2022年青海省西宁市大通县高考数学一模试卷（理科）

2022年青海省西宁市大通县高考数学一模试卷（理科）

1. 已知全集，集合，，则

A.  B.  C.  D.

2. 若，则

A. 1 B.  C. i D.

3. 已知，则的值为

A.  B.  C.  D.

4. 若的展开式中含x项的系数为，则实数a的值为

A.  B.  C.  D.

5. 已知，，，则

A.  B.  C.  D.

6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A.
B.
C.
D.
 

7. 在区间，内随机地各取一个数，则两数差的绝对值不小于1的概率为

A.  B.  C.  D.

8. 在三棱锥中，是等腰直角三角形，，，且平面ABC，则三棱锥的外接球的表面积为

A.  B.  C.  D.

9. 已知定义域为R的奇函数满足，且当时，，则

A. 1 B.  C.  D. 2

10. 已知椭圆C：的左焦点为F，过F作一条倾斜角为的直线与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB的中点，若为坐标原点，则椭圆C的离心率为

A.  B.  C.  D.

11. 如图所示的曲线为函数的部分图象，将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则
    
     

A. 函数在上单调递减
B. 点为图象的一个对称中心
C. 函数在上单调递增
D. 为图象的一条对称轴

12. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为

A.  B.  C.  D.

13. 已知平面向量，若与垂直，则实数______.
14. 已知x，y之间具有线性相关关系，若通过10组数据得到的回归方程为，且，则______.
15. 若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是______.
16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且的面积为，则角C的大小为______.
17. 已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列．
    求数列的通项公式；
    若，求数列的前n项和
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，在四棱锥中，，，，
    证明：；
    求直线PC与平面PAD所成角的正弦值．

19. 2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标年也是脱贫攻坚决战决胜之年总书记2020年新年贺词截至2019年底，中国农村贫困人口从2012年的9899万人减少至1109万人，贫困发生率由2012年的下降至2019年的，连续8年每年减贫规模都在500万人以上；确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤．某贫困地区截至2019年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2019年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图．
    求出频率分布直方图中的a的值，并求出这50户家庭人均年纯收入的平均数；同一组数据用该区间的中点值作代表
    现从这50户2019年的家庭人均年纯收入在之间的家庭中任抽取3户进行调查，进一步了解家庭生活情况，设抽取的家庭人均年纯收入在的户数为X，求X的分布列和数学期望．

20. 设抛物线C：的焦点为F，过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点，
    求l的方程；
    求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知
    讨论函数的单调性；
    当时，证明：函数有且仅有两个零点，，且
    
    
    
    
    
    
     
22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
    求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
    已知点，直线l与曲线C相交于点M，N，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知函数
    当，时，解不等式；
    若的最小值为6，求的最小值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：，，
，
故选：
可以求出集合A，然后进行补集和交集的运算即可．
本题考查了描述法的定义，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】B
 

【解析】解：由，
则，
则，
故选：
由复数的运算求解即可．
本题考查了复数的运算，属基础题．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：因为，
所以，可得，
两边平方，可得，
则
故选：
由已知利用两角差的正弦公式化简可得，两边平方，利用同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式即可求解．
本题考查了两角差的正弦公式，同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
 

4.【答案】A
 

【解析】解：二项式的展开式的通项公式为，
令，解得，令，解得，
所以展开式中含x的项为，
则，解得，
故选：
求出二项式的展开式的通项公式为，然后令x的指数分别为，1，求出r的值，进而可以求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

5.【答案】D
 

【解析】解：，，，
，
故选：
根据指数函数和对数函数的单调性，判断出x、y、z与0、的大小关系即可得到答案．
本题考查指数函数、对数函数的性质的应用：比较大小，一般与中间量：0、1进行比较，属于基础题．
 

6.【答案】B
 

【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体；
如图所示：
故
故选：
首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用勾股定理和三角形的面积公式求出几何体的表面积．
本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

