专题07 一元一次方程及其解法（专题强化-提高）-2021-2022学年七年级数学上册期末考点大串讲（沪科版）

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专题07  一元一次方程及其解法（专题强化-提高）  一、单选题（每题4分，共40分）1．（2021·江西南昌·初一期末）对于等式：，下列说法正确的是（   ）A．不是方程 B．是方程，其解只有2C．是方程，其解只有0 D．是方程，其解有0和2【答案】D【解析】根据方程的定义及方程解的定义可判断选项的正确性．方程就是含有未知数的等式，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．【详解】解：|x-1|+2=3符合方程的定义，是方程，
（1）当x≥1时，x-1+2=3，解得x=2；
（2）当x＜1时，1-x+2=3，解得x=0．故选：D．【点睛】本题主要考查了方程的定义及方程解的定义，关键在于讨论x的取值情况，从而通过解方程确定方程的解．2．使得是完全平方数的整数的个数为（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】由是完全平方数，可设5×2m+1=n2 （其中n为正整数），可得5×2m=n2-1，可得n为奇数，然后设n=2k-1（其中k是正整数），即可得方程组，解方程组即可求得答案．【详解】设5×2m+1=n2（其中n为正整数），则5×2m=n2−1=(n+1)(n−1)，∵5×2m是偶数，∴n为奇数，设n=2k−1（其中k是正整数），则5×2m=4k(k−1)，即：5×2m−2=k(k−1)，∵k>1，k和k−1互质，∴ 或 或，解得：k=5，m=4，∴满足要求的整数m只有1个．故选A．【点睛】本题主要考查完全平方数的概念，掌握数量关系，列出方程组，是解题的关键．3．（2021·江苏南通·初三月考）已知关于x的方程mx+3=4的解为x=1，则直线y=（m﹣2）x﹣3一定不经过的象限是（     ）A．第一象限                           B．第二象限                           C．第三象限                           D．第四象限【答案】A【解析】试题分析：∵关于x的方程mx＋3＝4的解为x＝1，∴m＋3＝4，∴m＝1，∴直线y＝(m－2)x－3为直线y＝－x－3，∴直线y＝(m－2)x－3一定不经过第一象限，故选A．点睛：本题考查了方程解的概念、一次函数图象与系数的关系，求得m的值是解题的关键．4．（2021·重庆合川·初一期末）当使得关于的方程是一元一次方程时，代数式的值为9，则代数式的值为（  ）A． B．-2 C． D．2【答案】B【解析】根据一元一次方程的定义知m2−1＝0，且m−1≠0，据此可以求得m的值，进而得到，再求出值即可．【详解】∵方程是关于x的一元一次方程，∴m2−1＝0，且m−1≠0，解得，m＝-1，∴=，∴，∴，∴=．故选：B．【点睛】本题考查了一元一次方程的概念和代数式求值．掌握一元一次方程的未知数的指数为1是解答此题的关键．5．（2021·四川省遂宁市第二中学校初一期中）下列各式变形正确的是（   ）A．由得 B．由得 C．由得 D．由得【答案】B【解析】A同时乘3，再移项即可，B移项化简即可，C移项化简即可，D移项即可.【详解】A、得x=-2y，错误；B、正确；C、x=-3，错误；D、3x=7+5，错误，所以答案选择B项.【点睛】本题考察了等式的移项和化简，熟练掌握是解决本题的关键.6．（2021·河南偃师·初一期中）下列运用等式的性质，变形正确的是（    ）A．若x=y，则x-5=y+5 B．若a=b，则ac=bcC．若，则2a=3b D．若x=y，则【答案】B【解析】根据等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．【详解】A、不符合等式的基本性质，故本选项错误；
B、不论c为何值，等式成立，故本选项正确；
C、∵ ，∴ •6c，即3a=2b，故本选项错误；
D、当a≠b时，等式不成立，故本选项错误．
故选：B．【点睛】此题考查等式的性质，熟知等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键．7．（2021·全国初一课时练习）与的度数分别是和，且与都是的补角，那么与的关系是(    )．A．不互余且不相等 B．不互余但相等C．互为余角但不相等 D．互为余角且相等【答案】D【解析】由与都是的补角可得，进而可得关于m的方程，解方程即可求出m，进一步即可进行判断．【详解】解：由与都是的补角，得，即，解得：，所以．所以与互为余角且相等．故选：D．【点睛】本题考查了余角和补角以及简单的一元一次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握上述基础知识是解题的关键．8．（2021·山东宁津·初一期末）下列变形中：①由方程=2去分母，得x﹣12=10；②由方程x=两边同除以，得x=1；③由方程6x﹣4=x+4移项，得7x=0；④由方程2﹣两边同乘以6，得12﹣x﹣5=3（x+3）．错误变形的个数是（　　）个．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】根据方程的不同特点，从计算过程是否正确、方法应用是否得当等方面加以分析．【详解】①方程=2去分母，两边同时乘以5，得x﹣12=10，故①正确．②方程x=，两边同除以，得x=；要注意除以一个数等于乘以这个数的倒数，故②错误．③方程6x﹣4=x+4移项，得5x=8；要注意移项要变号，故③错误．④方程2﹣两边同乘以6，得12﹣（x﹣5）=3（x+3）；要注意去分母后，要把是多项式的分子作为一个整体加上括号，故④错误．故②③④变形错误．故选B．【点睛】在解方程时，要注意以下问题：（1）去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号；（2）移项时要变号．9．（2021·黑龙江铁力·初一期末）在解方程-=1时，去分母正确的是（          ）A．