浙教版七年级下册第五章 分式综合与测试同步测试题

浙教版初中数学七年级下册第五单元《分式》测试卷

考试范围：第五章；考试时间：100分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 若分式的值为零，那么的值为    

A. 或 B.  C.  D.

2. 下列各式中，分式的个数为

，，，，，，．

A.  B.  C.  D.

3. 已知分式的值为整数，则满足条件的整数有   

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4. 将分式中的、的值同时扩大倍，则分式的值

A. 扩大倍 B. 缩小到原来的
C. 保持不变 D. 扩大倍

5. 若把分式中的和都扩大倍，那么分式的值   

A. 扩大倍 B. 不变
C. 缩小为原来的倍 D. 缩小为原来的倍

6. 根据分式基本性质，下列变形一定正确的是

A.  B.  C.  D.

7. 下列各分式中，最简分式是     

A.  B.  C.  D.

8. 设，是实数，定义关于“”的一种运算如下：则下列结论：若，则或；不存在实数，，满足；；若，则其中正确的是

A.  B.  C.  D.

9. 已知，则分式的值为  

A.  B.  C.  D.

10. 已知，，，则的值为

A.  B.  C.  D.

11. 分式方程的解是   

A.  B.  C.  D.

12. 分式方程有增根，则的值为     

A. 和 B.  C. 和 D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 若关于的方程无解，则的值为_______________．
14. 分式：，，，中，最简分式有_______只填序号
15. 一家快餐店销售、、三种套餐，其中套餐包含一荤两素，套餐包含两荤一素，套餐包含两荤两素，每份套餐中一荤的成本相同，一素的成本也相同，已知一份套餐的售价是一份套餐和一份套餐售价之和的，一天下来，店长发现套餐和套餐的销量相同，且、套餐的利润和是套餐利润的两倍，当天的总利润率是第二天店内搞活动，套餐的售价打五折，、套餐的售价均不变，当、、三种套餐的销量相同时，总利润率为________．
16. 甲、乙两列客车的长分别为米和米，他们相向行驶在平行的轨道上，已知甲车上某乘客测得乙车在他的窗口外经过的时间是秒，那么乙车上的乘客看见甲车在他的窗口外经过的时间是_____秒．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 已知，，试不用分数化小数的方法比较、的大小观察、的特征，以及你比较大小的过程，直接写出你发现的一个一般结论．
    
    
    
    
    
    
     
18. 若，试求代数式所有可能的值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 给出下面一列分式：，，，，其中．

从这列分式的第个分式开始，把任意一个分式除以它前一个分式，你发现了什么规律

根据你发现的规律，试写出这列分式中的第个分式．






 

20. 通常情况下，不一定等于，观察：，，，，我们把符合的两个数，叫做“和积数对”已知，是一对“和积数对”．

当时，求的值

求的值．






 

21. 已知．
    若，，则______，______；
    若，，求的值；
    若，求的最小值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 阅读下面的解题过程：
    已知：，求的值解：知，所以，即所以故的值为．
    该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
    已知：，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 某书商去图书批发市场购买某本书，第一次用元购书若干本，并把该书按定价元本出售，很快售完，由于该书畅销，书商又去批发市场采购该书，第二次购书时，每本书批发价已比第一次提高了，他用元所购书数量比第一次多了本．

求第一次购书的进价是多少元一本？第二次购进多少本书？

若第二次购进书后，仍按原定价元本售出本时，出现滞销，书商便以定价的折售完剩余的书，结果第二次共盈利元、为正整数，求相应、值．






 

24. 为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运趟可完成，需支付运费元．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的倍，且乙车每趟运费比甲车少元．

求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？

若单独租用一台车，租用哪台车合算？






 

25. 某书商去图书批发市场购买某本书，第一次用元购书若干本，并把该书按定价元本出售，很快售完，由于该书畅销，书商又去批发市场采购该书，第二次购书时，每本书批发价已比第一次提高了，他用元所购书数量比第一次多了本．
    求第一次购书的进价是多少元一本第二次购进多少本书
    若第二次购进书后，仍按原定价元本售出本时，出现滞销，书商便以定价的折售完剩余的书，结果第二次共盈利元、为正整数，求相应的、的值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．

