2022年新疆喀什地区岳普湖县高考数学一模试卷（理科）

2022年新疆喀什地区岳普湖县高考数学一模试卷（理科）

1. 设，则在复平面内，复数z对应的点位于

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 已知向量，，则向量与的夹角的余弦值为

A.  B.  C.  D.

3. 已知集合，，则

A.  B.
C.  D.

4. 下列四个等式：
   ①；②；③若，则；④若，则
   其中正确的是

A. ①③ B. ②④ C. ①② D. ③④

5. 已知等比数列满足，，则

A. 1 B.  C. 3 D.

6. 已知直线l：与圆C：交于A，B两点，若为坐标原点，则实数m的值为

A. 2 B.  C. 4 D.

7. 函数的定义域为R，若与都是奇函数，则

A. 是偶函数 B. 是奇函数
C.  D. 是奇函数

8. 已知函数，则

A. 的最大值是
B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上单调递增
D. 在区间内有4个极值点

9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个侧面中的面积最大值为

A.
B.
C. 4
D.
 

10. 从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为，，，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为

A.  B.  C.  D.

11. 对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，k是数列的“谷值点”．在数列中，若，则数列的“谷值点”为

A. 2 B. 7 C. 2，7 D. 2，3，7

12. 已知实数a，b，c满足，，则的最小值是

A.  B.  C.  D. 1

13. ，则______ .
14. 已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为______.
15. 已知角，的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若角的终边经过点，，且，则______.
16. 已知双曲线，，是双曲线的左、右两个焦点，P在双曲线上且在第一象限，圆M是的内切圆.则M的横坐标为______ ，若到圆M上点的最大距离为，则的面积为______ .
17. 如图，在中，，，点D在线段BC上．
    若，求AD的长；
    若，的面积为，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，在四棱锥中，平面平面BCDE，，，，
    证明：平面ACD；
    求二面角的正切值．
    
    
    
     

19. 为庆祝元旦，班委会决定组织游戏，主持人准备好甲、乙两个袋子．甲袋中有3个白球，2个黑球；乙袋中有4个白球，4个黑球．参加游戏的同学每抽出1个白球须做3个俯卧撑，每抽出1个黑球，须做6个俯卧撑．
    方案①：参加游戏的同学从甲、乙两个袋子中各随机抽出1个球；
    方案②：主持人随机将甲袋中的2个球放入乙袋，然后参加游戏的同学从乙袋中随机抽出1个球；
    方案③：主持人随机将乙袋中的2个球放入甲袋，然后参加游戏的同学从甲袋中随机抽出1个球．
    若同学小北选择方案①，求小北做6个俯卧撑的概率；
    若同学小北选择方案，设小北做俯卧撑的个数为X，求X的分布列；
    如果你可以选择按方案②或方案③参加游戏，且希望少做俯卧撑，那么你应该选择方案②还是方案③，还是两个方案都一样？直接写出结论
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知函数，其中e为自然对数的底数，a为常数．
    若对函数存在极小值，且极小值为0，求a的值；
    若对任意，不等式恒成立，求a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
21. 设抛物线C：的焦点为F，点M在抛物线C上，O为坐标原点，已知，
    求抛物线C的方程；
    过焦点F作直线l交C于A，B两点，P为C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别与C的准线相交于D，E两点，证明：以线段DE为直径的圆经过x轴上的两个定点．
    
    
    
    
    
    
     
22. 平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
    若，求曲线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；
    若曲线与交于不同的四点A，B，C，D，且四边形ABCD的面积为，求
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知函数
    当时，求不等式的解集；
    若，求a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：，
，
，
复数z在复平面内对应的点为，位于第二象限，
故选：
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 

2.【答案】D
 

【解析】解：，

故选：
可求出向量和的坐标，进而可求出，和的值，然后即可根据向量夹角的余弦公式求出与的夹角的余弦值．
本题考查了向量坐标的加法、减法、数乘和数量积的运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：集合，
，

故选：
求出集合A，由，能求出
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：因为，所以，故正确；
，故正确；
由可得，故错误；
由可得，故错误；
故选：
结合指数与对数的相互转化及对数的运算性质即可判断．
本题主要考查了对数的运算性质及指数与对数的相互转化，属于基础试题．
 

