(全国通用)高考数学二轮热点题型归纳与变式演练 专题8-5 立体几何大题15种归类（平行、垂直、体积、动点、最值等非建系）（原卷+解析）学案

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 平行1：四边形法证线面平行1
\l "_Tc26924" 【题型二】 平行2：中位线法证线面平行2
\l "_Tc12217" 【题型三】 平行3：做平行平面法证线面平行3
\l "_Tc30563" 【题型四】 平行4：难题--线面平行探索型4
\l "_Tc30563" 【题型五】 平行5：证面面平行5
\l "_Tc30563" 【题型六】 平行：难题---面面平行探索性题型7
\l "_Tc30563" 【题型七】 垂直1：线面垂直8
\l "_Tc30563" 【题型八】 垂直2：面面垂直9
\l "_Tc30563" 【题型九】 垂直3：难题--垂直探索性题型10
\l "_Tc30563" 【题型十】 垂直4：翻折中的垂直11
\l "_Tc30563" 【题型十一】 体积1：常规求法和等体积转化型12
\l "_Tc30563" 【题型十二】 体积2：难题---多面体割补型13
\l "_Tc30563" 【题型十三】 体积3：难题--两部分体积比型14
\l "_Tc30563" 【题型十四】 体积4：难题--动点型15
\l "_Tc30563" 【题型十五】 体积5：难题--最值型17
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练18
本专题涉及到平行和垂直的证明分类时，答案只提供平行、垂直证明这一问。
【题型一】 平行1：四边形法证线面平行
【典例分析】
如图，在正方体中，E，F分别是，CD的中点．
（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【提分秘籍】
基本规律
1.利用平移法做出平行四边形
2.利用中位线做出平行四边形
【变式演练】
1.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，，，，E是PB的中点.（1）求证：平面PAD；
（2）若，求三棱锥P-ACE的体积.
2.如图，在四棱锥中，面，，且，，，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在说明理由．
【题型二】 平行2：中位线法证线面平行
【典例分析】
.如图，四棱锥中，侧面底面，底面为梯形，，且，.交于点，为的重心.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
【提分秘籍】
基本规律
中位线法难点在于怎么“发现三角形”
【变式演练】
1.如图，三棱台，平面平面，侧面是等腰梯形，, 分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
2.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，M为PB上靠近B的三等分点.（1）求证：平面ACM；
（2）求直线PD与平面ACM的距离.
【题型三】 平行3：做平行平面法证线面平行
【典例分析】
如图，C，D分别是以AB为直径的半圆O上的点，满足，△PAB为等边三角形，且与半圆O所成二面角的大小为90°，E为PA的中点.
（1）求：DE//平面PBC；（2）求二面角A－BE－D的余弦值.
【提分秘籍】
基本规律
做出平行平面来证线面平行，属于“麻烦的方法”，但是在证明后续的“探索性”题型时非常实用。授课时可以先用“中点型”培养“找面做面”的思维。
【变式演练】
1.在四棱锥中，，.
（1）若E为PC的中点，求证：平面PAD.
（2）当平面平面ABCD时，求二面角的余弦值.
2.如图所示的四棱锥的底面是一个等腰梯形，，且，是△的中线，点E是棱的中点．
（1）证明：∥平面．
（2）若平面平面，且，求平面与平面夹角余弦值．
（3）在（2）条件下，求点D到平面的距离．
【题型四】 平行4：难题--线面探索型
【典例分析】
在四棱锥中，底面是菱形，.
（Ⅰ）若，求证：平面；
（Ⅱ）若平面平面，求证：；
（Ⅲ）在棱上是否存在点（异于点）使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
【提分秘籍】
基本规律
1.常规题，对应的点大多在中点处。
2.要多训练非中点的题选。
【变式演练】
1.如图所示四棱锥中，底面，四边形中，，，，．
求四棱锥的体积；
求证：平面；
在棱上是否存在点异于点，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
2.如图，矩形和菱形所在平面互相垂直，已知，点是线段的中点.
（1）求证：；
（2）试问在线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，请证明平面，并求出的值；若不存在，请说明理由.
【题型五】 平行5：证面面平行
【典例分析】
如图所示，在三棱柱中，分别是的中点，
求证：（1）四点共面； （2）平面平面．
【提分秘籍】
基本规律
面面平行的核心思维是“线面平行”。
【变式演练】
1.如图，在圆柱中，，分别是上、下底面圆的直径，且，，分别是圆柱轴截面上的母线.
（1）若，圆柱的母线长等于底面圆的直径，求圆柱的表面积.
（2）证明：平面平面.
2.如图①，在梯形中，AB∥PC，△ABC与△PAC均为等腰直角三角形，＝90°，，D，E分别为PA，PC的中点．将△PDE沿DE折起，使点P到点P的位置（如图②），为线段的中点．在图②中解决以下两个问题：
（1）求证：平面GAC∥平面；
（2）若直线PA与平面PABC所成的角为30°时，求三棱锥P－ACG的体积．
【题型六】 平行6：难题--面面平行探索性题型
【典例分析】
已知正四棱锥的各条棱长都相等，且点分别是的中点.
（1）求证:；
（2）在上是否存在点，使平面平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【提分秘籍】
基本规律
找面的经验：任何一对互相平行平面，和第三个平面相交，交线互相平行
【变式演练】
1.在正方体中，、分别为、的中点，，，如图.
（1）若交平面于点，证明：、、三点共线；
