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浙教版七年级下册第一章 平行线综合与测试同步训练题
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这是一份浙教版七年级下册第一章 平行线综合与测试同步训练题
浙教版初中数学七年级下册第一单元《平行线》测试卷考试范围：第一章；考试时间：100分钟；总分：100分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）下列说法错误的是( )A. 在同一平面内，不相交的两条线段必然平行 B. 在同一平面内，不相交的两条直线必然平行 C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D. 过直线外一点，有且仅有一条直线与这条直线平行若整数a是关于x的方程ax+3=−9−x的负整数解，且a是四条直线在平面内交点的个数，则满足条件的所有a的个数为( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 6若∠α与∠β同旁内角，且∠α=50∘时，则∠β的度数为 ( )A. 50º B. 130º C. 50º或130º D. 无法确定两直线被第三条直线所截，则( )A. 内错角相等 B. 同位角相等 C. 同旁内角互补 D. 以上结论都不对一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度是( )A. 第一次右拐50°，第二次左拐130° B. 第一次左拐50°，第二次右拐50° C. 第一次左拐50°，第二次左拐130° D. 第一次右拐50°，第二次右拐50°下列条件中，能说明AD//BC的条件有( )个 ①∠1=∠4 ②∠2=∠3 ③∠1+∠2=∠3+∠4 ④∠A+∠C=180∘ ⑤∠A+∠ABC=180∘⑥∠A+∠ADC=180∘A. 1 B. 2 C. 3 D. 4将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC//DE，则∠ACE的度数为( )A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°如图，图1是AD//BC的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE=18°，则图2中∠AEF的度数为( )A. 120° B. 108° C. 126° D. 114°如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，将△ABC沿直线BC向右平移2个单位得到△DEF，连接AD，则下列结论：①AC//DF，AC=DF ②ED⊥DF ③四边形ABFD的周长是16 ④点B到线段DF的距离是4.2其中正确的个数有( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4如图在一块长为12m，宽为6m的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是2m)则空白部分表示的草地面积是( )A. 60 B. 70 C. 48 D. 18下列语句中：①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离；②内错角相等；③两点之间线段最短；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行．是真命题有( )A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个下列结论中：①若a=b，则a=b；②在同一平面内，若a⊥b，b//c，则a⊥c；③直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离；④|3−2|=2−3，正确的个数有( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）如图，直线a//b，若∠1=60°，则∠2=______度． 如图，已知AB//CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点P在AB，CD之间且在EF的左侧．若将射线EA沿EP折叠，射线FC沿FP折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则∠EPF的度数为________．如图，BC//OA，∠B=∠A=100∘，点E、F在BC上，OE平分∠BOF，且OC平分∠AOF，下列结论中正确的是_________. ①∠FOC=∠FCO； ②OB//AC； ③∠EOC=45∘； ④∠OCB:∠OFB=1:3； ⑤若∠OEB=∠OCA，则∠OCA=60∘.如图，ABCD为一长条形纸带，AB//CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与Aˈ、Dˈ对应若∠1=50°，则∠2=________． 三、计算题（本大题共7小题，共52.0分）如图，已知：∠1与∠2互补，∠A=∠D，求证：AB//CD． 如图，把一张长方形纸片ABCD沿AF折叠，使B点落在B′处，若∠ADB=20°，那么∠BAF应为多少度时才能使AB′//BD？ 如图所示，已知AB//CD，FH平分∠EFD，FG⊥FH，∠AEF=62°，求∠GFC的度数． 如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A是105度，第二次拐的角∠B是135度，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？ 一副透明的直角三角尺，按如图所示的位置摆放．如果把三角尺的每条边看成线段，请根据图形解答下列问题： (1)找出图中一对互相平行的线段，并用符号表示出来； (2)找出图中一对互相垂直的线段，并用符号表示出来； (3)找出图中的一个钝角、一个直角和一个锐角，用符号把它们表示出来，并求出它们的度数．(不包括直角尺自身所成的角) 在△ABC中，∠ACB=90°，BD是△ABC的角平分线，P是射线AC上任意一点(不与A、D、C三点重合)，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，交直线BD于E． (1)如图①，当点P在线段AC上时，说明∠PDE=∠PED． (2)作∠CPQ的角平分线交直线AB于点F，则PF与BD有怎样的位置关系？