5.【答案】A
 

【解析】解：设，
，，
，解得，

故选：
设，根据已知条件，列出方程组，即可求解．
本题主要考查等比数列通项公式的应用，属于基础题．
 

6.【答案】A
 

【解析】解：由条件知圆心，因为，所以坐标原点O在线段AB的垂直平分线上，
又圆心C也在线段AB的垂直平分线上，所以OC垂直平分线段AB，
所以直线OC的斜率与直线l的斜率互为负倒数，即，解得，
故选：
因为，可知直线OC的斜率与直线l的斜率互为负倒数，即中求得实数m的值．
本题考查直线与圆的位置关系，属基础题．
 

7.【答案】D
 

【解析】解：与都是奇函数，
，，
函数关于点及点对称，
，，
故有，函数是周期的周期函数，
，
，即，
是奇函数．
故选：
首先由奇函数性质求的周期以及对称中心，然后利用所求结论来分别判断四个选项即可
本题主要考查抽象函数中一些主条件的变形，来考查函数有关性质，方法往往是紧扣性质的定义．
 

8.【答案】D
 

【解析】解：，
其最大值为，故A错误；
又，不是最大值，也不是最小值，故的图象不关于直线对称，故B错误；
由，
在区间上单调递减，故C错误；
的周期，
当时，
当，，，时即，，，时，取得极值，故D正确；
故选：
利用三角恒等变换，化简，利用正弦函数的对称性、单调性及最值等性质对ABCD四个选项逐一分析即可得到答案．
本题考查三角函数的恒等变换，考查正弦函数的单调性、对称性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：根据三视图转换为直观图为：满足三视图的几何体为四棱锥，
如图所示：
其中，，
则：，，，，，
所以该几何体的表面中的面积最大值为
故选：
首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积．
本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
 

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式，属于中档题.
解题时要认真审题，记下的颜色中有红有白但没有黄的情况有两种：2红1白，1红2白，由此能求出所求概率．

【解答】

解：记下的颜色中有红有白但没有黄的情况有两种：2红1白，1红2白，
则所求概率：

故选：

11.【答案】C
 

【解析】解：，
可得，，，，，，，，当时，，
，，此时数列单调递增，
因为，，
所以数列的“谷值点”为2，
故选：
利用数列的通项公式求出，数列的前八项，按照新定义，求解即可．
本题考查数列的应用，数列的项的求法，考查发现问题解决问题的能力，是基本知识的考查．
 

12.【答案】B
 

【解析】解：，，
，，，
，
又，，解得，
令，
则，
则当时，，当时，，
则在、上单调递增，在上单调递减，
且，，
故的最小值是，
故选：
由己知条件可得；，由可得，所求式子可以用c表示，由可以求出c的范用．再利用导数求关于c的函数的单调性可求最值．
本题考查了不等式的性质及重要不等式的应用，同时考查了函数的性质及导数的综合应用，属于难题．
 

13.【答案】729
 

【解析】解：由题意，，
故

故答案为：
先利用定积分求出数列的通项公式，然后代入所要求解的式子，由二项式定理进行分析求解即可．
本题考查了定积分的运用，数列通项公式的运用，二项式定理的运用，解题的关键是利用定积分求出通项公式，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
 

14.【答案】
 

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

的几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率，
联立方程组求得，
故答案为：
由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点连线的斜率求解．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
 

15.【答案】
 

【解析】解：角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，
，，可得
，，
由，可得，
则
故答案为：
由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的正弦、余弦值，再利用同角三角函数的基本关系式、求得，根据两角差正弦公式求得的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系式、两角和差的三角公式的应用，属于中档题．
 

16.【答案】
 

【解析】解：记的边、、上的切点
分别为K、N、D，
易见M、D横坐标相等，
，，，
由，
即：，
得即，
记M的横坐标为，则，
于是：，得，
双曲线的，，，
所以M的横坐标为1；
设，而，
由题意可得，
即有，解得，
则，可得，
即有，
，解得，
所以的面积为
故答案为：1，
充分利用平面几何图形的性质解题．因从同一点出发的切线长相等，记的边、、上的切点分别为K、N、D，得，，，再结合双曲线的定义得，从而即可求得的内心的横坐标，即有M的横坐标；设，由题意可得，运用两点的距离公式，可得r，求得，，由余弦定理可得，再由三角形的面积公式可得所求值．
本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用切线的性质判断圆心的横坐标是解题的关键，属于中档题．
 

17.【答案】本小题满分12分
解：，
，，
，
，
，
，…分
，
…分
，
，
在中，由正弦定理得，，
，…分
设，则，
，的面积为，
，
，
…分
，由正弦定理可得，
，
，
，
…分
 