【解答】
解：依题意，得
，且，
解得．
故选C．
 

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了分式的定义：如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，叫做分式的分子，叫做分式的分母．注意分式不含等号，也不含不等号．判断分式的依据是分式的定义，主要是看代数式的分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．分式不含等号． 
【解答】
解：根据根式的定义可知：
分式有：，，，共个，
故选C．  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了分式的值是整数的条件，把原式化简为的形式是解决本题的关键．首先把分式转化为，则原式的值是整数，即可转化为讨论的整数值有几个的问题． 

【解答】

解：

因为分式的值是整数

所以或或或，满足条件的整数有个．

故选D．

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查分式的基本性质，属于基础题．
根据、的值同时扩大倍后求出分式的值，和原来比较求出结果．
【解答】
解：中的、的值同时扩大倍，．
所以扩大了倍．
故选A．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了分式的基本性质，解题关键是用到了整体代入的思想．把原式中的、分别换成、进行计算，再与原分式比较即可．
【解答】
解：把原式中的、分别换成、，那么
，
故选C．  

6.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是分式的基本性质的有关知识，由题意利用分式的基本性质对各个选项进行逐一分析判断即可．

【解答】

解：．，故A错误；

B.，故B正确；

C.成立的条件是，故C错误；

D.成立的条件是，故D错误．

故选B．

7.【答案】
 

【解析】

【分析】

最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．

【解答】 

解：分式的分子与分母中的系数和有公因式，可以约分，故A错误；
B.，故B错误；
C.分子分母没有公因式，是最简分式，故C正确；
D.，故D错误；
故选C．

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是实数的运算有关知识，根据新定义的运算，逐一计算并判断即可．
【解答】
解：，
，，，
或，故正确；
，又，
，
，
时，满足条件，
存在实数，，满足，故错误
，
又，
；故正确
若，，则，，
则，故正确．
故选B．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查的是分式的化简求值有关知识，首先对所给的已知条件进行变形，然后再代入进行计算即可解答．

【解答】

解：，

，

，

原式．

故选A．

10.【答案】
 

【解析】解：由，两边平方，
得，
将已知代入，得；
由得：，
，
同理，得，
，
原式



．
故选：．
由，，利用两个等式之间的平方关系得出；再根据已知条件将各分母因式分解，通分，代入已知条件即可．
本题考查了分式的化简其中计算，解题时，充分运用已知条件变形，使分式能化简通分，得出结果．
 

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查解分式方程，利用了转化思想，解分式方程注意要检验首先将分式方程变形，然后左右两边分别通分化简得到整式方程，最后求出整式方程的解，经检验即可得到原分式方程的解．
【解答】
解：原方程变形为，

左右两边分别通分得，

，

整理得，解的，
经检验，是原方程的解．
故选B．

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
根据分式方程有增根，得出，，再代入求出即可．
本题主要考查对分式方程的增根，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，理解分式方程的增根的意义是解此题的关键．
【解答】
解：分式方程有增根，
或，
或．
两边同时乘以，原方程可化为，
整理得，，
当时，代入得：，
当时，代入得：，
当时，方程为，
此方程无解，
时，分式方程有增根，
故选D．  

13.【答案】或或
 

【解析】

【分析】

此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．

直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案．

【解答】

解：去分母得：，
可得：，
当时，一元一次方程无解，
此时，
当时，
则，
解得：或，
综上所述：或或，
故答案为：或或．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了最简分式的定义，最简分式是指分式的分子分母不含公因式的分式，解答此题根据最简分式的定义判断即可．
【解答】
解：，分子分母不含公因式，故是最简分式；分子分母含有公因式，故不是最简分式；分子分母含有公因式，故不是最简分式；分子分母不含公因式，故是最简分式，
故最简分式有：，
故答案为．  

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查分式的化简求值；设设荤菜的成本为元，素菜的成本元，荤菜的利润率为，素菜的利润率为，套餐和套餐的数量为份，套餐的数量为份，根据，套餐的利润和是套餐利润的两倍，得出，根据当天的总利润率是，得出，根据套餐的售价打五折，，套餐的售价均不变，、、三种套餐的销量相同，列出分式，再化简即可得出答案．
【解答】
解：设荤菜的成本为元，素菜的成本元，荤菜的利润率为，素菜的利润率为，套餐和套餐的数量为份，套餐的数量为份．
，套餐的利润和是套餐利润的两倍，
，
整理得，
当天的总利润率是，
，
整理得，
第二天店内搞活动，套餐的售价打五折，，套餐的售价均不变，、、三种套餐的销量相同，设均为份，
则总利润率为：