画出图形并说明理由． 如图1.将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连AD、BC． (1)填空：AB与CD的关系为______∠B与∠D的大小关系为______； (2)如图2，若∠B=60°，F、E为BC的延长线上的点，∠EFD=∠EDF，DG平分∠CDE交BE于G，求∠FDG． (3)在(2)中，若∠FDG=α，其它条件不变，则∠B=______． 答案和解析1.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了平行线的定义，解答本题还要熟悉射线、线段的性质．根据平行线的定义直接解答即可． 【解答】 解：A.根据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条线段必然平行，而线段即可不平行也可不相交，故A错误，符合题意； B.根据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条直线必然平行，故B正确，不符合题意； C.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故C错误，不符合题意； D.过直线外一点，有且仅有一条直线与这条直线平行，故D正确，不符合题意． 故选A． 2.【答案】B 【解析】解：(1)当四条直线平行时，无交点， (2)当三条平行，另一条与这三条不平行时，有三个交点， (3)当两两直线平行时，有4个交点， (4)当有两条直线平行，而另两条不平行时，有5个交点， (5)当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点， (6)当四条直线同交于一点时，只有一个交点， (7)当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点， 故四条直线在平面内交点的个数是0或1或3或4或5或6； 解方程ax+3=−9−x得x=−12a+1， ∵x是负整数，a是整数， ∴a+1=1或2或3或4或6或12， 解得a=0或1或2或3或5或11． 综上所述，a=0或1或3或5，满足条件的所有a的个数为4． 故选：B． 从平行线的角度考虑，先考虑四条直线都平行，再考虑三条、两条直至都不平行，作出草图即可看出四条直线在平面内交点的个数；解方程ax+3=−9−x，得x=−12a+1，根据题意x是负整数，a是整数，所以a+1=1或2或3或4或6或12，解出a的值即可解决问题． 本题考查了平行线与相交线的位置关系，没有明确平面上四条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想，从四条直线都平行，然后数量上依次递减，直至都不平行，这样可以做到不重不漏，准确找出所有答案．同时考查了解一元一次方程，含有参数的方程在解方程过程中要把参数也看成“数”处理，避免与未知数“x”搞混． 3.【答案】D 【解析】【分析】 本题主要考查的是同旁内角的有关知识，两直线平行，同旁内角互补；不平行时无法确定同旁内角的大小关系． 【解答】 解：虽然∠α与∠β是同旁内角，但缺少两直线平行的前提，所以无法确定∠β的度数． 故选D． 4.【答案】D 【解析】【分析】 本题主要考查的是同位角、内错角、同旁内角的有关知识，根据同位角、内错角、同旁内角的定义对各选项判断即可． 【解答】 解：只有当两直线平行时，被第三条直线所截形成的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，题目中并未说明这两条直线平行，故A、B、C选项均错误． 故选D． 5.【答案】B 【解析】解：如图： 可得B与C平行，但C方向相反， B平行，且方向向同， A、D不平行． 故选：B． 首先根据题意画出图形，由同位角相等，两直线平行，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 此题考查了平行线的判定．注意同位角相等，两直线平行定理的应用，注意数形结合思想的应用． 6.【答案】B 【解析】【分析】 此题考查平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．根据平行线的判定定理逐一判断，排除错误答案． 【解答】解：①∠1=∠4，可得AB//DC，错误；②∠2=∠3，可得AD//BC，正确；③∠1+∠2=∠3+∠4，不能判断AD//BC，错误；④∠A+∠C=180°，不能判断AD//BC，错误；⑤∠A+∠ABC=180°，可得AD//BC，正确；⑥∠A+∠ADC=180°，可得AB//DC，错误；综上诉述②⑤共2个正确． 故选B． 7.【答案】B 【解析】【分析】 本题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．根据两直线平行，内错角相等求出∠BCE=∠E=30°，然后求出∠ACE的度数． 【解答】 解：∵BC//DE， ∴∠BCE=∠E=30°， ∴∠ACE=∠ACB-∠BCE=45°-30°=15°， 故选B． 8.【答案】D 【解析】【分析】 此题考查了轴对称的性质，平行线的性质，一元一次方程的应用，设∠B′FE=x，根据折叠的性质得∠BFE=∠B′FE=x，∠AEF=∠A′EF，则∠BFC=x−18°，再由第2次折叠得到∠C′FB=∠BFC=x−18°，于是利用平角定义可计算出x=66°，接着根据平行线的性质得∠A′EF=180°−∠B′FE=114°，所以∠AEF=114°． 【解答】 解：如图，设∠B′FE=x， ∵纸条沿EF折叠， ∴∠BFE=∠B′FE=x，∠AEF=∠A′EF， ∴∠BFC=∠BFE−∠CFE=x−18°， ∵纸条沿BF折叠， ∴∠C′FB=∠BFC=x−18°， 而∠B′FE+∠BFE+∠C′FB=180°， ∴x+x+x−18°=180°， 解得x=66°， ∵A′D′//B′C′， ∴∠A′EF=180°−∠B′FE=180°−66°=114°， ∴∠AEF=114°， 故选D． 9.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了相似三角形的判定与性质．直接根据平移的性质可对①进行判断；根据平移的性质得∠EDF=∠BAC=90°，则可对②进行判断；根据平移的性质得AD=BE=2，EF=BC=5，则可计算出四边形ABFD的周长．