2022年贵州省黔东南州高考数学一模试卷（理科）

2022年贵州省黔东南州高考数学一模试卷（理科）

1. 若，则

A.  B.  C.  D.

2. 下列四组集合中，满足的是

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

3. 设P为椭圆上一点，，分别是C的左、右焦点．若，则

A.  B.  C.  D.

4. 3月12日是植树节，某地区有375人参与植树，植树的树种及数量的折线图如图所示．植树后，该地区农业局根据树种用分层抽样的方法抽取75棵树，请专业人士查看植树的情况，则被抽取的柳树的棵数为

A. 20 B. 25 C. 40 D. 50

5. 已知几何体是正方体，则

A. 平面
B. 在直线上存在一点E，使得
C. 平面
D. 在直线上存在一点E，使得平面

6. 设a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知，，则

A.  B.  C.  D.

7. 一个质点作直线运动，其位移单位：米与时间单位：秒满足关系式，则当时，该质点的瞬时速度为

A. 5米/秒 B. 8米/秒 C. 14米/秒 D. 16米/秒

8. 若函数在区间内存在唯一的，使得，则的值不可能是

A.  B.  C.  D.

9. 若定义在R上的奇函数满足，则

A.  B. 6 C.  D. 12

10. 东方明珠广播电视塔是上海的标志性文化景观之一，塔高约468米，上球体的直径为45米，且上球体的球心O到地平面的距离与塔高的比值为黄金分割比约为若P为上球体球面上一点，且PO与地平面塔顶与O的连线垂直地平面所成的角为，P在上球体的上半部分，则P到地平面的距离约为
     

A. 297米 B. 300米 C. 303米 D. 306米

11. 设，，，若这三个数中b既不是最小的也不是最大的，则x的取值范围是

A.  B.  C.  D.

12. 已知双曲线，直线与C交于A，B两点在B的上方，，点E在y轴上，且轴．若的内心到y轴的距离为，则C的离心率为

A.  B.  C.  D.

13. 展开式的中间项为______.
14. 已知是互相垂直的单位向量，设向量，且，则______.
15. 如图所示的平面区域阴影部分由一个半圆和两个全等的直角三角形组成含边界，若点是该区域内任意一点，，则z的最小值为______；z的最大值为______.
    
     

16. 已知函数若，则______；若的定义域为，则零点的个数为______.
17. 已知数列的前n项和为
    求数列的通项公式；
    求数列的前n项和
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，平面ADE，平面ABE，，，且E，F均在平面ABCD的同侧．
    证明：平面平面ABCD；
    若四边形ABCD为梯形，，，，且异面直线BE与DF所成角的余弦值为，求四棱锥的体积．
    
    
    
    
    
    
     
19. 某夜市街上有“十元套圈”小游戏，游戏规则为每个顾客支付十元便可获得3个套圈，顾客使用套圈所套得的奖品，即归顾客所有．奖品分别摆放在1，2，3三个相互间隔的区域中，且1，2，3三个区域的奖品价值分别为5元，15元，20元，每个套圈只能使用一次，每次至多能套中一个．小张付十元参与这个游戏，假设他每次在1，2，3三个区域套中奖品的概率分别为，，，且每次的结果互不影响．
    求小张分别在1，2，3三个区域各套一次后，所获奖品不超过1件的概率；
    若分别在1，2，3三个区域各套一次为方案甲，所获奖品的总价值为X元；在2区域连套三次为方案乙，所获奖品的总价值为Y元．以三次所套奖品总价值的数学期望为依据，小张应该选择方案甲还是方案乙？
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知直线与曲线C：的两个公共点之间的距离为
    求C的方程．
    设P为C的准线上一点，过P作C的两条切线，切点为A，B，直线PA，PB的斜率分别为，，且直线PA，PB与y轴分别交于M，N两点，直线AB的斜率为证明：为定值，且，，成等差数列．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知函数
    讨论的单调性；
    当时，恒成立，求a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数且，C与x轴、y轴分别交于A，B两点．
    求；
    以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求以线段OB为直径的圆的极坐标方程．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知函数
    求不等式的解集；
    若，证明：
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】解：，则，
故选：
利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出结论．
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】C
 