．
故答案为：．  

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了分式方程的应用，根据坐在甲车上的某乘客看见乙车驶过窗口，此时路程为乙车的长度，速度为甲乙两车速度之和；坐在乙车上的乘客看见甲车驶过窗口，此时路程为甲车长度，速度为两人速度之和，等量关系为：乙车长度坐在甲车上的乘客看见乙车驶过窗口的时间甲车长度坐在乙车上的乘客看见甲车驶过窗口所用的时间，把相关数值代入即可求解．
【解答】
解：设乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是秒，
由题意，有，解得，
经检验，是原方程的解，
即乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是秒，
故答案为．  

17.【答案】解：，
，，

．

、的特征是、中的分母均比分子大．

一般结论：且答案不唯一．
 

【解析】略
 

18.【答案】解：因为，所以、、都不为，因此分四种情况讨论：
当、、全正时，即，，，
原式
当、、中两正一负时，设，，，
原式
当、、中两负一正时，设，，，
原式
当、、全负时，即，，，
原式
综上所述，所求代数式的值为，，．
 

【解析】本题主要考查绝对值的性质以及有理数的乘除运算，分类讨论是解题的关键；结合已知易得、、都不为，再分、、同正、两正一负、两负一正、同负四种情况求解；接下来利用正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数进行求解即可．
 

19.【答案】解：第二个分式除以第一个分式得，
第三个分式除以第二个分式得，
第四个分式除以第三个分式也是，
故规律是任意一个分式除以它前一个分式恒等于．
由可知第个分式应该是．
 

【解析】见答案
 

20.【答案】解：当时，，解得．

，

．

【解析】略
 

21.【答案】 
 

【解析】解：，
，，
若，，
则，，
故答案为：，．
，，
，，
，
，
，




，

，

的最小值为．
利用多项式的乘法公式展开，得出，，将与的值代入求解；
将化简为，然后代入，求值；
通过把变形转换为利用非负数的性质求解即可．
本题考查分式与整式乘法的综合应用，解题关键是熟练掌握分式的基本性质及整式的运算法则及因式分解的方法．
 

22.【答案】解：，

，

，

，

．

【解析】此题主要考查了分式的混合运算，关键是理解例题的解法，掌握解题方法后，再根据例题方法解答，首先根据解答例题可得，得出，再求的倒数的值，进而可得答案．
 

23.【答案】解：设第一次购书的进价为元本，
根据题意得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，且符合题意，
本，
则第一次购书的进价为元本，且第二次买了本；
第二次购书的进价为元，
根据题意得：，
整理得：，即，
，
、为正整数，且，
当时，；当时，；当时，．
 

【解析】设第一次购书的进价为元本，根据“第二次购书时，每本书批发价已比第一次提高了，他用元所购书数量比第一次多了本”列出方程，求出方程的解即可得到结果；
根据题意列出关于与的方程，由与为正整数，且的范围确定出与的值即可．
此题考查了分式方程的应用，以及二元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
 

24.【答案】解：设甲车单独运完此堆垃圾需运趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运趟，根据题意得出：
，
解得：，
经检验得出：是原方程的解，
则乙车单独运完此堆垃圾需运：，
答：甲车单独运完需趟，乙车单独运完需趟；

设甲车每一趟的运费是元，由题意得：
，
解得：，
则乙车每一趟的费用是：元，
单独租用甲车总费用是：元，
单独租用乙车总费用是：元，
，
故单独租用一台车，租用乙车合算．
答：单独租用一台车，租用乙车合算．
 

【解析】假设甲车单独运完此堆垃圾需运趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运趟，根据工作总量工作时间工作效率建立方程求出其解即可；
分别表示出甲、乙两车单独运每一趟所需费用，再根据关键语句“两车各运趟可完成，需支付运费元”可得方程，再解出方程，再分别计算出利用甲或乙所需费用进行比较即可．
此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
 

25.【答案】设第一次购书的进价为元本，
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解，且符合题意，
本，
则第一次购书的进价为元本，且第二次买了本．

第二次购书的进价为元，
根据题意，得：，
整理得：，
即，
，
，为正整数，且，
当时，当时，当时，．

【解析】此题考查了分式方程的应用，以及二元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
设第一次购书的进价为元本，根据“第二次购书时，每本书批发价已比第一次提高了，他用元所购书数量比第一次多了本”列出方程，求出方程的解即可得到结果；
根据题意列出关于与的方程，由与为正整数，且的范围确定出与的值即可．