3(2x+1)-2(x-3)=1 B．2(2x+1)-3(x-3)=1C．2(2x+1)-3(x-3)=6 D．3(2x+1)-2(x-3)=6【答案】D【解析】去分母的方法是方程两边同时乘以各分母的最小公倍数6，在去分母的过程中注意去分母时不能漏乘没有分母的项．【详解】解：，方程两边同时乘以6得：，故选：D．【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握运算法则，在去分母的过程中注意分数线起到括号的作用，并注意不能漏乘没有分母的项．10．（2021·偃师市大口乡中学初一月考）关于x的方程有负整数解，则所有符合条件的整数m的和为（   ）A．5 B．4 C．1 D．－1【答案】D【解析】先解方程，再利用关于x的方程有负整数解，求整数m即可．【详解】解方程去括号得，移项得，，合并同类项得，系数化为1，，∵关于x的方程有负整数解，∴整数m为0，-1．∴它们的和为：0+（-1）=-1.故选：D．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解题的关键是用m表示出x的值．  二、填空题（每题5分，共20分）11．（2021·四川省成都市七中育才学校初二月考）对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为________．【答案】【解析】由已知可得或，解方程可得．【详解】由已知可得（无解）或，解得：x= 故答案为：【点睛】考核知识点：一元一次方程．理解新定义运算规则是关键．12．（2021·全国初一课时练习）下面的框图表示小明解方程3(x-2)=1+x的流程，其中步骤“④”所用依据是_________.【答案】等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个非0数），等式仍然成立【解析】根据等式的基本性质进行解答即可.【详解】观察可知步骤④为系数化为1，依据的是等式的基本性质2，等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个非0数），等式仍然成立，故答案为等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个非0数），等式仍然成立.【点睛】本题考查了解一元一次方程的步骤，熟练掌握解一元一次方程每一步的依据以及注意事项是解题的关键.13．（2021·四川利州·初一期末）若代数式4x﹣5与的值相等，则x的值是__________【答案】【解析】根据题意得：4x−5=，去分母得：8x−10=2x−1，解得：x=，故答案为.14．（2021·全国初一课时练习）一般情况下不成立，但也有数可以使得它成立，例如：m＝n＝0．使得成立的一对数m、n我们称为“相伴数对”，记为（m，n）．若（x，1）是“相伴数对”，则x的值为_____．【答案】﹣．【解析】利用新定义“相伴数对”列出方程，解方程即可求出x的值．【详解】解：根据题意得： ，去分母得：15x+10＝6x+6，移项合并得：9x＝﹣4，解得：x＝﹣．故答案为：﹣．【点睛】本题考查解一元一次方程，正确理解“相伴数对”的定义是解本题的关键． 三、解答题（共90分）15．（8分）（2021·山西翼城·初一期末）解方程或方程组： （1）解方程：．（2）解方程组：．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可得；（2）直接利用加减消元法解二元一次方程组即可得．【详解】（1），去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得；（2），②①得，解得，把代入①得，解得，故原方程组的解为．【点睛】本题考查了解一元一次方程、利用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握方程和方程组的解法是解题关键．16．（8分）（2021·宿迁市钟吾初级中学初一期末）a※b是新规定的这样一种运算法则：a※b=a2+2ab，例如3※(−2)=32+2×3×(−2)=−3．（1）试求(−2)※3的值； （2）若(-3)※x=6-x，求x的值．【答案】（1）-8；（2）【解析】（1）利用题中新定义计算即可得到结果；
（2）已知等式利用新定义化简，求出方程的解即可．【详解】解：（1）根据题中新定义得：（-2）※3=（-2）2+2×（-2）×3=4+（-12）=-8；
（2）根据题意：（-3）2+2×（-3）×x=6-x，
整理得：9-6x=6-x，
解得：x=．【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．17．（8分）（2021·全国初一课时练习）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：（1）小明总共剪开了______条棱．（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．（3）小明说：他所剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．现在已知这个长方体纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．【答案】（1）8；（2）答案见解析：（3）200000立方厘米【解析】（1）根据平面图形得出剪开棱的条数，
（2）根据长方体的展开图的情况可知有四种情况，