（2）线段上是否存在点，使得平面平面，若存在确定的位置，若不存在说明理由.
2.如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面,点为棱的中点.
（1）求证：平面
（2）直线上是否存在一点，使平面平面？ 若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.
【题型七】 垂直1：线面垂直
【典例分析】
如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，∠CBA＝，ABEF为直角梯形，BE∥AF，∠BAF＝，BE＝2，AF＝3，平面ABCD⊥平面ABEF．
（1）求证：AC⊥平面ABEF．
（2）求多面体ABCDE与多面体ADEF的体积的比值．
【提分秘籍】
基本规律
讲透彻“三垂线定理”这个最常用的模型
【变式演练】
1.如图，三角形PCD所在的平面与等腰梯形ABCD所在的平面垂直，AB＝AD＝CD，AB∥CD，CP⊥CD，M为PD的中点．
（1）求证：AM∥平面PBC；
（2）求证：BD⊥平面PBC．
2.如图，已知是正三角形，都垂直于平面，且是的中点，求证：
（1）平面；（2）平面.
【题型八】 垂直2：面面垂直
【典例分析】
如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为2，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接，.
（1）求证：平面平面；
（2）若是的中点，连接，，当二面角的大小为时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【提分秘籍】
基本规律
核心思维：寻找其中一个平面板的垂线（及其平行线）
【变式演练】
1.如图，梯形所在的平面与等腰梯形所在的平面互相垂直，G为AB的中点，，，，．
（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求多面体的体积.
2.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点．
（1）若为线段上的动点，证明：平面平面；
（2）若为线段，，上的动点（不含，），，三棱锥的体积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由．
【题型九】 垂直3：难题--垂直探索性题型
【典例分析】
直三棱柱中，，，，点是线段上的动点.
（1）当点是的中点时，求证：平面；
（2）线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，试求出的长度；若不存在，请说明理由.
【提分秘籍】
基本规律
使用好“逆向思维”这个证明垂直的捷径方法：要证明的必然是成立的。
【变式演练】
1.如图，在三棱柱中，底面，，点是的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：∥平面．
（Ⅲ）设，，在线段上是否存在点，使得?若存在，确定点的位置; 若不存在，说明理由．
2.三棱锥中，，面面．
（1）求长；（2）求三棱锥体积；
内（含边界）上是否存在点，使面． 若存在点，求出点的位置；若不存在点，说明理由．
【题型十】 垂直4：难题--翻折中的垂直
【典例分析】
如图①，在菱形ABCD中，∠A＝60°且AB＝2，E为AD的中点，将△ABE沿BE折起使AD＝，得到如图②所示的四棱锥A﹣BCDE.
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面ABC；
（Ⅱ）若P为AC的中点，求三棱锥P﹣ABD的体积.
【提分秘籍】
基本规律
翻折过程中，始终在同一个平面内的点线关系“不变”
【变式演练】
1.如图，ABCD是块矩形硬纸板，其中，E为DC中点，将它沿AE折成直二面角.
（1）求证：平面BDE；
（2）求四棱锥体积.
2.如图1所示，在等腰梯形ABCD中，，，垂足为E，，将沿EC折起到的位置，如图2所示，使平面平面ABCE.
（1）连结BE，证明：平面；
（2）在棱上是否存在点G，使得平面，若存在，直接指出点G的位置不必说明理由，并求出此时三棱锥的体积；若不存在，请说明理由.
【题型十一】 体积1：常规求法和等体积转化型
【典例分析】
如图所示，在棱长为2的正方体中，M是线段AB上的动点．
（1）证明：平面；
（2）若M是AB的中点，证明：平面平面；
（3）求三棱锥的体积．
【提分秘籍】
基本规律
1.等体积转化法一般情况下是三棱锥才有的特性。
2.尽可能寻找在表面的三个点
3.利用好“同底等高”和“同底比例高”。
【变式演练】
1.四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA＝CD＝2，PA⊥底面ABCD，E在PB上.
（1）证明：AC⊥PD；
（2）若PE＝2BE，求三棱锥P﹣ACE的体积.
2.如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点．（I）证明平面；
（II）求四面体的体积.
【题型十二】 体积2：难题--多面体割补型
【典例分析】
如图，梯形所在的平面与等腰梯形所在的平面互相垂直，G为AB的中点，，，，．
（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求多面体的体积.
【提分秘籍】
基本规律
1.大多数情况下，可以把不规则几何体分割为三棱锥+四棱锥
2.多从四棱锥底面对角线或者几何体表面四边形对角线处寻找分割的“刀口”
【变式演练】
1.如图，已知平面平面，B为线段中点，，四边形为正方形，平面平面，，，M为棱中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求多面体的体积.
2.如图，在多面体中，为矩形，为等腰梯形，，，，且，平面平面，，分别为，的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，求多面体的体积.
【题型十三】 体积3：难题---两部分体积比
【典例分析】
如图，在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面，、分别是、的中点.