从而对③进行判断；延长BA交FD的延长线于H，如图，根据平移的性质证明BH⊥CH，再证明△HAD∽△HBF，利用相似比计算出AH，然后计算出BH即可对④进行判断． 【解答】解：∵△ABC沿直线BC向右平移2个单位得到△DEF， ∴AC//DF，AC=DF=4，所以①正确； ∠EDF=∠BAC=90°， ∴DE⊥DF，所以②正确； ∵△ABC沿直线BC向右平移2个单位得到△DEF， ∴AD=BE=2，EF=BC=5， ∴四边形ABFD的周长=AB+BE+EF+DF+AD=3+2+5+4+2=16，所以③正确， 延长BA交FD的延长线于H，如图， ∵AC//DF，AB⊥AC， ∴BH⊥CH， ∵AD//BF， ∴△HAD∽△HBF， ∴AHBH=ADBF，即AHAH+3=22+5，解得AH=1.2， ∴BH=BA+AH=3+1.2=4.2， 即点B到线段DF的距离是4.2，所以④正确． 故选D． 10.【答案】A 【解析】【分析】 此题考查生活中的平移现象，化曲为直是解决此题的关键思路.根据矩形面积公式可求矩形的面积；因为柏油小路的任何地方的水平宽度都是2，其面积与同宽的矩形面积相等，故可求草地面积． 【解答】 解：草地面积=矩形面积−小路面积 =12×6−2×6 =60(m2). 故选A． 11.【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了平行线的定义，垂线的性质，平行公理，点到直线的距离以及线段的性质：两点之间线段最短．熟练掌握公理和概念是解决本题的关键，本题可结合平行线的定义，垂线的性质和平行公理等进行判定即可． 【解答】解：①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故①错误； ②两直线平行，内错角相等，故②错误；③两点之间线段最短，故③正确； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，应强调在经过直线外一点，故④错误； ⑤在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，故⑤正确； 综上，③⑤正确，真命题的有2个， 故选D． 12.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查了实数的性质，利用算术平方根的意义，平行线的性质，点到直线的距离，绝对值的性质是解题关键，根据算术平方根的意义，平行线的性质，点到直线的距离，绝对值的性质，可得答案． 【解答】 解：①若a=b<0时，则a，b无意义，故①不符合题意； ②在同一平面内，若a⊥b，b//c，则a⊥c，故②符合题意； ③直线外一点到直线的垂线段的长度叫点到直线的距离，故③不符合题意； ④|3−2|=2−3，故④符合题意． 故选B． 13.【答案】60 【解析】解：∵a//b， ∴∠2=∠1， ∵∠1=60°， ∴∠2=60°． 故答案为60． 根据两直线平行，同位角相等即可求解． 本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 14.【答案】45°或135° 【解析】【分析】 本题主要考查了平行线的性质，关键是正确画出图形，分两种情况分别计算出∠EPF的度数． 根据题意画出图形，然后再利用平行线的性质得出∠EMF与∠AEM和∠CFM的关系，然后可得答案． 【解答】 解：如图1，过M作MN//AB， ∵AB//CD， ∴AB//CD//NM， ∴∠AEM=∠EMN，∠NMF=∠MFC， ∵∠EMF=90°， ∴∠AEM+∠CFM=90°， 同理可得∠P=∠AEP+∠CFP， 由折叠可得：∠AEP=∠PEM=12∠AEM，∠PFC=∠PFM=12∠CFM， ∴∠P=12(∠AEM+∠CFM)=45°； 如图2，过M作MN//AB， ∵AB//CD， ∴AB//CD//NM， ∴∠AEM+∠EMN=180°，∠NMF+∠MFC=180°， ∴∠AEM+∠EMF+∠CFM=360°， ∵∠EMF=90°， ∴∠AEM+∠CFM=360°−90°=270°， 由折叠可得：∠AEP=∠PEM=12∠AEM，∠PFC=∠PFM=12∠CFM， ∴∠P=270°×12=135°， 综上所述：∠EPF的度数为45°或135°． 故答案为45°或135°． 15.【答案】①②⑤ 【解析】【分析】 本题考查角平分线的定义及平行线的性质的有关知识． ①根据平行线的性质及角平分线的定义即可得出； ②由同旁内角互补，两直线平行即可证明． ③由∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF得到∠EOC=∠EOF+∠FOCP=12(∠BOF+∠FOA)=12∠BOA，算出结果． ④先得出∠OFB=∠FOC+∠FCO=2∠OCB，即可得到∠OCB：∠OFB=1：2． ⑤设∠BOE=∠EOF=α，∠FOC=∠COA=β，依据∠OEB=∠OCA，即可得到α=β，根据∠AOB=80°，可得α=β=20°，进而得出∠OCA=2α+β=40°+20°=60°． 【解答】 解：①∵BC//OA，OC平分， ∴∠FOC=∠AOC，∠AOC=∠FCO， 则∠FOC=∠FCO，故①正确； ②∵BC//OA， ∴∠B+∠AOB=180°，(两直线平行，同旁内角互补) ∵∠A=∠B， ∴∠A+∠AOB=180°，(等量代换) ∴OB//AC.(同旁内角互补，两直线平行) 故②正确； ③∵∠A=∠B=100°， 由②得∠BOA=180°−∠B=80°； ∵∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF， ∴∠EOF=12∠BOF，∠FOC=12∠FOA， ∴∠EOC=∠EOF+∠FOC=12(∠BOF+∠FOA)=12∠BOA=40°． 故③错误； ④∵BC//OA， ∴∠FCO=∠COA， 又∵∠FOC=∠AOC， ∴∠FOC=∠FCO， ∴∠OFB=∠FOC+∠FCO=2∠OCB， ∴∠OCB：∠OFB=1：2． 故④错误； ⑤∵OB//AC， ∴∠OCA=∠BOC， 设∠BOE=∠EOF=α，∠FOC=∠COA=β， ∴∠OCA=∠BOC=2α+β， ∠OEB=∠EOC+∠ECO=α+β+β=α+2β， ∵∠OEB=∠OCA， ∴2α+β=α+2β， ∴α=β， ∵∠AOB=80°， ∴α=β=20°， ∴∠OCA=2α+β=40°+20°=60°． 故⑤正确． 故答案为①②⑤． 16.