2022年内蒙古包头市高考数学一模试卷（理科）

2022年内蒙古包头市高考数学一模试卷（理科）

1. 设，则复数z对应的点在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 已知集合，，则

A.  B.
C.  D.

3. 已知命题p：，；命题q：，，则下列命题中为真命题的是

A.  B.  C.  D.

4. 设函数，则下列函数中为奇函数的是

A.  B.
C.  D.

5. 在正四棱柱中，已知，，R为BD的中点，则直线与所成角的正弦值为

A.  B.  C.  D.

6. 将6名优秀教师分配到5个不同的学校进行教学交流，每名优秀教师只分配到1个学校，每个学校至少分配1名优秀教师，则不同的分配方案共有

A. 2400种 B. 1800种 C. 1200种 D. 1600种

7. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则

A.  B.  C.  D.

8. 在区间和中各随机取1个数x和y，则的概率为

A.  B.  C.  D.

9. 已知为数列的前n项积，若，则数列的前n项和

A.  B.  C.  D.

10. 设，若为函数的极小值点，则

A.  B.  C.  D.

11. 设P是椭圆的下顶点，若C上存在点Q满足，则C的离心率的取值范围是

A.  B.  C.  D.

12. 设，，，则

A.  B.  C.  D.

13. 已知向量，，若，则______.
14. 已知双曲线的焦点到它的渐近线的距离为，则C的离心率为______.
15. 记为数列的前n项和．若，，则______.
16. 在一个正方体中，经过它的三个顶点的平面将该正方体截去一个三棱锥．所得多面体的三视图中，以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成这个多面体的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______写出符合要求的一组答案即可
     

17. 某印刷企业为了研究某种图书每册的成本费单位：元与印刷数量单位：千册的关系，收集了一些数据并进行了初步整理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．

表中，
根据散点图判断：与哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y与印刷数量x的回归方程？只要求给出判断，不必说明理由
根据的判断结果及表中数据建立y关于x的回归方程结果精确到；
若该图书每册的定价为9元，则至少应该印刷多少册，才能使销售利润不低于80000元假设能够全部售出
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，

18. 如图，经过村庄B有两条夹角为的公路BA和BC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂F，分别在两条公路边上建两个仓库D和异于村庄设计要求单位：千米
    若，求BF的值保留根号；
    若设，当为何值时，工厂产生的噪音对村庄B的居民影响最小即工厂F与村庄B的距离最远，并求其最远距离精确到，取
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，四棱锥的底面是长方形，底面ABCD，，，，
    证明：平面平面SAC；
    求直线SB与平面SCD所成角的正弦值．
    
    
     

20. 设函数，已知是函的极值点．
    求m；
    设函数证明：
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知抛物线M：的焦点为F，且F与圆C：上点的距离的最大值为
    求抛物线M的方程；
    若点Q在C上，QA，QB为M的两条切线，A，B是切点在B的上方，求面积的最小值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 在直角坐标系xOy中，的圆心为，半径为
    写出的一个参数方程；
    直线l与相切，且与x轴的正半轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，若l与两坐标轴所围成的三角形OAB的面积为6，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线l的极坐标方程．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知函数
    当时，求不等式的解集；
    若，求a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】解：设，
则，
，
，
，解得，
，
复数z对应的点在第四象限．
故选：
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

2.【答案】A
 

【解析】解：因为集合，，
所以且，
故选：
根据交集的定义计算即可．
本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：根据题意，对于p，当时，有，p为假命题，
对于q，当时，，q为真命题，
则、、是假命题，是真命题，
故选：
根据题意，分析命题p、q的真假，由复合命题的真假分析可得答案．
本题考查命题真假的判断，涉及全称、特称命题的真假，属于基础题．
 

4.【答案】A
 

【解析】解：A：令，，
则，故A满足题意；
B：令，，
则，即为偶函数，不符合题意；
C：，，定义域关于原点不对称，故非奇非偶函数，C不符合题意；
D：，，定义域关于原点不对称，故非奇非偶函数，D不符合题意．
故选：
结合函数的奇偶性的定义分别检验各选项即可．
本题主要考查了函数的奇偶性的判断，属于基础题．
 

5.【答案】B
 

【解析】解：连接，，则，

则直线与所成角的平面角为或其补角，
又在正四棱柱中，，，R为BD的中点，
则，，，
所以，所以为直角三角形，
所以直线与所成角的正弦值为，
故选：
连接，，则，则直线与所成角的平面角为或其补角，再解三角形求值即可．
本题考查了异面直线所成角，考查了转化思想，属基础题．
 

