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高中数学湘教版（2019）必修 第一册1.1 集合学案
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这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册1.1 集合学案，共9页。
1．1.3 集合的交与并
新课程标准解读
核心素养
1.理解两个集合的交集与并集的含义，能求两个集合的交集与并集
数学抽象、数学运算
2.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用
数学运算、直观想象
3.会用集合的语言简洁、准确地表达数学的研究对象，在观察、分析、抽象、类比得到集合的数学知识的过程中提升学生的思维能力
数学抽象、逻辑推理
某学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求：①中考数学成绩不低于110分；②中考理综成绩不低于110分．
如果满足条件①的同学组成的集合记为A，满足条件②的同学组成的集合记为B，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合记为C.
[问题] (1)满足①或满足②的同学能成为集合C的元素吗？
(2)集合A，B，C的关系是什么？
知识点一 两个集合的交
两个集合交运算的性质
A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩∅＝∅；A∩B＝A⇔A⊆B.
1．已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{－1，0，3}，则A∩B＝________．
答案：{－1，0}
2．若集合A＝{x|－3＜x＜4}，B＝{x|x＞2}，C＝{x|x≤－3}，则A∩B＝________，A∩C＝________．
答案：{x|2＜x＜4} ∅
知识点二 两个集合的并
两个集合并运算的性质
A∪B＝B∪A；A∪A＝A；A∪∅＝A；A∪B＝A⇔B⊆A.
对并集、交集概念的再理解
(1)A∪B、A∩B都是一个集合；
(2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但x∉B”；“x∈B，但x∉A”；“x∈A，且x∈B”；
(3)交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素．
集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？
提示：不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和．
1．设集合M＝{4，5，6，8}，N＝{3，5，7，8}，则M∪N＝_______.
答案：{3，4，5，6，7，8}
2．已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x>0}，则A∪B＝________．
答案：{x|x>0}
交集的运算
[例1] (链接教科书第9页例10)(1)已知集合A＝{－2，0，3}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝( )
A．∅ B．{2}
C．{0} D．{－2}
(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝( )
A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}
[解析] (1)
方程x2－x－2＝0的解为x＝－1或2，∴B＝{－1，2}，∴A∩B＝∅.故选A.
(2)在数轴上表示出集合A与B，如图所示，则由交集的定义知，A∩B＝{x|0≤x≤2}．
[答案] (1)A (2)A
求两个集合的交集的方法
(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可；
(2)对于元素是连续实数的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．
[跟踪训练]
1．(2021·南通高一月考)已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{2} C．{1，2} D．{0，1，2}
解析：选B ∵集合A＝{x|x＞1}，B＝{0，1，2}，∴A∩B＝{2}．故选B.
2．已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则M∩N＝( )
A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1)
C．{3，－1} D．{(3，－1)}
解析：选D 由得故M∩N＝{(3，－1)}.
并集的运算
[例2] (链接教科书第10页例12)(1)已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5或x＞5}，则M∪N＝( )
A．{x|x＜－5或x＞－3} B．{x|－5＜x＜5}
C．{x|－3＜x＜5} D．{x|x＜－3或x＞5}
(2)已知集合M＝{0，1}，则满足M∪N＝{0，1，2}的集合N的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．8
[解析] (1)在数轴上表示出集合M，N(图略)，可知M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}．故选A.
(2)依题意，可知满足M∪N＝{0，1，2}的集合N有{2}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，共4个．故选C.
[答案] (1)A (2)C
求集合并集的2种基本方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解．
[跟踪训练]
1．(2021·吉林实验中学高一月考)已知集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B＝( )
A．{x|3≤x＜4} B．{x|x≥2}
C．{x|2≤x＜4} D．{x|2≤x≤3}
解析：选B 由集合B知5x≥15，即x≥3，结合数轴(图略)知A∪B＝{x|x≥2}，故选B.