【答案】65° 【解析】【分析】 本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a//b，b//c⇒a//c，依据∠1=50°，即可得到∠AEF的度数，再根据平行线的性质即可得到∠2的度数． 【解答】 解：∵∠1=50°， ∴∠AEA′=130°， 由折叠可得：∠AEF=65°， 又∵AB//CD， ∴∠2=∠AEF=65°， 故答案为65°． 17.【答案】证明：∵∠1=∠CGD，∠1与∠2互补， ∴∠CGD+∠2=180°， ∴AF//ED， ∴∠A+∠AED=180°， ∵∠A=∠D， ∴∠D+∠AED=180°， ∴AB//CD． 【解析】由对顶角相等得到一对角相等，根据已知一对角互补，得到同旁内角互补，利用同旁内角互补两直线平行得到AF与ED平行，由两直线平行同旁内角互补得到一对角互补，等量代换得到∠D与∠AED互补，利用同旁内角互补两直线平行即可得证． 此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键． 18.【答案】解：∵长方形纸片ABCD沿AF折叠，使B点落在B′处， ∴∠B′AF=∠BAF， ∵AB′//BD， ∴∠B′AD=∠ADB=20°， ∴∠B′AB=20°+90°=110°， ∴∠BAF=110°÷2=55°． ∴∠BAF应为55度时才能使AB′//BD． 【解析】根据折叠的性质得到∠B′AF=∠BAF，要AB′//BD，则要有∠B′AD=∠ADB=20°，从而得到∠B′AB=20°+90°=110°，即可求出∠BAF． 本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了直线平行的判定． 19.【答案】解：∵AB//CD，∠AEF=62°， ∴∠EFD=∠AEF=62°，∠CFE=180°−∠AEF=180°−62°=118°； ∵FH平分∠EFD， ∴∠EFH=12∠EFD=12×62°=31°； 又∵FG⊥FH， ∴∠GFE=90°−∠EFH=90°−31°=59°， ∴∠GFC=∠CFE−∠GFE=118°−59°=59°． 【解析】根据平行线的性质，结合角平分线的定义和垂线的定义求解． 此题考查的是平行线的性质，即两直线平行内错角相等，同旁内角互补． 20.【答案】解：过点B作直线BE//CD． ∵CD//AF， ∴BE//CD//AF． ∴∠A=∠ABE=105°． ∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=30°． 又∵BE//CD， ∴∠CBE+∠C=180°． ∴∠C=150°． 【解析】过点B作直线BE//CD，用“两直线平行内错角相等”和“两直线平行同旁内角互补”解答． 此题是一道生活实际问题，根据题目信息，转化为关于平行线性质的数学问题． 21.【答案】解：此题答案不唯一，只要答案正确即可得分． (1)如：DE//CB，DF//CB，FE//CB． (2)如：ED⊥AC，FD⊥AC，FD⊥AD． (3)如：钝角：∠GFD=135°，∠CGB=∠FGE=105°． 直角有：∠ADE=90°． 如：锐角∠GCB=30°，∠AFD=45°，∠CGF=75°． 【解析】(1)直线DE//BC，故直线DE上的线段都与BC平行． (2)根据∠CDE和∠ACB都是直角，即可找出互相垂直的线段． (3)根据角的概念进行解答． 本题考查平行线，垂线以及角的概念，难度不大． 22.【答案】解：(1)∵PQ⊥AB， ∴∠EQB=∠C=90°， ∴∠BEQ+∠EBQ=90°，∠CBD+∠PDE=90°， ∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠CBD=∠EBQ， ∵∠PED=∠BEQ， ∴∠PDE=∠PED； (2)当P在线段AC上时，如图1所示，此时PF//BD， 理由为：∵∠PDE=∠PED， ∴PD=PE， ∵PF为∠CPQ的平分线，∠CPQ为△PDE的外角， ∴∠CPF=∠QPF=∠PDE=∠PED， ∴PF//BD； 当P在线段AC延长线上时，如图2所示，PF⊥BD， 理由为：∵∠PDE=∠PED， ∴PD=PE， ∵PM为∠CPQ的平分线， ∴PF⊥BD． 【解析】(1)由PQ与AB垂直，得到一对直角相等，理由直角三角形的两锐角互余得到两对角互余，再BD为角平分线，利用角平分线定义得到一对角相等，再由对顶角相等，利用等量代换即可得证； (2)分两种情况，当P在线段AC上时，如图1所示，可得出PF与BD平行，由第一问的结论利用等角对等边得到PD=PE，利用角平分线定义及外角性质得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证；当P在AC延长线时，PF垂直于BD，由PD=PE，利用三线合一即可得证． 此题考查了平行线的判定，以及直角三角形的性质，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键． 23.【答案】AB//CD，且AB=CD 相等 2α 【解析】解：(1)AB//CD，且AB=CD，∠B与∠D相等； (2)∵AB//CD， ∴∠DCE=∠B， 由三角形的外角性质得，∠CDF=∠DFE−∠DCE， ∴∠CDG=∠CDF+∠FDG=∠DFE−∠DCE+∠FDG， 在△DEF中，∠DEF=180°−2∠DFE， 在△DFG中，∠DGF=180°−∠FDG−∠DFE， ∴∠EDG=∠DGF−∠DEF=180°−∠FDG−∠DFE−(180°−2∠DFE)=2∠DFE−∠FDG−∠DFE， ∵DG平分∠CDE， ∴∠CDG=∠EDG， ∴∠DFE−∠DCE+∠FDG=2∠DFE−∠FDG−∠DFE， ∴∠FDG=12∠DCE， 即∠FDG=12∠B， ∵∠B=60°， ∴∠FDG=12×60°=30°； (3)思路同(2)， ∵∠FDG=α， ∴∠B=2α， 故答案为：(1)AB//CD，且AB=CD，相等；(3)2α． (1)根据平移的性质解答； (2)根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠B，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠CDG、∠EDG，然后根据DG平分∠CDE列出方程求解即可得到∠FDG=12∠B，再代入数据计算即可得解； (3)根据(2)的思路解答． 本题考查了平移的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，难点在于(2)表示出∠CDG和∠EDG并根据角平分线的定义列出方程求出∠FDG=12∠B．