【解析】解：对于A，，，，不合题意，
对于B，，，，不合题意，
对于C，，，，成立，
对于D，，，或，不合题意，
故选：
由已知条件，利用并集定义直接求解．
本题考查并集的求法，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用，是基础题．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：P为椭圆上一点，，分别是C的左、右焦点．
，
，
，则
故选：
利用椭圆的定义，结合已知条件求解即可．
本题考查椭圆的简单性质，椭圆的定义的应用，是基础题．
 

4.【答案】B
 

【解析】解：由题意利用分导抽样得被抽取的柳树的棵数为：

故选：
利用分层抽样能求出被抽取的柳树的棵数．
本题考查被抽取的柳树的棵数的求法，考查分层抽样、折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

5.【答案】D
 

【解析】解：对于A，在正方体中，
因为，BC与平面相交，
所以AD与平面相交，故A错误；
对于B，因为，而在直线上不存在一点E，使得，
所以在直线上不存在一点E，使得，故B错误；
对于C，因为且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又，故AC与不垂直，所以与不垂直，
故与平面不垂直，故C错误；
对D，因为且，
所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面，
故当E与重合时，平面，故D正确．
故选：
根据，可得AD与平面相交，即可判断A；
根据，可得在直线上不存在一点E，使得，即可判断B；
根据，说明与不垂直，即可判断C；
根据平面，则当E与重合时，平面，即可判断
本题考查了空间中平行关系与垂直关系的判定，属于中档题．
 

6.【答案】C
 

【解析】解：因为，
所以由正弦定理可得，
又，可得，可得，可得，又，，可得，
所以，可得B为锐角，
所以
故选：
由已知利用正弦定理可求的值，由题意可确定B为锐角，利用同角三角函数基本关系式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

7.【答案】C
 

【解析】解：，
，
当时，，
该质点的瞬时速度为14米/秒，
故选：
利用瞬时速度与导数的关系求解即可．
本题主要考查了瞬时速度与导数的关系，属于基础题．
 

8.【答案】A
 

【解析】解：函数在区间内存在唯一的，使得，
且，
解得，
故选：
结合三角函数的性质知且，从而判断．
本题考查了三角函数性质的应用，属于基础题．
 

9.【答案】D
 

【解析】解：因为定义在R上的奇函数满足，
故，
令，则，
所以，
所以，
因为，
则
故选：
由已知结合奇函数的性质先求出，然后结合已知函数关系进行赋值可求．
本题主要考查了利用函数的奇偶性及对称性求解函数值，解题的关键是合理的进行赋值．
 

10.【答案】B
 

【解析】解：上球体的球心到塔底的距离米，
到地平面的距离约为：
米

故选：
求出球心O到底面距离，加上P到球心竖直距离，即为P到地面距离．
本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

11.【答案】A
 

【解析】解：，
，
即，
，
，解得，
即x的取值范围是，
故选：
利用对数函数的性质求解．
本题主要考查了对数函数的性质，属于基础题．
 

12.【答案】B
 

【解析】解：因为A在B的上方，且这两点都在C上，所以，，

则，因为，所以A是线段BD的中点，又轴．
所以，，
所以的内心在线段EA上，因为G到y轴的距离为，
所以，所以，因此，
解得，故
故选：
根据题意画出图形，利用三角形的内心性质，以及角平分线定理，得到a，b的关系后即可求出离心率．
本题考查双曲线的离心率的求法，考查抽象思维能力，属中档题．
 

13.【答案】
 

【解析】解：因为，所以展开式共有7项，所以中间项为第4项，
则展开式的中间项为，
故答案为：
因为，所以展开式共有7项，所以中间项为第4项，然后根据二项式定理求出第4项即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

14.【答案】
 

【解析】解：是互相垂直的单位向量，向量，且，
，
则，
故答案为：
由题意，利用两个向量垂直的性质，求得m的值．
本题主要考查两个向量垂直的性质，属于基础题．
 

15.【答案】
 

【解析】解：由，知，原问题转化为直线在y轴上的截距的最大值和最小值，
当直线经过点时，直线在y轴上的截距取得最大值，
此时，即，
所以z的最小值为；
当直线与圆在第四象限相切时，直线在y轴上的截距取得最小值，
此时有，且，所以舍负，
所以z的最大值为
故答案为：；
由，知，原问题转化为直线在y轴上的截距的最大值和最小值，再分别由直线经过点和直线与圆在第四象限相切，即可得解．
本题考查线性规划，理解目标函数的几何意义，直线与圆相切是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