2．(多选)满足{1，3}∪A＝{1，3，5}的所有集合A可能是( )
A．{5} B．{1，5}
C．{3} D．{1，3}
解析：选AB 由{1，3}∪A＝{1，3，5}知，A⊆{1，3，5}，且A中至少有1个元素5，从而A中其余元素是集合{1，3}的子集的元素．而{1，3}有4个子集，因此满足条件的A有4个，它们分别是{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}．
交集、并集、补集的综合运算
[例3] (1)若全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{x|x2－4x＋3＝0}，N＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁U(M∩N)＝( )
A．{4} B．{1，2} C．{1，2，4} D．{1，3，4}
(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0
(2)由已知，得A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，故∁U(A∪B)＝{x|0
解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解；
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．
[跟踪训练]
1．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩(∁UB)等于( )
A．{3} B．{4}
C．{3，4} D．∅
解析：选A ∵U＝{1，2，3，4}，∁U(A∪B)＝{4}，
∴A∪B＝{1，2，3}．又∵B＝{1，2}，
∴{3}⊆A⊆{1，2，3}．
又∁UB＝{3，4}，∴A∩(∁UB)＝{3}．
2．(多选)已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3或4
B．A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2或5≤x<6}
C．(∁UA)∪B＝{x|x<1或26}
D．∁U(∁UB)＝{x|2≤x<5}
解析：选ABD 因为B＝{x|2≤x<5}，
所以∁UB＝{x|x<2或x≥5}，故A正确；
由∁UB＝{x|x<2或x≥5}可得，
A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2或5≤x<6}，故B正确；
由∁UA＝{x|x<1或3
由集合的并集、交集求参数
[例4] 已知集合A＝{x|－3
(2)当B≠∅时，要使A∪B＝A，
只需解得2≤k≤.
综合(1)(2)可知，k的取值范围是.
[母题探究]
1．(变条件)把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围．
解：由A∩B＝A可知A⊆B.
所以即
所以k∈∅.
所以k的取值范围为∅.
2．(变条件)把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3
所以k的值为3.
利用集合交集、并集的性质解题的方法
(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理；
(2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时一定要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉．
[跟踪训练]
设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a－1)x＋(a2－5)＝0}．
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解：(1)由题可知A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，∵A∩B＝{2}，∴2∈B，将x＝2代入方程x2＋2(a－1)x＋(a2－5)＝0得4＋4(a－1)＋(a2－5)＝0，解得a＝－5或a＝1.
当a＝－5时，集合B＝{2，10}，符合题意；
当a＝1时，集合B＝{2，－2}，符合题意．
综上所述，a＝－5或a＝1.
(2)若A∪B＝A，则B⊆A，
∵A＝{1，2}，∴B＝∅或B＝{1}或{2}或{1，2}．
若B＝∅，则Δ＝4(a－1)2－4(a2－5)＝24－8a<0，解得a>3，符合题意；
若B＝{1}或{2}，则Δ＝0，即a＝3，
而当a＝3时，x2＋4x＋4＝0，得x＝－2，不合题意；
若B＝{1，2}，则
即此时也不成立．
综上，a的取值范围是(3，＋∞)．
集合运算中的元素个数问题
在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，我们常用Venn图表示两集合的交、并、补集．如果用card表示有限集中元素的个数，如何确定集合A∩B，A∪B元素的个数？
[典例] 某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，两次一共进了几种货？
提示：两次一共进了6＋4－2＝8种．
[问题探究]
1．本例中，用集合A表示第一次进货的种数，用集合B表示第二次进货的种数，问card(A)，card(B)是多少？
提示：card(A)＝6，card(B)＝4.
2．由本例中数据，探究card(A)，card(B)，card(A∪B)，card(A∩B)之间有什么关系呢？试借助Venn图说明此关系？
提示：对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．
如图所示，设①表示A中不含A∩B的区域里的元素个数；②表示B中不含A∩B的区域里的元素个数；③表示A∩B区域里的元素个数．
则card(A∪B)表示A和B区域里一共有的不同元素的个数，即card(A∪B)＝①＋②＋③；
card(A)表示集合A的区域里的元素个数，即card(A)＝①＋③；
card(B)表示集合B的区域里的元素个数，即card(B)＝②＋③.
注意到card(A)＋card(B)－card(A∩B)＝(①＋③)＋(②＋③)－③＝①＋②＋③＝card(A∪B)，则结论得证．
[迁移应用]
1．若card(M)＝12，card(P)＝8，则card(M∪P)的最大、最小值分别是( )
A．12，8 B．20，8
C．20，12 D．20，4
解析：选C 0≤card(M∩P)≤8，所以card(M∪P)＝card(M)＋card(P)－card(M∩P)＝20－card(M∩P)，故其最大值为20，最小值为12.故选C.