浙教版初中数学七年级下册第一单元《平行线》测试卷考试范围：第一章；考试时间：100分钟；总分：100分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）下列说法错误的是( )A. 在同一平面内，不相交的两条线段必然平行 B. 在同一平面内，不相交的两条直线必然平行 C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D. 过直线外一点，有且仅有一条直线与这条直线平行若整数a是关于x的方程ax+3=−9−x的负整数解，且a是四条直线在平面内交点的个数，则满足条件的所有a的个数为( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 6若∠α与∠β同旁内角，且∠α=50∘时，则∠β的度数为 ( )A. 50º B. 130º C. 50º或130º D. 无法确定两直线被第三条直线所截，则( )A. 内错角相等 B. 同位角相等 C. 同旁内角互补 D. 以上结论都不对一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度是( )A. 第一次右拐50°，第二次左拐130° B. 第一次左拐50°，第二次右拐50° C. 第一次左拐50°，第二次左拐130° D. 第一次右拐50°，第二次右拐50°下列条件中，能说明AD//BC的条件有( )个 ①∠1=∠4 ②∠2=∠3 ③∠1+∠2=∠3+∠4 ④∠A+∠C=180∘ ⑤∠A+∠ABC=180∘⑥∠A+∠ADC=180∘A. 1 B. 2 C. 3 D. 4将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC//DE，则∠ACE的度数为( )A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°如图，图1是AD//BC的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE=18°，则图2中∠AEF的度数为( )A. 120° B. 108° C. 126° D. 114°如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，将△ABC沿直线BC向右平移2个单位得到△DEF，连接AD，则下列结论：①AC//DF，AC=DF ②ED⊥DF ③四边形ABFD的周长是16 ④点B到线段DF的距离是4.2其中正确的个数有( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4如图在一块长为12m，宽为6m的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是2m)则空白部分表示的草地面积是( )A. 60 B. 70 C. 48 D. 18下列语句中：①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离；②内错角相等；③两点之间线段最短；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行．是真命题有( )A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个下列结论中：①若a=b，则a=b；②在同一平面内，若a⊥b，b//c，则a⊥c；③直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离；④|3−2|=2−3，正确的个数有( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）如图，直线a//b，若∠1=60°，则∠2=______度． 如图，已知AB//CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点P在AB，CD之间且在EF的左侧．若将射线EA沿EP折叠，射线FC沿FP折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则∠EPF的度数为________．如图，BC//OA，∠B=∠A=100∘，点E、F在BC上，OE平分∠BOF，且OC平分∠AOF，下列结论中正确的是_________. ①∠FOC=∠FCO； ②OB//AC； ③∠EOC=45∘； ④∠OCB:∠OFB=1:3； ⑤若∠OEB=∠OCA，则∠OCA=60∘.如图，ABCD为一长条形纸带，AB//CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与Aˈ、Dˈ对应若∠1=50°，则∠2=________． 三、计算题（本大题共7小题，共52.0分）如图，已知：∠1与∠2互补，∠A=∠D，求证：AB//CD． 如图，把一张长方形纸片ABCD沿AF折叠，使B点落在B′处，若∠ADB=20°，那么∠BAF应为多少度时才能使AB′//BD？ 如图所示，已知AB//CD，FH平分∠EFD，FG⊥FH，∠AEF=62°，求∠GFC的度数． 如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A是105度，第二次拐的角∠B是135度，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？ 一副透明的直角三角尺，按如图所示的位置摆放．如果把三角尺的每条边看成线段，请根据图形解答下列问题： (1)找出图中一对互相平行的线段，并用符号表示出来； (2)找出图中一对互相垂直的线段，并用符号表示出来； (3)找出图中的一个钝角、一个直角和一个锐角，用符号把它们表示出来，并求出它们的度数．(不包括直角尺自身所成的角) 在△ABC中，∠ACB=90°，BD是△ABC的角平分线，P是射线AC上任意一点(不与A、D、C三点重合)，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，交直线BD于E． (1)如图①，当点P在线段AC上时，说明∠PDE=∠PED． (2)作∠CPQ的角平分线交直线AB于点F，则PF与BD有怎样的位置关系？画出图形并说明理由． 如图1.