（1）证明：平面；
（2）若是棱上一点，三棱锥与三棱锥的体积相等，求的值.
【提分秘籍】
基本规律
1.直接求体积，大多数是难度较大。
2.利用等体积转化（或者不等体积转化）
3.寻找合适的底面和平行高转化。
【变式演练】
1.如图，是边长为3的正方形，平面，平面，.
（1）证明：平面平面；
（2）在上是否存在一点，使平面将几何体分成上下两部分的体积比为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
2.如图，多面体中，，平面⊥平面，四边形为矩形，∥，点在线段上，且.
(1)求证：⊥平面；
(2)若，求多面体被平面分成的大、小两部分的体积比.
【题型十四】 体积4：难题---动点型
【典例分析】
如图，是边长为3的等边三角形，四边形为正方形，平面平面.点，分别为棱，上的点，且，为棱上一点，且.
（Ⅰ）当时，求证：平面；
（Ⅱ）已知三棱锥的体积为，求的值.

【变式演练】
1.如图，四边形ABCD为矩形，△BCF为等腰三角形，且∠BAE＝∠DAE＝90°，EA//FC.
（1）证明：BF//平面ADE.
（2）设，问是否存在正实数，使得三棱锥A﹣BDF的高恰好等于BC？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
2.如图所示，在三棱锥中，平面，，，.
（1）证明：平面；
（2）若为棱的中点，点为棱上一点，且三棱锥的体积为，通过计算判断点的位置.
【题型十五】 体积5：难题--最值型
【典例分析】
如图，三棱锥中，侧面是边长为的正三角形，，平面平面，把平面沿旋转至平面的位置，记点旋转后对应的点为（不在平面内），、分别是、的中点.（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积的最大值.
【变式演练】
1.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点．
（1）若为线段上的动点，证明：平面平面；
（2）若为线段，，上的动点（不含，），，三棱锥的体积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由．
2.如图所示，在矩形中，，E为边的中点，将沿直线翻折为，若F为线段的中点.在翻折过程中，
（Ⅰ）求证：面；
（Ⅱ）求多面体体积的最大值.
1.（浙江省台州市2021-2022学年数学试题）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，，侧面底面ABCD，，．
（1）若PB的中点为E，求证：平面PCD；
（2）若PB与底面ABCD所成的角为60°，求平面PCD与平面PBD的夹角的余弦值．
2.（广东省潮州市2022届高三上学期期末数学试题）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，，，点E，F分别为CD，AP的中点．
（1）证明:PC//平面BEF；
（2）若PAPD，且PA=PD，面PAD面ABCD，求二面角C-BE-F的余弦值．
3.在四棱锥中，，，，，平面平面.

（1）求证：平面平面；
（2）在棱上是否存在点，使平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由.

4.（2020·威远中学校高三月考）如图，在多面体中，底面是边长为的的菱形，，四边形是矩形，平面平面，，和分别是和的中点．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．
5.（江苏省南通市通州区2021-2022学年高三上学期期末数学试题）如图，在直四棱柱中，点是线段上的一个动点，分别是的中点.
（1）求证：平面.
（2）在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
6.如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，D，E分别是，的中点，平面平面，.
（1）求证：平面；（2）求证：平面.

7.如图，在四棱锥中，底面是矩形，点E在棱上（异于点P，C），平面与棱交于点F.
（1）求证：；
（2）若，求证：平面平面.

8.（河南省洛阳市高三考前练习二文科数学试卷）如图所示，在正三棱柱中，，是上的一点，且.
（1）求证：平面；
（2）在棱上是否存在一点，使直线平面？若存在，找出这个点，并加以证明，若不存在，请说明理由.
9.已知四边形是梯形(如图1)，，，，，E为的中点，以为折痕把折起，使点D到达点P的位置(如图2)，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求点C到平面的距离.

10.如图，在四棱锥中，底面，， ，，点为的中点，平面交侧棱于点，且四边形为平行四边形.
（1）求证：平面平面；
（2）当时，求四棱锥的体积.

11.如图，边长为的等边所在平面与菱形所在平面互相垂直，且，,．
（1）求证：平面；
（2）求多面体的体积．

12.如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为线段上一点．
（1）若点是的中点，求证：平面；
（2）若直线与平面所成的线面角的大小为，求．

13.如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．
（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱锥B–EB1C1F的体积．

14.如图，扇形的圆心角为，半径为2，四边形为正方形，平面平面；过直线作平面交于点，交于点．
（1）求证：；（2）求三棱锥体积的最大值．