7.【答案】A
 

【解析】解：根据题意，设，，其构成的平面区域为矩形ABCD，其面积，
若，即或，其构成的区域为和，
其中，，，
则有，故，
故两数差的绝对值不小于1的概率；
故选：
根据题意，设，，分析x、y构成的平面区域以及对应的区域，求出其面积，由几何概型公式计算可得答案．
本题考查几何概型的计算，注意几何概型的计算公式，属于基础题．
 

8.【答案】A
 

【解析】解：因为是等腰直角三角形，，
所以

因为平面ABC，平面ABC，所以，所以AP为球的直径，
且，
所以三棱锥的外接球的半径为2，
所以三棱锥的外接球的表面积为
故选：
先证明出，判断出AP为球的直径，求出AP，即可得到半径，求出表面积．
本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：由题意得，，
所以，即，
因为时，，
则
故选：
由已知进行转化可求函数的周期，然后结合周期，奇偶性及已知区间上函数解析式可求．
本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，属于基础题．
 

10.【答案】B
 

【解析】解：设，，，
由题意得，，两式相减，得，
因为M为线段AB的中点，且直线AB的倾斜角为，所以
设，则，过M作轴，垂足为，
则，，
由题易知M位于第二象限，所以，
M的坐标代入AB的方程可得：，得，所以，
所以
故选：
设，，，利用平方差法求解直线的斜率，推出设，过M作轴，垂足为，然后求解M的坐标，然后求解离心率即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 

11.【答案】C
 

【解析】解：函数的部分图象，可得，
左边最高点的横坐标为，最低点的横坐标为，
，
结合五点法作图，，，故
将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的，得到的图象；
再把所得曲线向右平移个单位长度，得到的图象，
在上，，函数没有单调性，故A错误；
令，求得，不是最值，故B错误；
在上，，函数单调递增，故C正确；
令，求得，不是最值，故为图象不关于直线，对称，故D错误，
故选：
由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再根据函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，还考查了函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
 

12.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查正方体的结构特征，直线与平面所成角，属于拔高题.
因为正方体的12条棱可分为3组，每组中的4条棱所在直线互相平行，所以要让每条棱所在的直线与平面所成的角都相等，只需找一个具有公共点的三条棱，使其所在的直线与平面所成的角都相等即可，画出截面，计算面积即可．

【解答】

解：因为正方体的12条棱可分为3组，每组中的4条棱所在直线互相平行，
所以要让每条棱所在的直线与平面所成的角都相等，
只需找一个具有公共点的三条棱，使其所在的直线与平面所成的角都相等即可．
不妨找以为公共点的三条棱，，，如图①，

在三棱锥中，底面为等边三角形，且，
所以三棱锥为正三棱锥，
故三条棱，与所在的直线与平面所成的角都相等．
当平面沿对角线平行移动时，只有当平面移动到平面分别为所在棱的中点时，面积最大，如图②所示．
又由题易知，六边形EFGHRS为正六边形，可求得，
则截此正方体所得截面面积的最大值为
故选

13.【答案】
 

【解析】解：平面向量，与垂直，
，
求得，
故答案为：
由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得实数
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
 

14.【答案】8
 

【解析】解：依题意知，，
因为回归方程为，
所以可以计算出，
所以，
故答案为：
依据回归方程过点，即可求得的值．
本题考查了线性回归方程的性质，属于基础题．
 

15.【答案】
 

【解析】解：因为函数，所以，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，取得最大值，
又，且在区间上有最大值，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是
故答案为：
对求导得，求得其最大值点，再根据在区间上有最大值，求出a的取值范围．
本题考查导数的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
 

16.【答案】
 

【解析】解：因为，
所以其中R为外接圆的半径，
所以
又，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，即，
所以，
又，
所以，
所以，
所以
故答案为：
由正弦定理可得，再结合余弦定理及面积公式可得，即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