【解析】由三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得，结合，可求，利用同角三角函数基本关系式可求，进而可求，由正弦定理即可求得AD的值．
设，则，利用已知及三角形面积公式可求a，利用余弦定理可求AC，由正弦定理可得，结合，即可求值得解．
本题主要考查了三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，熟练掌握相关公式定理的应用是解题的关键，属于中档题．
 

18.【答案】证明：在直角梯形BCDE中，由，，得，
由，得，即，
又平面平面BCDE，从而平面BCDE，
所以，又，从而平面ACD；
解：作，与AD交于点F，，与CD交于点O，连接OF，
由知，所以就是二面角的平面角，
在直角梯形BCDE中，由，得，
又平面平面BCDE，得平面ABC，从而，
由于平面BCDE，得
在中，由，，得；
在中，由，，得，
，
，
所以二面角的正切值为
 

【解析】依题意，易证平面BCDE，于是可得，又，从而平面ACD；
作，与AD交于点F，，与CD交于点O，连接OF，由知，所以就是二面角的平面角，即可求出二面角的正切值．
本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．
 

19.【答案】解：换方案①，小北做6个俯卧撑的事件从甲，乙两袋中各抽取1个白球的事件，
而每个袋中抽球是相互独立的，
故小北做6个俯卧撑的概率
从甲袋中任取2个球有三种情况，当选的2个球为白球时的概率为：，
当选的2个球为1白1黑的两球时的概率为：，当选的2个球为黑球时的概率为：，
故X的可能取值为3，6，
，，
故X的分布列为：

从乙袋中任取2个球有三种情况，当选的2个球为白球时的概率为：，
当选的2个球为1白1黑的两球时的概率为：，当选的2个球为黑球时的概率为：，
小北抽出白球的概率为：，显然
故应该选择方案③．
 

【解析】根据已知条件，结合相互独立事件的概率公式，即可求解．
从甲袋中任取2个球有三种情况，当选的2个球为白球时的概率为：，当选的2个球为1白1黑的两球时的概率为：，当选的2个球为黑球时的概率为：，故X的可能取值为3，6，即可求解分布列．
同的方法，求出做3个俯卧撑的概率，再比对，即可求解．
本题考查离散型随机变量分布列，以及期望的求法，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．
 

20.【答案】解：，，
当时，，函数在R上是增函数，从而函数不存在极值，不合题意；
当时，由，可得，由，可得，为函数的极小值点，
由已知，，即，；
不等式，即，
设，则，
，
时，，则在时为增函数，

①，即时，，在时为增函数，
，此时恒成立；
②，即时，存在，使得，
从而时，，在上是减函数，
时，，不符合题意．
综上，a的取值范围是
 

【解析】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
求导函数，对a讨论，确定函数的单调性，利用函数存在极小值，且极小值为0，可求a的值；
对任意，不等式恒成立，等价于对任意，不等式恒成立，构造新函数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求a的取值范围．
 

21.【答案】解：设点，因为点M在抛物线C上，，则
，即，即
因为，则
因为，则，即，
所以，化简得，解得，
所以抛物线C的方程是
设直线l的方程为，代入，得
设点，，则，
设点，则
，
直线PA的方程为，
令，得，
所以点
同理，点
设以线段DE为直径的圆与x轴的交点为，
则，
因为，则，
即，
则，
解得或
故以线段DE为直径的圆经过x轴上的两个定点和
 

【解析】设点，根据已知条件建立关于，，p的方程组，再解方程组求p的值即得抛物线方程；
设直线l的方程，联立抛物线的准线方程求出D，E两点的坐标，再设定点，由于线段DE为圆的直径，则，由此求出a的值．
也可以由D，E两点的坐标求出以线段DE为直径的圆方程，再证明该圆与x轴的交点为定点．
本题考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系，考查学生的逻辑思维能力与计算能力，属中档题．
 

22.【答案】解：当时，曲线的参数方程为为参数，，转化为直角坐标方程为
根据，得到曲线的极坐标方程为；
曲线的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为：
设满足，，由曲线的对称性可知矩形ABCD的面积，
，将，代入得：，解得，
所以，
解得
 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

23.【答案】解：当时，
，
当时，，即，，
当时，恒成立，，
当时，，即，，
综上，不等式的解集为；
，又，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上，a的取值范围为
 

【解析】当时，根据绝对值不等式得出，再根据分段函数能求出不等式的解集；
推导出，再由，分类讨论解含绝对值不等式，能求出a的取值范围．
本题考查含绝对值不等式的解法，考查绝值的性质、分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．