数学必修 第一册4.5 函数模型及其应用综合训练题

课时跟踪检测(三十四)　几种函数增长快慢的比较

[A级　基础巩固]

1．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：

对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是(　　)

A．y＝2x－2　　　　　　　 B．y＝

C．y＝log2x  D．y＝(x2－1)

解析：选D　法一：相邻的自变量之差从左到右依次大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5，3.5，4.5，6，基本上是逐渐增加的，抛物线拟合程度最好，故选D.

法二：可以采用特殊值代入法，取某个x的值代入，再比较函数值是否与表中数据相符．可取x＝4，经检验易知选D.

2．有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其跑车时间均为x小时，跑过的路程分别满足关系式：f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3(x＋1)，f4(x)＝2x－1，则5个小时以后跑在最前面的为(　　)

A．甲  B．乙

C．丙  D．丁

解析：选D　法一：分别作出四个函数的图象(图略)，利用数形结合，知5个小时后丁车在最前面．

法二：由于4个函数均为增函数，且f1(5)＝52＝25，f2(5)＝20，f3(5)＝log3(5＋1)＝1＋log32，f4(5)＝25－1＝31，f4(5)最大，所以5个小时后丁车在最前面，故选D.

3．(2021·安徽省级示范高中高一期中)若x∈(0，1)，则下列结论正确的是(　　)

A．2x>x>lg x  B．2x>lg x>x

C．x>2x>lg x  D．lg x>x>2x

解析：选A　如图所示，结合y＝2x，y＝x及y＝lg x的图象易知，当x∈(0，1)时，2x>x>lg x，故选A.

4．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份(　　)

A．甲食堂的营业额较高

B．乙食堂的营业额较高

C．甲、乙两食堂的营业额相同

D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高

解析：选A　设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可知，m＋8a＝m×(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×(1＋x)4＝.

因为y－y＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，

所以y1>y2.

故本年5月份甲食堂的营业额较高．

5．某企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元．从今年起，计划每人的年薪比上一年增加10%，另外每年新招3名工人，每名新工人的第一年年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，那么第x年企业付给工人的工资总额y(万元)表示成x的函数，其表达式为(　　)

A．y＝(3x＋5)1.1x＋2.4

B．y＝8×1.1x＋2.4x

C．y＝(3x＋8)1.1x＋2.4

D．y＝(3x＋5)1.1x－1＋2.4

解析：选A　第一年企业付给工人的工资总额为8×1.1＋3×0.8(万元)，

第二年企业付给工人的工资总额为(8＋3)×1.12＋3×0.8(万元)，…，

以此类推，第x年企业付给工人的工资总额应为y＝[8＋3(x－1)]×1.1x＋2.4＝(3x＋5)1.1x＋2.4(万元)．

6．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．

解析：当x变大时，x比ln x增长要快，

∴x2要比xln x增长的要快．

答案：y＝x2

7．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据64 MB内存(1 MB＝210 KB)．

解析：设开机后经过n个3分钟后，该病毒占据64 MB内存，则2×2n＝64×210＝216，∴n＝15，故时间为15×3＝45(分)．

答案：45

8．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应______；B对应_____；C对应______；D对应______．

解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器水高度变化快，与(3)对应，D容器水高度变化慢，与(2)对应．

答案：(4)　(1)　(3)　(2)

9．画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．

解：函数f(x)与g(x)的图象如图所示．

根据图象易得：当0≤x＜4时，f(x)＞g(x)；

当x＝4时，f(x)＝g(x)；

当x＞4时，f(x)＜g(x)．

10．每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，有两种方案如下：

方案一：每年植树1万平方米；

方案二：每年树木面积比上一年增加9%.

你觉得哪种方案较好．(参考数据：(1＋9%)5≈1.538 6)

解：方案一：5年后树木面积是10＋1×5＝15(万平方米)．

方案二：5年后树木面积是10×(1＋9%)5≈15.386(万平方米)．

∵15.386>15，∴方案二较好．

[B级　综合运用]

11．当0<x<1时，f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2的大小关系是(　　)

A．h(x)<g(x)<f(x)　　 B．h(x)<f(x)<g(x)

C．g(x)<h(x)<f(x)  D．f(x)<g(x)<h(x)

解析：选D　在同一坐标下作出函数f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2的图象．由图象知，D正确．

12．某地发生地震后，地震专家对该地区发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：

地震强度x(×1019)和震级y的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b(其中a，b为常数)．利用散点图可得a＝________，b＝________．(取lg 2＝0.3进行计算)

解析：由模拟函数及散点图得

两式相减得a(lg 3.2－lg 1.6)＝0.2，

所以alg 2＝0.2，解得a＝，

所以b＝5－lg 1.6＝5－(4lg 2－1)＝5－×＝.

答案：　

13．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来拟合h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．

解：在坐标轴上标出t(年)与h(米)之间的关系如图所示．

由图象可以看出增长的速度越来越慢，用一次函数模型拟合不合适，则选用对数函数模型比较合理．

不妨将(2，1)代入h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.

故可用函数h＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题．

当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米．

[C级　拓展探究]

14．假设有一套住房的房价从2011年的20万元上涨到2021年的40万元．下表给出了两种价格增长方式，其中P1是按直线上升的房价，P2是按指数增长的房价，t是2011年以来经过的年数.

(1)求函数P1＝f(t)的解析式；

(2)求函数P2＝g(t)的解析式；

(3)完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异．

解：(1)设f(t)＝kt＋b(k≠0)，

则⇒

∴P1＝f(t)＝2t＋20.

(2)设g(t)＝mat(a>0，且a≠1)，

则⇒

∴P2＝g(t)＝20×()t＝20×2.

(3)图象如图．

表格中的数据如下表所示：

由图象可以看出，在前10年，按P1增长的价格始终高于按P2增长的价格，但10年后，P2价格增长速度很快，远远超出P1的价格并且时间越长，差别越大．