17.【答案】解：设的公差为，
由题意得，，即，
解得或舍，
所以，即
由得，，
所以，
所以

 

【解析】根据等差数列的通项公式与前n项和公式，求得公差d和首项后，得解；
易知，再采用分组求和法，即可得解．
本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，分组求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】证明：因为，，所以，所以
取BD的中点E，连接AE，PE，所以，，
又，AE，平面PAE，所以平面
又平面PAE，所以

解：在中，根据余弦定理得，
所以
因为，所以，又，
所以，即
又因为，，AE，平面ABCD，
所以平面
如图，以E为原点，分别以ED，EA，EP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则，

设平面PAD的法向量为，
则，令，则，
所以
设直线PC与平面PAD所成角为，
所以直线PC与平面PAD所成角的正弦值为
 

【解析】取BD的中点E，连接AE，PE，证明，，推出平面即可证明
以E为原点，分别以ED，EA，EP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PAD的法向量，利用空间向量的数量积求解直线PC与平面PAD所成角的正弦值．
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
 

19.【答案】解：，，
平均数为，
有户，
有户，
共有户．
X的可能取值为0，1，2，3，
，
，
所以分布列为：

【解析】利用频率之和为1求得a，利用平均数的求法求得平均数．
根据超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望．
本题考查随机变量的分布列与期望，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：抛物线C：的焦点为，
由题意可知直线AB的方程为：，设，，
则，整理得：，
则，，
由，
得：，，
则，
直线l的方程；

由可得AB的中点坐标为，
则直线AB的垂直平分线方程为，即，
设所求圆的圆心坐标为，
则，
解得：或，
因此，所求圆的方程为或
 

【解析】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦公式，考查圆的标准方程，考查转换思想，属于中档题．
设直线AB的方程为，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得k的值，即可求得直线l的方程；
设圆心坐标为，结合题意构建方程，求得圆的方程．
 

21.【答案】解：的定义域为
当时，，在上单调递增；
当时，由，得，由，得，故在上单调递增，在上单调递减．
证明：当时，，由知，在单调递增，在单调递减，
所以，
所以在区间上存在零点，
因为在单调递增，故在区间上存在唯一的零点；
因为，所以在区间上存在零点，
因为在单调递减，所以在区间存在唯一的零点．
所以，函数有且仅有两个零点，
不妨设，
要证，只需证明，因为在单调递增且，，所以只需证明，，只需证明
设
，当时，，
所以，所以在上单调递增，
所以，
所以，
所以
 

【解析】求得，对a分与两类讨论，可得函数的单调性；
利用分析法，要证，只需证明，只需证明，而，将双变量化为单变量，只需证明，通过构造函数，求导分析，可证得结论成立．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查转化与化归思想及函数与不等式思想的综合运用，考查逻辑推理能力与运算能力，属于难题．
 

22.【答案】解：因为为参数，
所以，
则直线的普通方程为：，
由，
所以，
又因为，，
所以，
则曲线C的直角坐标方程为：
由可知：直线l的参数方程标准形式为为参数，
将该方程代人曲线C的直角坐标方程化简可得：，
，
设点M，N所对应的参数分别为，，
所以，，
则，，
所以
 

【解析】根据已知条件，结合加减消元法，以及极坐标公式，即可依次求解．
把直线l的普通方程化成标准参数方程，利用参数的几何意义，即可求解．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，以及参数方程的应用，属于中档题．
 

23.【答案】解：当，时，即为，得，
所以，或，或，
解得或或，
故解集为
因为，，
所以
若的最小值为6，则，所以
则，
当且仅当且，即，时等号成立，所以的最小值为
 

【解析】当，时，，化简不等式，通过去掉绝对值符号，求解不等式的解集即可．
求出的最小值的表达式．结合的最小值为6，得到利用基本不等式求解即可．
本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，绝对值的几何意义，考查转化思想以及计算能力，是中档题．