（3）设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，根据棱长的和是880cm，列出方程可求出长宽高，即可求出长方体纸盒的体积．解：（1）小明共剪了8条棱，故答案为8．（2）如图，四种情况． （3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，∴设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm，∴4（a+5a+5a）=880，解得a=20cm，∴这个长方体纸盒的体积为：20×100×100=200000cm3．“点睛”本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．18．（8分）（2021·全国初一课时练习）小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的没有乘以，由此得到方程的解为，试求的值，并正确地求出原方程的解．【答案】，【解析】先根据错误的做法：“方程左边的1没有乘以10”而得到，代入错误方程，求出a的值，再把a的值代入原方程，求出正确的解．【详解】解：∵为的解∴∴；∴原方程为：去分母得：∴∴∴.【点睛】本题考查了解一元一次方程，本题易在去分母、去括号和移项中出现错误．由于看到小数、分数比较多，学生往往不知如何寻找公分母，怎样合并同类项，怎样化简，所以我们要教会学生分开进行，从而达到分解难点的效果．19．（10分）（2021·全国课时练习）已知，，若，求：（1）x的值；（2）的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由得一元一次方程，求解该方程即可得到答案；（2）将（1）的结论代入到，通过计算可得到答案．【详解】（1）∵由题意得：∴ ∴； （2）∵∴将代入等式得：∴．【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解．20．（10分）（2021·全国初一课时练习）已知关于x 的方程 的解比 的解小 ，求a 的值.【答案】a=1【解析】分别求出两个方程的解，然后根据关系列出等式，求出a的值即可.【详解】解：∵，解得：；∵，解得：，∴，解得：；∴的值为1.【点睛】本题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的解，解题的关键是正确求出一元一次方程的解，从而列出等式求出a的值.21．（12分）（2021·湖南长沙·初一期末）定义：对于一个有理数x，我们把[x]称作x的对称数.若，则[x]=x-2:若x<0，则[x]=x+2.例：[1]=1-2=-1，[-2]=-2+2=0（1）求[][-1]的值；（2）已知有理数a>0.b<0，且满足[a]=[b]，试求代数式的值：（3）解方程：[2x]+[x+1]=1【答案】（1）；（2）；（3）或.【解析】（1）利用题中新定义计算即可得到结果（2）根据已知条件及新定义计算得到，对原式化简整理再整体代入计算即可；（3）分三种情况讨论：；；【详解】（1）[][-1]；（2）∵a>0.b<0，且满足[a]=[b]，∴，即：∴；（3）当时：∴，符合题意，∴当时：∴，不在之中，不符合题意，舍去；当时：∴，符合题意，∴综上方程的解是：或.【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、整式的加减及有理数的混合运算，第(3)小题解题的关键是掌握分类讨论的方法.22．（12分）（2021·浙江宁波·初二期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为ts，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？【答案】当运动时间为0秒或4秒或秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形【解析】由四边形ABCD为平行四边形可得出PD∥BQ，结合平行四边形的判定定理可得出当PD=BQ时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，分四种情况考虑，在每种情况中由PD=BQ即可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴PD∥BQ．若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．设运动时间为t．当0≤t≤时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝4t，BQ＝10﹣4t，∴10﹣t＝10﹣4t，3t＝0，∴t＝0；当＜t≤5时，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝4t﹣10，∴10﹣t＝4t﹣10，解得：t＝4；当5＜t≤时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝4t﹣20，BQ＝30﹣4t，∴10﹣t＝30﹣4t，解得：t＝；当＜t≤10时，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝4t﹣30，∴10﹣t＝4t﹣30，解得：t＝8．综上所述：当运动时间为0秒或4秒或秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，分四种情况列出关于t的一元一次方程是解题的关键．23．（14分）（2021·湖南资兴·初三一模）定义：若，则称与是关于的关联数．例如：若,则称与是关于2的关联数;（1）若3与是关于5的关联数,求的值（2）若与是关于4的关联数，求的值．（3）若与是关于的关联数, ，的值与无关，求的值．【答案】（1）-2；（2）0；（3）【解析】（1）根据题中的新定义确定出a的值即可；（2）根据题中的新定义列出方程，求出方程的解即可得到x的值；（3）根据题中的新定义列出关系式，把M代入表示出N，根据N的值与m无关，确定出n的值，进而求出N．【详解】解：（1）∵3与是关于5的关联数∴∴；（2）∵与是关于4的关联数∴2x-1-（3x-5）=4，解得：x=0 ；（3）∵与是关于的关联数∴M-N=m                       ∴N=M-m    ∵∴   ∵的值与无关∴∴，∴．【点睛】此题考查了解一元一次方程，整式的加减混合运算，以及新定义的运算法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键．