2021-2022学年四川省江油中学高二上期第三次阶段考试数学（理）试题含答案

  四川省江油中学2020级高二上期第三次阶段考试

理科数学试题

本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页．满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内．

2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上。

1.空间直角坐标系中，已知则点关于平面的对称点的坐标为  

A.    B.    C.    D.

2.直线x+y+1=0的倾斜角为

A．150°　　         B．120°    C．60°    D．30°

3.给出下列三个问题：

①从高二（3）班60名学生中，抽出8名学生去参加座谈；

②将全年级学号尾数为5的同学的作业收来检查；

③甲乙丙三个车间生产了同一种产品分别为60件，40件，30件，为了解产品质量，取一个容量为13的样本调查．

则以上问题适宜采用的抽样方法分别是

A．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样   B．简单随机抽样、分层抽样、系统抽样

C．系统抽样、分层抽样、简单随机抽样   D．系统抽样、简单随机抽样、分层抽样

4.双曲线 的渐近线方程是  

A.          B.

C.           D.

5.执行如图的程序框图，输出的x的值是

A．2      B．14     C．11       D．8

6.圆关于直线对称的圆的方程为

A.   B.

C.   D.

7.天气预报显示，在今后的三天中，每一天下雨的概率为40%．现用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0~9之间取整数值的随机数，并指定用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨．再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数

907   966   191   925   271   932   812   458   569   683

431   257   393   027   556   488   730   113   537   989

   则这三天中恰有两天下雨的概率近似为

A．    B．    C．    D．

8.若直线相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为    

A.        B.         C.        D.

9.甲乙两名同学在5次数学考试中的成绩用茎叶图表示，如图所示，若甲乙两人的平均成绩分别为，则下列结论正确的是 

A., 且甲比乙成绩稳定       

B.，且乙比甲成绩稳定

C.，且甲比乙成绩稳定      

D.，且乙比甲成绩稳定

10.若曲线存在到直线距离相等的点，则称相对直线“互关”。已知曲线相对直线“互关”，则实数的取值范围是 

A.       B.   C.       D.

11.某中学数学兴趣小组为调查该校学生对学校食堂的某种食品喜爱与否是否与性别有关，随机询问了100名性别不同的学生，得到如下的2×2列联表：

附：K2＝  

根据以上数据，该数学兴趣小组有多大把握认为“喜爱该种食品与性别有关”？

A．99%以上         B．97.5%以上      C．95%以上       D．85%以上

12.抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，是双曲线的左焦点，两曲线交于两点，若,则双曲线的离心率为  

A.        B.2        C.       D.

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知F1，F2分别是椭圆C：(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，满足则椭圆C的离心率e的取值范围是__________．

14.一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后停留在黑色地板砖上的概率是     

15.若关于x的方程有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是_____

16.过椭圆右焦点F的直线交椭圆短轴于点Q，交椭圆于M,N两点，若，,则的最小值为________________   

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本题满分10分）某化工厂为预测产品的回收率，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现收集了4组对照数据.

（1）请根据相关系数的大小判断回收率与之间是否存在高度线性相关关系；（精确到小数点后两位）

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并预测当时回收率的值.

参考数据：,,，

18. （本题满分12分）已知三角形ABC，,以BA,BC为邻边作平行四边形ABCD

  （1）求点D 的坐标；

（2）过点A的直线l交直线BC与点E，若,求直线l的方程.

19.（本题满分12分）为了解我校高二数学复习备考情况，年级组织了一次检测考试，并随机抽取了100人的数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图．

（1）根据频率分布直方图，估计该次检测数学成绩的平均数及中位数（精确到小数点后一位）；

（2）现准备从成绩在的8人中随机选出2人交流发言，求恰好抽到2人成绩在的概率.

20. （本题满分12分）已知E是曲线上任一点，过点E做x轴的垂线，垂足为H，动点D满足

（1）求点D的轨迹的方程;

（2）若点P是直线l：上一点，过点P作曲线的切线，切点分别为M,N,求使四边形OMPN面积最小时的值.

21.（本题满分12分）已知曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离小1．

（1）求曲线的方程；

（2）若不经过坐标原点的直线与曲线交于，两点，以线段为直径的圆过点，求证：直线过定点．

22.（本题满分12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由．

江油中学2020级高二上期第三次阶段考试理科数学

参考答案

一、选择题

1——6    DAABBC      7——12    BDABCD

二、填空题

13.         14.         15.        16. 

三、解答题

17. 解：（1）

   所以，x与y高度线性相关 …5分

（2）根据最小二乘法

   所以，回归方程           

当时，       ……………………………………10分

18.解：（1）由题可知，以BA,BC为邻边的平行四边ABCD满足

所以，，设，则可得

解得：            所以…………………………6分

（2）要使，则需B,C到直线l 的距离之比为2

当斜率存在时，设l的方程为，即

所以由，所以，

所以，直线l的方程为………………………………9分

当直线斜率不存在时，l的方程为，此时，仍符合题意。   …………11分

综上：l的方程为和            ……………………12分

19.解：（1）该校此次检测理科数学成绩平均成绩约为：

＝65×0.05+75×0.08+85×0.12+95×0.15+105×0.24+115×0.18+125×0.1+135×0.05+145×0.03＝

103.2．        ……………………………………3分

因为成绩在的频率为0.4，设中位数，则

所以，                    …………………………………………6分

（2）设成绩在的5位同学位，成绩在的3位同学为.从中选出2位同学，基本事件为

共28个，而2位同学成绩恰在内的事件有3个，    …………11分

所以8人中随机选出2人交流发言，恰好抽到2人成绩在的概率为……12分

20.解：（1）设

由得，，所以

所以，点D的轨迹方程为       ………………………………6分

（2）由圆的切线性质知，切线长

所以，四边形面积，

所以，当OP最小时，面积最小.

而OP的最小值即为O到直线的距离，此时

又因为,所以      ……………………12分

21.解：（1）因为曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离小1，

所以曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等，

所以曲线为以为焦点，直线为准线的抛物线，即，

所以曲线的方程为．    …………5分

（2）证明：根据题意当的斜率不为0时，设直线方程为，

，，，，

联立，可得，

所以，，    ······7分

，

因为以线段为直径的圆过点，

所以，

所以，，，即（舍去）或，

所以直线的方程为，即，所以直线经过定点． ···10分

当的斜率为0时，由对称性知，，此时也过，所以直线经过定点．

综上直线经过定点．   ······12分

22.解：（1）由题意可得，解得：，，

所以椭圆的方程为：；  ······4分

（2）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为：，

证明如下：

假设存在符合条件的圆，且此圆为，

当直线的斜率存在，设直线的方程为，

联立，整理可得：，

因为直线与椭圆有且仅有一个公共点，

所以△，

即，              ······6分

由方程组得，

则△，

设，，，，

则，，   ······8分

设直线，直线的斜率为，，

所以

，

将，代入上式得

，

要使得以为定值，则，即，    ······11分

所以当圆的方程为时，

圆与的斜率不存在时，由题意知的方程为，

此时圆与的交点，也满足以为定值，

综上，当圆的方程为时，圆与的交点，满足定值． ···12分