Z)上有一个零点x0，则n＝________．若用二分法求x0的近似值(误差不超过0.01)，则至少需要将区间等分________次．

解析：f(x)＝－ln x在(0，＋∞)上为减函数，

又f(1)＝1>0，f(2)＝－ln 2<0，

∴f(x)的零点x0∈(1，2)，故n＝1.

设至少需等分n次，则≤0.01且n∈N，

解得n≥7，故至少需等分7次．

答案：1　7

14．在一个风雨交加的夜里，某水库闸房(设为A)到防洪指挥部(设为B)的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段查找，困难很多，每查一个点需要很长时间．

(1)维修线路的工人师傅应怎样工作，才能每查一次，就把待查的线路长度缩减一半？

(2)要把故障可能发生的范围缩小到50 m～100 m左右，最多要查多少次？

解：(1)如图所示，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，假设发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次若发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD段中点E来查，依次类推…

(2)每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，因此最多只要7次就够了．

[C级　拓展探究]

15．已知函数f(x)＝2x2－8x＋m＋3为R上的连续函数．

(1)若函数f(x)在区间[－1，1]上存在零点，求实数m的取值范围；

(2)若m＝－4，判断f(x)在(－1，1)上是否存在零点？若存在，请在误差不超过0.2的条件下，用二分法求出这个零点所在的区间；若不存在，请说明理由．

解：(1)易知函数f(x)在区间[－1，1]上单调递减，

∵f(x)在区间[－1，1]上存在零点，∴

即∴－13≤m≤3，

∴实数m的取值范围是[－13，3]．

(2)当m＝－4时，f(x)＝2x2－8x－1，

易求出f(－1)＝9，f(1)＝－7.

∵f(－1)·f(1)<0，f(x)在区间(－1，1)上单调递减，

∴函数f(x)在(－1，1)上存在唯一零点x0.

∵f(0)＝－1<0，∴f(－1)·f(0)<0，

∴x0∈(－1，0)．

∵f＝>0，∴f·f(0)<0，

∴x0∈.

∵f＝>0，∴f·f(0)<0，

∴x0∈.

∵f＝>0，∴f·f(0)<0，

∴x0∈.

∵＝<＝0.2，

∴所求区间为.