河南省名校联盟2021-2022学年高三下学期第一次模拟理科数学试题

河南省名校联盟2021-2022学年下学期高三第一次模拟

理科数学试卷

满分150分，时间120分钟

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考场填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，，则=

A．     B．    C． D．

2．已知复数满足，则

A．     B．      C． D．

3．执行如图所示的程序框图，若输入，

则输出的结果是

A．13 B．5 

C．3 D．2

4．若函数是定义在上的周期为2的奇函数，

当时，，则

A．0      B．2      C．4     D．-2

5．若，满足约束条件，则取得最大值的最优解为

A．（1,3） B．（1,1） C．4 D．0

6．已知直线和直线，下列说法不正确的是

A．始终过定点 B．若，则或

C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限

7．如图，在中，点M是上的点且满足，是上的点，且，设，则

A．         B．

C．         D．

8．已知函数的部分图象如图所示，下列关于函数的表述正确的是

A．函数的图象关于点对称

B．函数在上递减

C．函数的图象关于直线对称

D．函数的图象上所有点向左平移个单位得到函数的图象

9．志愿团安排去甲､乙､丙､丁四个精准扶贫点慰问的先后顺序，一位志愿者说：不能先去甲，甲的困难户最多；另一位志愿者说：不能最后去丁，丁离得最远.他们共有多少种不同的安排方法

A．14 B．12    C．24 D．28

10．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是

A． B． C． D．

11．已知椭圆，其长轴长为4且离心率为，在椭圆上任取一点P，过点P作圆的两条切线，

切点分别为，则的最小值为

A．   B．   C． D．0

12．如图，直四棱柱的底面是边长为2的

正方形，，，分别是，的中点，过

点，，的平面记为，则下列说法中正确的个数是

①点到平面的距离与点到平面的距离之比为1:2

②平面截直四棱柱所得截面的面积为

③平面将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47:25

④平面截直四棱柱所得截面的形状为四边形

A．0   B．1   C．2   D．3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知为虚数单位，复数满足，则         ．

14．若实数，满足约束条件，则的最大值为         ．

15．如图，在同一个平面内，向量与的夹角为，且，   向量与的夹角为，且，．

 若=+（，），则         ．

16．如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinal dandelin(1794-1847)的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于，在截口曲线上任取一点，过作圆锥的母线，分别与两个球相切于，由球和圆的几何性质，可以知道，，，于是．由的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以为焦点的椭圆．

 如图②，一个半径为的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源，则球在桌面上的投影是椭圆．已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为         ．

三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）

已知等比数列的前项和.

（Ⅰ）求的值，并求出数列的通项公式；

（Ⅱ）令，设为数列的前项和，求.

18.（本小题满分12分）

已知斜三棱柱，侧面与底面垂直，，，，且.

   （Ⅰ）试判断与平面是否垂直，并说明理由；

   （Ⅱ）求二面角的余弦值.

19.（本小题满分12分）

江苏卫视推出的大型科学竞技真人秀《最强大脑(8)》现已进入联盟抢分赛环节，由12强选手组建的凌霄、逐日、登峰联盟三支队伍(每队四人)将进行“12进6”的登顶预备战，每局有两队参加，没有平局. 按12强历次成绩统计得出，在一局比赛中，逐日联盟胜凌霄联盟的概率为，逐日联盟胜登峰联盟的概率为，凌霄联盟胜登峰联盟的概率为. 联盟抢分赛规则如下：按抽签决定由逐日联盟和凌霄联盟先进行第一局的比赛，然后每局的获胜队与未参加此局比赛的队伍进行下一局的比赛. 在比赛中，有队伍先获胜两局，就算取得比赛的胜利，直接晋级6强的全国脑王争霸赛.

（Ⅰ）求只进行两局比赛，逐日联盟晋级6强的概率；

（Ⅱ）求只进行两局比赛，就能确定晋级6强联盟队的概率；

（Ⅲ）求逐日联盟晋级6强的概率.

20.（本小题满分12分）

已知点为椭圆的右焦点，椭圆上任意一点到点距离的最大值为，最小值为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若为椭圆上的点，以为圆心，长为半径作圆，若过点可作圆的两条切线（为切点），求四边形面积的最大值．

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（Ⅰ）当曲线在处的切线与直线垂直时，求实数的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）求证：  .

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答. 并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分. 如果多做，则按所做的第一题计分.