2．一个有54人的班级，在一次语文、数学的两项测试中，每人至少有一科成绩及格，其中语、数两科都及格的有46人，语文及格的有51人，则数学及格的人数是( )
A．49 B．50
C．51 D．52
解析：选A 设语文及格的同学为集合A、数学及格的同学为集合B，全班同学为集合U，则U＝A∪B.
由已知，card(A)＝51，card(A∩B)＝46，card(A∪B)＝54，
代入card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，得54＝51＋card(B)－46，解得card(B)＝49.
1．(多选)已知集合A＝{x|－1
B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}
C．A∪(∁RB)＝{x|x≤－1或x>2}
D．A∩(∁RB)＝{x|22}，∴A∪(∁RB)＝{x|－12}＝{x|x<－2或x>－1}，C不正确；A∩(∁RB)＝{x|－12}＝{x|2
A．a＝3，b＝2 B．a＝2，b＝3
C．a＝－3，b＝－2 D．a＝－2，b＝－3
解析：选B ∵A∩B＝{(2，5)}，
∴解得故选B.
3．已知A＝{x|a5}．若A∪B＝R，则a的取值范围为________．
解析：由a5}，
在数轴上标出集合A，B，如图．
要使A∪B＝R，则
解得－3≤a<－1.
综上，可知a的取值范围为{a|－3≤a<－1}．
答案：{a|－3≤a<－1}
4．已知全集U＝{x|x是不大于9的正整数}，A，B都是U的子集，(∁UA)∩B＝{1，3}，(∁UB)∩A＝{2，4，8}，(∁UA)∩(∁UB)＝{6，9}，求集合A，B.
解：法一：U＝{x|x是不大于9的正整数}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．
∵(∁UA)∩B＝{1，3}，(∁UB)∩A＝{2，4，8}，
∴{1，3}⊆B，{2，4，8}⊆A.
∵(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{6，9}，
∴A∪B＝{1，2，3，4，5，7，8}．
若5∉A，则5∈∁UA，5∈B，此时(∁UA)∩B＝{1，3，5}，不合题意，故5∈A.同理，7∈A，5∈B，7∈B.
∴A＝{2，4，5，7，8}，B＝{1，3，5，7}．
法二：∵U＝{x|x是不大于9的正整数}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，且(∁UA)∩B＝{1，3}，(∁UB)∩A＝{2，4，8}，(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{6，9}，
∴Venn图如图，
由图可知A＝{2，4，5，7，8}，B＝{1，3，5，7}．
1．1.3 集合的交与并
新课程标准解读
核心素养
1.理解两个集合的交集与并集的含义，能求两个集合的交集与并集
数学抽象、数学运算
2.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用
数学运算、直观想象
3.会用集合的语言简洁、准确地表达数学的研究对象，在观察、分析、抽象、类比得到集合的数学知识的过程中提升学生的思维能力
数学抽象、逻辑推理
某学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求：①中考数学成绩不低于110分；②中考理综成绩不低于110分．
如果满足条件①的同学组成的集合记为A，满足条件②的同学组成的集合记为B，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合记为C.
[问题] (1)满足①或满足②的同学能成为集合C的元素吗？
(2)集合A，B，C的关系是什么？
知识点一 两个集合的交
两个集合交运算的性质
A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩∅＝∅；A∩B＝A⇔A⊆B.
1．已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{－1，0，3}，则A∩B＝________．
答案：{－1，0}
2．若集合A＝{x|－3＜x＜4}，B＝{x|x＞2}，C＝{x|x≤－3}，则A∩B＝________，A∩C＝________．
答案：{x|2＜x＜4} ∅
知识点二 两个集合的并
两个集合并运算的性质
A∪B＝B∪A；A∪A＝A；A∪∅＝A；A∪B＝A⇔B⊆A.
对并集、交集概念的再理解
(1)A∪B、A∩B都是一个集合；
(2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但x∉B”；“x∈B，但x∉A”；“x∈A，且x∈B”；
(3)交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素．
集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？
提示：不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和．
1．设集合M＝{4，5，6，8}，N＝{3，5，7，8}，则M∪N＝_______.
答案：{3，4，5，6，7，8}
2．已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x>0}，则A∪B＝________．
答案：{x|x>0}
交集的运算
[例1] (链接教科书第9页例10)(1)已知集合A＝{－2，0，3}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝( )
A．∅ B．{2}
C．{0} D．{－2}
(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝( )
A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}
[解析] (1)
方程x2－x－2＝0的解为x＝－1或2，∴B＝{－1，2}，∴A∩B＝∅.故选A.