将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连AD、BC． (1)填空：AB与CD的关系为______∠B与∠D的大小关系为______； (2)如图2，若∠B=60°，F、E为BC的延长线上的点，∠EFD=∠EDF，DG平分∠CDE交BE于G，求∠FDG． (3)在(2)中，若∠FDG=α，其它条件不变，则∠B=______． 答案和解析1.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了平行线的定义，解答本题还要熟悉射线、线段的性质．根据平行线的定义直接解答即可． 【解答】 解：A.根据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条线段必然平行，而线段即可不平行也可不相交，故A错误，符合题意； B.根据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条直线必然平行，故B正确，不符合题意； C.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故C错误，不符合题意； D.过直线外一点，有且仅有一条直线与这条直线平行，故D正确，不符合题意． 故选A． 2.【答案】B 【解析】解：(1)当四条直线平行时，无交点， (2)当三条平行，另一条与这三条不平行时，有三个交点， (3)当两两直线平行时，有4个交点， (4)当有两条直线平行，而另两条不平行时，有5个交点， (5)当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点， (6)当四条直线同交于一点时，只有一个交点， (7)当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点， 故四条直线在平面内交点的个数是0或1或3或4或5或6； 解方程ax+3=−9−x得x=−12a+1， ∵x是负整数，a是整数， ∴a+1=1或2或3或4或6或12， 解得a=0或1或2或3或5或11． 综上所述，a=0或1或3或5，满足条件的所有a的个数为4． 故选：B． 从平行线的角度考虑，先考虑四条直线都平行，再考虑三条、两条直至都不平行，作出草图即可看出四条直线在平面内交点的个数；解方程ax+3=−9−x，得x=−12a+1，根据题意x是负整数，a是整数，所以a+1=1或2或3或4或6或12，解出a的值即可解决问题． 本题考查了平行线与相交线的位置关系，没有明确平面上四条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想，从四条直线都平行，然后数量上依次递减，直至都不平行，这样可以做到不重不漏，准确找出所有答案．同时考查了解一元一次方程，含有参数的方程在解方程过程中要把参数也看成“数”处理，避免与未知数“x”搞混． 3.【答案】D 【解析】【分析】 本题主要考查的是同旁内角的有关知识，两直线平行，同旁内角互补；不平行时无法确定同旁内角的大小关系． 【解答】 解：虽然∠α与∠β是同旁内角，但缺少两直线平行的前提，所以无法确定∠β的度数． 故选D． 4.【答案】D 【解析】【分析】 本题主要考查的是同位角、内错角、同旁内角的有关知识，根据同位角、内错角、同旁内角的定义对各选项判断即可． 【解答】 解：只有当两直线平行时，被第三条直线所截形成的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，题目中并未说明这两条直线平行，故A、B、C选项均错误． 故选D． 5.【答案】B 【解析】解：如图： 可得B与C平行，但C方向相反， B平行，且方向向同， A、D不平行． 故选：B． 首先根据题意画出图形，由同位角相等，两直线平行，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 此题考查了平行线的判定．注意同位角相等，两直线平行定理的应用，注意数形结合思想的应用． 6.【答案】B 【解析】【分析】 此题考查平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．根据平行线的判定定理逐一判断，排除错误答案． 【解答】解：①∠1=∠4，可得AB//DC，错误；②∠2=∠3，可得AD//BC，正确；③∠1+∠2=∠3+∠4，不能判断AD//BC，错误；④∠A+∠C=180°，不能判断AD//BC，错误；⑤∠A+∠ABC=180°，可得AD//BC，正确；⑥∠A+∠ADC=180°，可得AB//DC，错误；综上诉述②⑤共2个正确． 故选B． 7.【答案】B 【解析】【分析】 本题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．根据两直线平行，内错角相等求出∠BCE=∠E=30°，然后求出∠ACE的度数． 【解答】 解：∵BC//DE， ∴∠BCE=∠E=30°， ∴∠ACE=∠ACB-∠BCE=45°-30°=15°， 故选B． 8.【答案】D 【解析】【分析】 此题考查了轴对称的性质，平行线的性质，一元一次方程的应用，设∠B′FE=x，根据折叠的性质得∠BFE=∠B′FE=x，∠AEF=∠A′EF，则∠BFC=x−18°，再由第2次折叠得到∠C′FB=∠BFC=x−18°，于是利用平角定义可计算出x=66°，接着根据平行线的性质得∠A′EF=180°−∠B′FE=114°，所以∠AEF=114°． 【解答】 解：如图，设∠B′FE=x， ∵纸条沿EF折叠， ∴∠BFE=∠B′FE=x，∠AEF=∠A′EF， ∴∠BFC=∠BFE−∠CFE=x−18°， ∵纸条沿BF折叠， ∴∠C′FB=∠BFC=x−18°， 而∠B′FE+∠BFE+∠C′FB=180°， ∴x+x+x−18°=180°， 解得x=66°， ∵A′D′//B′C′， ∴∠A′EF=180°−∠B′FE=180°−66°=114°， ∴∠AEF=114°， 故选D． 9.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了相似三角形的判定与性质．直接根据平移的性质可对①进行判断；根据平移的性质得∠EDF=∠BAC=90°，则可对②进行判断；根据平移的性质得AD=BE=2，EF=BC=5，则可计算出四边形ABFD的周长．从而对③进行判断；延长BA交FD的延长线于H，如图，根据平移的性质证明BH⊥CH，再证明△HAD∽△HBF，利用相似比计算出AH，然后计算出BH即可对④进行判断． 