6.【答案】B
 

【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
①将6名教师分为5组，有种分组方法，
②将分好的5组全排列，安排到5个学校，有种分法，
则有种分配方法，
故选：
根据题意，分2步进行分析：①将6名教师分为5组，②将分好的5组全排列，安排到5个学校，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理，属于基础题．
 

7.【答案】C
 

【解析】解：由题意，把函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象；
再把所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，可得的图象，
故选：
由题意，利用函数的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
 

8.【答案】C
 

【解析】
解：在区间和中各随机取1个数x和y，
其基本事件可用如图所示的正方形区域表示，
则的基本事件可用阴影部分区域表示，
则的概率为，
故选：
先作出各事件对应的平面区域，再求面积之比即可得解．
本题考查了几何概型中的面积型，重点考查了作图能力，属基础题．
 

9.【答案】D
 

【解析】解：当时，；
当时，，
于是是以为首项，为公差的等差数列，所以，
所以，
故选：
先将等式化为，的关系式并化简，然后根据等差数列的定义求出，由等差数列前n项和公式可得结果．
本题考查了数列的通项和等差数列的求和，属于基础题．
 

10.【答案】C
 

【解析】解：因为，
所以，，
，，
所以当时，为函数的极小值点，当时，为函数的极大值点，
因为，
故选：
先求导数，再根据极小值必要条件判断即可．
本题考查了利用导数研究函数极值问题，属于中档题．
 

11.【答案】A
 

【解析】解：点B的坐标为，设，
则，，
故，，
又对称轴，
当时，即时，
则当时，最大，此时，
 当时，即时，
则当时，最大，此时，
则，即，所以满足题意，
综上，满足题意，
，即，，

综上所述的e的范围为
故选：
设，可得，，结合二次函数的性质即可求出离心率的取值范围．
本题考查了椭圆的方程和性质，考查了运算求解能力和转化与化归思想，属于难题．
 

12.【答案】D
 

【解析】解：，
构造函数，，
因为，所以，
又因为，所以，所以，所以，
所以函数在上单调递减，所以，
所以，即，
故选：
利用对数函数单调性可得，利用函数在上的单调性可得n、k大小关系，然后可得正确选项．
本题考查函数单调性应用，考查数学运算能力及抽象能力，所以中档题．
 

13.【答案】
 

【解析】解：向量，，，
，
则，
故答案为：
由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
 

14.【答案】
 

【解析】解：根据条件可得，，则，焦点坐标为，
渐近线方程为，
故焦点到渐近线距离，
故，
所以离心率，
故答案为：
求出双曲线的焦点到条渐近线的距离，可得，求出c，即可求出双曲线的离心率．
本题主要考查双曲线离心率的求解，双曲线的几何性质等知识，属于中等题．
 

15.【答案】62
 

【解析】解：由，令，则，
若，则，不符合，舍去．
数列为等比数列，
取，则，
，解得，
，，
则，
故答案为：
由，令，可得，，进而判断出数列为等比数列，取，可得，解得q，进而得出，利用求和公式即可得出
本题考查了数列递推关系、等比数列的定义与通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

16.【答案】④⑤或⑤④
 

【解析】解：根据题意，在一个正方体中，红过它的三个顶点的平面将该正方体截去一个三棱锥，
如果图①是正视图，则几何体若如图所示，
则此时侧视图和俯视图的编号依次为④⑤；

如果几何体如图所示，
则此时侧视图和俯视图的编号依次为⑤④．
故答案为：④⑤或⑤④
根据正视图，结合题意，作出几何体直观图，由此再判断，即可求出结果．
本题考查侧视图和俯视图的判断，考查正方体、三棱锥的结构特征，三视图的性质等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．
 

17.【答案】解：由散点图判断更适合作为该图书每册的成本费y与印刷数量x的回归方程．
令，先建立y关于u的线性回归方程．
由于，故，
所以y关于u的线性回归方程为，
从而y关于x的回归方程为
假设印刷x千册，依据题意得，解得，
所以至少应该印刷12000册图书，才能使销售利润不低于80000元．
 

【解析】根据散点图即可得出答案；
令，根据题中数据求出v关于u的线性回归方程，从而可得出答案；
假设印刷x千册，依据题意得，解之即可得解．
本题考查了非线性回归方程的求解，属于中档题．
 