(2)在数轴上表示出集合A与B，如图所示，则由交集的定义知，A∩B＝{x|0≤x≤2}．
[答案] (1)A (2)A
求两个集合的交集的方法
(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可；
(2)对于元素是连续实数的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．
[跟踪训练]
1．(2021·南通高一月考)已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{2} C．{1，2} D．{0，1，2}
解析：选B ∵集合A＝{x|x＞1}，B＝{0，1，2}，∴A∩B＝{2}．故选B.
2．已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则M∩N＝( )
A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1)
C．{3，－1} D．{(3，－1)}
解析：选D 由得故M∩N＝{(3，－1)}.
并集的运算
[例2] (链接教科书第10页例12)(1)已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5或x＞5}，则M∪N＝( )
A．{x|x＜－5或x＞－3} B．{x|－5＜x＜5}
C．{x|－3＜x＜5} D．{x|x＜－3或x＞5}
(2)已知集合M＝{0，1}，则满足M∪N＝{0，1，2}的集合N的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．8
[解析] (1)在数轴上表示出集合M，N(图略)，可知M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}．故选A.
(2)依题意，可知满足M∪N＝{0，1，2}的集合N有{2}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，共4个．故选C.
[答案] (1)A (2)C
求集合并集的2种基本方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解．
[跟踪训练]
1．(2021·吉林实验中学高一月考)已知集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B＝( )
A．{x|3≤x＜4} B．{x|x≥2}
C．{x|2≤x＜4} D．{x|2≤x≤3}
解析：选B 由集合B知5x≥15，即x≥3，结合数轴(图略)知A∪B＝{x|x≥2}，故选B.
2．(多选)满足{1，3}∪A＝{1，3，5}的所有集合A可能是( )
A．{5} B．{1，5}
C．{3} D．{1，3}
解析：选AB 由{1，3}∪A＝{1，3，5}知，A⊆{1，3，5}，且A中至少有1个元素5，从而A中其余元素是集合{1，3}的子集的元素．而{1，3}有4个子集，因此满足条件的A有4个，它们分别是{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}．
交集、并集、补集的综合运算
[例3] (1)若全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{x|x2－4x＋3＝0}，N＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁U(M∩N)＝( )
A．{4} B．{1，2} C．{1，2，4} D．{1，3，4}
(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0
(2)由已知，得A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，故∁U(A∪B)＝{x|0
解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解；
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．
[跟踪训练]
1．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩(∁UB)等于( )
A．{3} B．{4}
C．{3，4} D．∅
解析：选A ∵U＝{1，2，3，4}，∁U(A∪B)＝{4}，
∴A∪B＝{1，2，3}．又∵B＝{1，2}，
∴{3}⊆A⊆{1，2，3}．
又∁UB＝{3，4}，∴A∩(∁UB)＝{3}．
2．(多选)已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3或4
B．A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2或5≤x<6}
C．(∁UA)∪B＝{x|x<1或2
D．∁U(∁UB)＝{x|2≤x<5}
解析：选ABD 因为B＝{x|2≤x<5}，
所以∁UB＝{x|x<2或x≥5}，故A正确；
由∁UB＝{x|x<2或x≥5}可得，
A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2或5≤x<6}，故B正确；
由∁UA＝{x|x<1或3
由集合的并集、交集求参数
[例4] 已知集合A＝{x|－3
(2)当B≠∅时，要使A∪B＝A，
只需解得2≤k≤.
综合(1)(2)可知，k的取值范围是.
[母题探究]
1．(变条件)把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围．
解：由A∩B＝A可知A⊆B.
所以即
所以k∈∅.
所以k的取值范围为∅.
2．(变条件)把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3
所以k的值为3.
利用集合交集、并集的性质解题的方法
(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理；
(2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时一定要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉．
[跟踪训练]
设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a－1)x＋(a2－5)＝0}．
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解：(1)由题可知A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，∵A∩B＝{2}，∴2∈B，将x＝2代入方程x2＋2(a－1)x＋(a2－5)＝0得4＋4(a－1)＋(a2－5)＝0，解得a＝－5或a＝1.
当a＝－5时，集合B＝{2，10}，符合题意；
当a＝1时，集合B＝{2，－2}，符合题意．
综上所述，a＝－5或a＝1.