【解答】解：∵△ABC沿直线BC向右平移2个单位得到△DEF， ∴AC//DF，AC=DF=4，所以①正确； ∠EDF=∠BAC=90°， ∴DE⊥DF，所以②正确； ∵△ABC沿直线BC向右平移2个单位得到△DEF， ∴AD=BE=2，EF=BC=5， ∴四边形ABFD的周长=AB+BE+EF+DF+AD=3+2+5+4+2=16，所以③正确， 延长BA交FD的延长线于H，如图， ∵AC//DF，AB⊥AC， ∴BH⊥CH， ∵AD//BF， ∴△HAD∽△HBF， ∴AHBH=ADBF，即AHAH+3=22+5，解得AH=1.2， ∴BH=BA+AH=3+1.2=4.2， 即点B到线段DF的距离是4.2，所以④正确． 故选D． 10.【答案】A 【解析】【分析】 此题考查生活中的平移现象，化曲为直是解决此题的关键思路.根据矩形面积公式可求矩形的面积；因为柏油小路的任何地方的水平宽度都是2，其面积与同宽的矩形面积相等，故可求草地面积． 【解答】 解：草地面积=矩形面积−小路面积 =12×6−2×6 =60(m2). 故选A． 11.【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了平行线的定义，垂线的性质，平行公理，点到直线的距离以及线段的性质：两点之间线段最短．熟练掌握公理和概念是解决本题的关键，本题可结合平行线的定义，垂线的性质和平行公理等进行判定即可． 【解答】解：①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故①错误； ②两直线平行，内错角相等，故②错误；③两点之间线段最短，故③正确； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，应强调在经过直线外一点，故④错误； ⑤在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，故⑤正确； 综上，③⑤正确，真命题的有2个， 故选D． 12.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查了实数的性质，利用算术平方根的意义，平行线的性质，点到直线的距离，绝对值的性质是解题关键，根据算术平方根的意义，平行线的性质，点到直线的距离，绝对值的性质，可得答案． 【解答】 解：①若a=b<0时，则a，b无意义，故①不符合题意； ②在同一平面内，若a⊥b，b//c，则a⊥c，故②符合题意； ③直线外一点到直线的垂线段的长度叫点到直线的距离，故③不符合题意； ④|3−2|=2−3，故④符合题意． 故选B． 13.【答案】60 【解析】解：∵a//b， ∴∠2=∠1， ∵∠1=60°， ∴∠2=60°． 故答案为60． 根据两直线平行，同位角相等即可求解． 本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 14.【答案】45°或135° 【解析】【分析】 本题主要考查了平行线的性质，关键是正确画出图形，分两种情况分别计算出∠EPF的度数． 根据题意画出图形，然后再利用平行线的性质得出∠EMF与∠AEM和∠CFM的关系，然后可得答案． 【解答】 解：如图1，过M作MN//AB， ∵AB//CD， ∴AB//CD//NM， ∴∠AEM=∠EMN，∠NMF=∠MFC， ∵∠EMF=90°， ∴∠AEM+∠CFM=90°， 同理可得∠P=∠AEP+∠CFP， 由折叠可得：∠AEP=∠PEM=12∠AEM，∠PFC=∠PFM=12∠CFM， ∴∠P=12(∠AEM+∠CFM)=45°； 如图2，过M作MN//AB， ∵AB//CD， ∴AB//CD//NM， ∴∠AEM+∠EMN=180°，∠NMF+∠MFC=180°， ∴∠AEM+∠EMF+∠CFM=360°， ∵∠EMF=90°， ∴∠AEM+∠CFM=360°−90°=270°， 由折叠可得：∠AEP=∠PEM=12∠AEM，∠PFC=∠PFM=12∠CFM， ∴∠P=270°×12=135°， 综上所述：∠EPF的度数为45°或135°． 故答案为45°或135°． 15.【答案】①②⑤ 【解析】【分析】 本题考查角平分线的定义及平行线的性质的有关知识． ①根据平行线的性质及角平分线的定义即可得出； ②由同旁内角互补，两直线平行即可证明． ③由∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF得到∠EOC=∠EOF+∠FOCP=12(∠BOF+∠FOA)=12∠BOA，算出结果． ④先得出∠OFB=∠FOC+∠FCO=2∠OCB，即可得到∠OCB：∠OFB=1：2． ⑤设∠BOE=∠EOF=α，∠FOC=∠COA=β，依据∠OEB=∠OCA，即可得到α=β，根据∠AOB=80°，可得α=β=20°，进而得出∠OCA=2α+β=40°+20°=60°． 【解答】 解：①∵BC//OA，OC平分， ∴∠FOC=∠AOC，∠AOC=∠FCO， 则∠FOC=∠FCO，故①正确； ②∵BC//OA， ∴∠B+∠AOB=180°，(两直线平行，同旁内角互补) ∵∠A=∠B， ∴∠A+∠AOB=180°，(等量代换) ∴OB//AC.(同旁内角互补，两直线平行) 故②正确； ③∵∠A=∠B=100°， 由②得∠BOA=180°−∠B=80°； ∵∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF， ∴∠EOF=12∠BOF，∠FOC=12∠FOA， ∴∠EOC=∠EOF+∠FOC=12(∠BOF+∠FOA)=12∠BOA=40°． 故③错误； ④∵BC//OA， ∴∠FCO=∠COA， 又∵∠FOC=∠AOC， ∴∠FOC=∠FCO， ∴∠OFB=∠FOC+∠FCO=2∠OCB， ∴∠OCB：∠OFB=1：2． 故④错误； ⑤∵OB//AC， ∴∠OCA=∠BOC， 设∠BOE=∠EOF=α，∠FOC=∠COA=β， ∴∠OCA=∠BOC=2α+β， ∠OEB=∠EOC+∠ECO=α+β+β=α+2β， ∵∠OEB=∠OCA， ∴2α+β=α+2β， ∴α=β， ∵∠AOB=80°， ∴α=β=20°， ∴∠OCA=2α+β=40°+20°=60°． 故⑤正确． 故答案为①②⑤． 16.【答案】65° 【解析】【分析】 本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a//b，b//c⇒a//c，依据∠1=50°，即可得到∠AEF的度数，再根据平行线的性质即可得到∠2的度数． 