16.【答案】  1
 

【解析】解：因为函数，
若，则；
令，得，整理得，
设，若，则，
设，，
则，
当时，，在区间上单调递增，
且，，，
所以在区间上存在唯一零点，
又因为在区间上单调递增，
所以函数在区间上零点的个数为
故答案为：；
利用二倍角公式即可计算的值，由求得，设，，构造函数，，判断零点的个数，即可得出函数零点的个数．
本题考查了二倍角的正切公式应用问题，也考查了函数零点的判断问题，第一空是基础题，第二空是难题．
 

17.【答案】解：因为数列的前n项和为，
又数列的前n项和为，
所以数列的前n项和
当时，
又，也满足，故
由知，，
两式相减，得，
所以
 

【解析】由题意可得数列是以2为公差的等差数列，再由可求出，从而可求出通项公式，
由可得，然后利用分组求和可求出
本题考查数列求和，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】证明：因为平面ADE，平面ADE，所以
因为平面ABE，平面ABE，所以
因为，所以平面ABCD，
因为，所以平面
又平面CDF，所以平面平面
解：因为平面ADE，所以，
以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，

设，则，，
设异面直线BE与DF所成的角为，
则，
整理得，
解得或
又，所以，故
 

【解析】证明推出平面ABCD，得到平面即可证明平面平面
以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出，利用空间向量的数量积求解异面直线BE与DF所成的角推出t，然后求解几何体的体积．
本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，异面直线所成角的求法，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力．
 

19.【答案】解：记小张分别在1，2，3三个区域套一次便能套中奖品为事件A，B，C，
则，，，
每次结果互不影响，小张分别在1，2，3三个区域各套一次后，所获奖品不超过1件的概率为：



选择方案甲：X可能的取值为0，5，15，20，25，35，40，
，
，
，
，
，
，
，

选择方案乙，设小张所获奖品的总件数为Z，则，
，，，
，小张应该选择方案乙．
 

【解析】利用独立事件的乘法公式能求出所获奖品不超过1件的概率．
列出随机变量的分布列，计算方案甲的期望，由二项分布期望公式求出方案乙的期望，再比较大小能求出结果．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】解：将代入，得
当时，不合题意；
当时，，则，解得，
所以C的方程为
证明：由可知 C的准线方程为，
设，，，设过点P且与C相切的线 l的斜率为 k，
则l：，且，
联立直线和抛物线方程得，，
则，即，
由题意知，直线PA，PB的斜率，为方程的两根，
所以，，故为定值．
又因为，所以，
同理，
所以，
所以，故，，成等差数列．
 

【解析】求出交点的横坐标，解方程即可得出所求的曲线C的方程；
设，，，设过点P且与C相切的线 l的斜率为 k，则l：，且，联立直线和抛物线方程得到韦达定理，得到，即得为定值．再求出，故，，成等差数列．
本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
 

21.【答案】解：的定义域为，
当时，恒成立，则在上单调递增．
当时，令，得，则在上单调递减；
令，得，则在上单调递增．
当时，恒成立等价于当时，恒成立．
当时，在上单调递增，则
当时，，则在上单调递增，则
当时，，则在上单调递减，在上单调递增，
所以，
这与恒成立矛盾，所以不合题意．
综上，a的取值范围为
 

【解析】求出导函数，结合函数的定义域，通过当时，当时，判断导函数的符号，推出函数的单调区间．
当时，恒成立等价于当时，恒成立．通过当时，当时，当时，结合函数的单调性函数的最值推出结果．
本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想的应用，是难题．
 

22.【答案】解：曲线C的参数方程为为参数且，C与x轴、y轴分别交于A，B两点．
由及，得，
此时，则B的坐标为；
由及，得，
此时，则A的坐标为
故
由知，线段OB的中点D的坐标为，
则，所以以线段OB为直径的圆的圆心为，半径为3，
所以该圆的直角坐标方程为，
即，则该圆的极坐标方程为，即
 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用圆的方程的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，两点间的距离公式的应用，圆的方程的确定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

23.【答案】解：当时，，解得；
当时，显然成立；
当时，，解得
故不等式的解集为
证明：

，
当且仅当且时，等号成立，
故
 

【解析】根据条件，利用零点分段法解不等式即可；
根据，利用绝对值三角不等式即可证明
本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和不等式的证明，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．