18.【答案】解：若，又，
所以此时，
又为边长为3的等边三角形，
所以，
在中，因为，
所以，
在中，
若，在中，，
所以，
在中，，其中，
所以，
即，
当且仅当时，即时，取得最大值27，此时千米，
所以当为时，工厂产生的噪音对村庄B的居民影响最小，此时工厂距离村庄B的最远距离约为千米．
 

【解析】由题意可求，利用等边三角形的性质可得，在中，可求，在中利用勾股定理即可求解BF的值．
利用正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，利用正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查与三角函数有关的应用问题，熟练应用正弦定理，余弦定理以及三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．
 

19.【答案】证明：因为平面ABCD，又平面ABCD，所以

又，且，所以平面SAC，
又平面SBE，所以平面平面
解：由可知，，，
在长方形ABCD中，，故可以点A为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
所以，，
因为，所以，得，所以
注：也可以连接AC交BE于H，证明∽，
所以，
故，，设，
则在中，，
又在中，，
所以，解得，故
因为，，，，，
所以，，，
设平面SCD的法向量为，则即
令，则，
设SB与平面SCD所成角为，则
所以SB与平面SCD所成角的正弦值为
 

【解析】证明出，结合以及线面垂直的判定定理可得出平面SAC，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
以点A为坐标原点，AB、AD、AS所在直线分别为x，y、z轴建立空间直角坐标系，设，利用求出t的值，然后空间向量法可求得直线SB与平面SCD所成角的正弦值．
本题考查线面角，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意可知，，
则，
因为是函数的极值点，
所以，
所以，故
证明：由得，，
设，则，
当时，，即，所以在区间单调递增，
当时，，即，所以在区间单调递减，
因此当时，，
的定义域要求有意义，即，
同时还要求，即要求，
故的定义域为且
要证，因为，
所以只需证，
即需证，
令，则且，则只需证，即证，
令，则，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，即成立．
 

【解析】求出函数的导数，根据是极值点，得到关于m的方程，解出即可；
求出，求出函数的定义域，问题转化为，令，则且，问题转化为证，令，根据函数的单调性证明即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是中档题．
 

21.【答案】解：由题意知，，圆C的半径为，所以，
即，解得，所以抛物线M的方程为
设，，直线AB的方程为，
联立方程组，消去x，得，
则，，
所以，
因为，所以或，则或，
所以切线QA的斜率为，其方程为，即，
同理切线QB的斜率为，其方程为
联立方程组，解得，
即点Q的坐标为，
因为点Q在圆C上，所以，且，，
即，满足判别式的条件．
点Q到直线AB的距离为，
所以，
又由，得，
令，则，
且，
因为在区间上单调递增，所以当时，t取得最小值4，
此时，所以面积的最小值为
 

【解析】由题意知，解得，即可求抛物线M的方程；
设直线AB的方程为，联立方程组求得，
求得切线QA、QB的方程，联立方程组，即可求点Q的坐标为，又点Q到直线AB的距离为，即可得，利用导数即可求解．
本题考查直线与抛物线的综合运用，具体涉及到抛物线的基本性质及应用，直线与抛物线的位置关系、圆的简单性质等基础知识，属于难题．
 

22.【答案】解：由题意可得，圆M的标准方程为，
故圆M的一个参数方程为为参数
由题意可知，斜率的斜率存在，设切线方程为，即，
圆心到直线l的距离为1，
，化简可得，，
又，，
，即，
由题意可知，，，
故，
联立方程组，解得或，
所以直线l的直角坐标方程为或，
所以直线l的极坐标方程为或
 

【解析】求出圆的标准方程，即可求得圆的参数方程．
先求出直线的直角坐标方程，利用公式，即可求出极坐标方程．
本题主要考查极坐标方程，考查计算能力，属于中档题．
 

23.【答案】解：当时，，
则，
故，即，
当时，得，解得，
当时，得，不成立，
当时，得，解得，
综上，原不等式的解集为
，
当x的值在与4之间包括两个端点时取等号，
若，则只需，
当时，，恒成立，
当时，等价于，或，解得，
综上，a的取值范围为
 

【解析】代入a的值，求出的分段函数的形式，解各个区间上的不等式的解集，取并集即可；
问题转化为解关于a的不等式，解出即可．
本题考查了解绝对值不等式问题，考查转化思想，是中档题．