22.  [选修4—4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，点是曲线（为参数）上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）若点在轴右侧，点在曲线上，求的最小值.

23.  [选修4—5：不等式选讲]

设函数.

（Ⅰ）若，求证：；

（Ⅱ）对于，恒成立，求实数的取值范围.

理科数学答案

13．   14．4   15．   16．

17．【解析】

（Ⅰ）法一：当时，                     1分

当时，                  3分

是等比数列，，即，解得                     5分

所以，的值为，数列的通项公式为                      6分

法二：

是等比数列，即               3分

设的公比为，                6分

（Ⅱ）                            8分

                         12分

18.【解析】

取中点,连接、，又,得，平面平面，交线为,又平面，则平面，

,为中点，

以为轴,为轴,为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，

，，

                              3分

（Ⅰ），  

所以与不垂直，即与平面不垂直                      6分

（另解：求出平面法向量，与不平行，则与平面不垂直）

（Ⅱ）因为平面,设平面的一个法向量        7分

设为平面的一个法向量，

，   

由    

令，则，即，                       10分

又因为， 

如图知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为    12分

法二：（Ⅰ）由,,,得,

由,,，得,

所以,则不垂直于,平面,

则与平面不垂直.                         3分

（Ⅱ）如图：过做，垂足为，

平面平面，交线为,又平面，

则平面，                             6分

所以二面角的补角为所求.                     7分

过向棱作垂线，垂足为，连接，

则就是二面角的平面角

，，所以，                      10分

所以，

所以二面角的余弦值为                    12分

19.【解析】

（Ⅰ）记“只进行两局比赛，逐日联盟晋级６强”为事件．

　　　                                       3分

（Ⅱ）记“只进行两局比赛，就能确定晋级６强联盟队”为事件

　则事件包含逐日联盟晋级或凌霄联盟晋级．

　　　                             7分

（Ⅲ）记“逐日联盟晋级６强”为事件．则事件包含三种情况：

① 逐日联盟胜凌霄联盟，逐日联盟胜登峰联盟：              

② 逐日联盟胜凌霄联盟，逐日联盟负登峰联盟，登峰联盟负凌霄联盟，逐日联盟胜

凌霄联盟：

③ 逐日联盟负凌霄联盟，凌霄联盟负登峰联盟，登峰联盟负逐日联盟，逐日联盟胜

　　凌霄联盟：

　　　                              12分

(注：②③求对各给2分）

20.【解析】

（Ⅰ）根据题意椭圆上任意一点到点距离的最大值为，最小值为.

所以      解得                          2分

所以

因此椭圆的标准方程为                           4分

（Ⅱ）（法一）

由（1）知，为椭圆的左焦点，

根据椭圆定义知，，

设，点在圆外           6分

所以，在直角三角形中，

，          8分

由圆的性质知，四边形面积，其中．    9分

即（）．

令（），则

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

所以，在时，取极大值，也是最大值

此时                            12分

（法二）同法一，四边形面积，其中 9分

所以

当且仅当，即时取等号

所以                                             12分

21.【解析】

因为，

      所以                                     1分

根据题意                           2分

（Ⅰ）解得 ，满足，                            4分

（Ⅱ）

当时，，

令，令或

所以的递增区间是，递减区间是

当时，，

令，令

所以的递增区间是，递减区间是

综上所述：当时，的递增区间是，递减区间是；

当时，的递增区间是，递减区间是.               8分

（3）由（2）知当时，，并且，

因此有在恒成立，

用替换得，即在恒成立，

因此当时不等式恒成立

令用替换得，

所以

即               12分

22.【解析】

（Ⅰ）消去得

即曲线的普通方程为                           2分

曲线的极坐标方程为 ，

由 得曲线的直角坐标方程为                     4分

（Ⅱ）P是曲线右支上的动点  设点P坐标为

是曲线上   最小值即点P到曲线的距离          

则=                         7分

，，当且仅当时取等号

当时，取最小值 最小值为                        10分

23.【解析】

（Ⅰ）当时，                 2分

 当且仅当 等号成立  

                                                   4分

（注：没写取等号条件扣1分）

（Ⅱ）对于，恒成立

        恒成立     7分

     即   

实数的取值范围                             10分

法二：

（1）当时 即时，

                            6分

（2）当 即 时

①当时 ，

②当时 ，

由 ① ②可知                           9分

综上：的取值范围                               10分