【解答】 解：∵∠1=50°， ∴∠AEA′=130°， 由折叠可得：∠AEF=65°， 又∵AB//CD， ∴∠2=∠AEF=65°， 故答案为65°． 17.【答案】证明：∵∠1=∠CGD，∠1与∠2互补， ∴∠CGD+∠2=180°， ∴AF//ED， ∴∠A+∠AED=180°， ∵∠A=∠D， ∴∠D+∠AED=180°， ∴AB//CD． 【解析】由对顶角相等得到一对角相等，根据已知一对角互补，得到同旁内角互补，利用同旁内角互补两直线平行得到AF与ED平行，由两直线平行同旁内角互补得到一对角互补，等量代换得到∠D与∠AED互补，利用同旁内角互补两直线平行即可得证． 此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键． 18.【答案】解：∵长方形纸片ABCD沿AF折叠，使B点落在B′处， ∴∠B′AF=∠BAF， ∵AB′//BD， ∴∠B′AD=∠ADB=20°， ∴∠B′AB=20°+90°=110°， ∴∠BAF=110°÷2=55°． ∴∠BAF应为55度时才能使AB′//BD． 【解析】根据折叠的性质得到∠B′AF=∠BAF，要AB′//BD，则要有∠B′AD=∠ADB=20°，从而得到∠B′AB=20°+90°=110°，即可求出∠BAF． 本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了直线平行的判定． 19.【答案】解：∵AB//CD，∠AEF=62°， ∴∠EFD=∠AEF=62°，∠CFE=180°−∠AEF=180°−62°=118°； ∵FH平分∠EFD， ∴∠EFH=12∠EFD=12×62°=31°； 又∵FG⊥FH， ∴∠GFE=90°−∠EFH=90°−31°=59°， ∴∠GFC=∠CFE−∠GFE=118°−59°=59°． 【解析】根据平行线的性质，结合角平分线的定义和垂线的定义求解． 此题考查的是平行线的性质，即两直线平行内错角相等，同旁内角互补． 20.【答案】解：过点B作直线BE//CD． ∵CD//AF， ∴BE//CD//AF． ∴∠A=∠ABE=105°． ∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=30°． 又∵BE//CD， ∴∠CBE+∠C=180°． ∴∠C=150°． 【解析】过点B作直线BE//CD，用“两直线平行内错角相等”和“两直线平行同旁内角互补”解答． 此题是一道生活实际问题，根据题目信息，转化为关于平行线性质的数学问题． 21.【答案】解：此题答案不唯一，只要答案正确即可得分． (1)如：DE//CB，DF//CB，FE//CB． (2)如：ED⊥AC，FD⊥AC，FD⊥AD． (3)如：钝角：∠GFD=135°，∠CGB=∠FGE=105°． 直角有：∠ADE=90°． 如：锐角∠GCB=30°，∠AFD=45°，∠CGF=75°． 【解析】(1)直线DE//BC，故直线DE上的线段都与BC平行． (2)根据∠CDE和∠ACB都是直角，即可找出互相垂直的线段． (3)根据角的概念进行解答． 本题考查平行线，垂线以及角的概念，难度不大． 22.【答案】解：(1)∵PQ⊥AB， ∴∠EQB=∠C=90°， ∴∠BEQ+∠EBQ=90°，∠CBD+∠PDE=90°， ∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠CBD=∠EBQ， ∵∠PED=∠BEQ， ∴∠PDE=∠PED； (2)当P在线段AC上时，如图1所示，此时PF//BD， 理由为：∵∠PDE=∠PED， ∴PD=PE， ∵PF为∠CPQ的平分线，∠CPQ为△PDE的外角， ∴∠CPF=∠QPF=∠PDE=∠PED， ∴PF//BD； 当P在线段AC延长线上时，如图2所示，PF⊥BD， 理由为：∵∠PDE=∠PED， ∴PD=PE， ∵PM为∠CPQ的平分线， ∴PF⊥BD． 【解析】(1)由PQ与AB垂直，得到一对直角相等，理由直角三角形的两锐角互余得到两对角互余，再BD为角平分线，利用角平分线定义得到一对角相等，再由对顶角相等，利用等量代换即可得证； (2)分两种情况，当P在线段AC上时，如图1所示，可得出PF与BD平行，由第一问的结论利用等角对等边得到PD=PE，利用角平分线定义及外角性质得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证；当P在AC延长线时，PF垂直于BD，由PD=PE，利用三线合一即可得证． 此题考查了平行线的判定，以及直角三角形的性质，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键． 23.【答案】AB//CD，且AB=CD 相等 2α 【解析】解：(1)AB//CD，且AB=CD，∠B与∠D相等； (2)∵AB//CD， ∴∠DCE=∠B， 由三角形的外角性质得，∠CDF=∠DFE−∠DCE， ∴∠CDG=∠CDF+∠FDG=∠DFE−∠DCE+∠FDG， 在△DEF中，∠DEF=180°−2∠DFE， 在△DFG中，∠DGF=180°−∠FDG−∠DFE， ∴∠EDG=∠DGF−∠DEF=180°−∠FDG−∠DFE−(180°−2∠DFE)=2∠DFE−∠FDG−∠DFE， ∵DG平分∠CDE， ∴∠CDG=∠EDG， ∴∠DFE−∠DCE+∠FDG=2∠DFE−∠FDG−∠DFE， ∴∠FDG=12∠DCE， 即∠FDG=12∠B， ∵∠B=60°， ∴∠FDG=12×60°=30°； (3)思路同(2)， ∵∠FDG=α， ∴∠B=2α， 故答案为：(1)AB//CD，且AB=CD，相等；(3)2α． (1)根据平移的性质解答； (2)根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠B，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠CDG、∠EDG，然后根据DG平分∠CDE列出方程求解即可得到∠FDG=12∠B，再代入数据计算即可得解； (3)根据(2)的思路解答． 本题考查了平移的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，难点在于(2)表示出∠CDG和∠EDG并根据角平分线的定义列出方程求出∠FDG=12∠B．
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