(2)若A∪B＝A，则B⊆A，
∵A＝{1，2}，∴B＝∅或B＝{1}或{2}或{1，2}．
若B＝∅，则Δ＝4(a－1)2－4(a2－5)＝24－8a<0，解得a>3，符合题意；
若B＝{1}或{2}，则Δ＝0，即a＝3，
而当a＝3时，x2＋4x＋4＝0，得x＝－2，不合题意；
若B＝{1，2}，则
即此时也不成立．
综上，a的取值范围是(3，＋∞)．
集合运算中的元素个数问题
在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，我们常用Venn图表示两集合的交、并、补集．如果用card表示有限集中元素的个数，如何确定集合A∩B，A∪B元素的个数？
[典例] 某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，两次一共进了几种货？
提示：两次一共进了6＋4－2＝8种．
[问题探究]
1．本例中，用集合A表示第一次进货的种数，用集合B表示第二次进货的种数，问card(A)，card(B)是多少？
提示：card(A)＝6，card(B)＝4.
2．由本例中数据，探究card(A)，card(B)，card(A∪B)，card(A∩B)之间有什么关系呢？试借助Venn图说明此关系？
提示：对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．
如图所示，设①表示A中不含A∩B的区域里的元素个数；②表示B中不含A∩B的区域里的元素个数；③表示A∩B区域里的元素个数．
则card(A∪B)表示A和B区域里一共有的不同元素的个数，即card(A∪B)＝①＋②＋③；
card(A)表示集合A的区域里的元素个数，即card(A)＝①＋③；
card(B)表示集合B的区域里的元素个数，即card(B)＝②＋③.
注意到card(A)＋card(B)－card(A∩B)＝(①＋③)＋(②＋③)－③＝①＋②＋③＝card(A∪B)，则结论得证．
[迁移应用]
1．若card(M)＝12，card(P)＝8，则card(M∪P)的最大、最小值分别是( )
A．12，8 B．20，8
C．20，12 D．20，4
解析：选C 0≤card(M∩P)≤8，所以card(M∪P)＝card(M)＋card(P)－card(M∩P)＝20－card(M∩P)，故其最大值为20，最小值为12.故选C.
2．一个有54人的班级，在一次语文、数学的两项测试中，每人至少有一科成绩及格，其中语、数两科都及格的有46人，语文及格的有51人，则数学及格的人数是( )
A．49 B．50
C．51 D．52
解析：选A 设语文及格的同学为集合A、数学及格的同学为集合B，全班同学为集合U，则U＝A∪B.
由已知，card(A)＝51，card(A∩B)＝46，card(A∪B)＝54，
代入card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，得54＝51＋card(B)－46，解得card(B)＝49.
1．(多选)已知集合A＝{x|－1
B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}
C．A∪(∁RB)＝{x|x≤－1或x>2}
D．A∩(∁RB)＝{x|2
A．a＝3，b＝2 B．a＝2，b＝3
C．a＝－3，b＝－2 D．a＝－2，b＝－3
解析：选B ∵A∩B＝{(2，5)}，
∴解得故选B.
3．已知A＝{x|a
解析：由a
在数轴上标出集合A，B，如图．
要使A∪B＝R，则
解得－3≤a<－1.
综上，可知a的取值范围为{a|－3≤a<－1}．
答案：{a|－3≤a<－1}
4．已知全集U＝{x|x是不大于9的正整数}，A，B都是U的子集，(∁UA)∩B＝{1，3}，(∁UB)∩A＝{2，4，8}，(∁UA)∩(∁UB)＝{6，9}，求集合A，B.
解：法一：U＝{x|x是不大于9的正整数}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．
∵(∁UA)∩B＝{1，3}，(∁UB)∩A＝{2，4，8}，
∴{1，3}⊆B，{2，4，8}⊆A.
∵(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{6，9}，
∴A∪B＝{1，2，3，4，5，7，8}．
若5∉A，则5∈∁UA，5∈B，此时(∁UA)∩B＝{1，3，5}，不合题意，故5∈A.同理，7∈A，5∈B，7∈B.
∴A＝{2，4，5，7，8}，B＝{1，3，5，7}．
法二：∵U＝{x|x是不大于9的正整数}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，且(∁UA)∩B＝{1，3}，(∁UB)∩A＝{2，4，8}，(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{6，9}，
∴Venn图如图，
由图可知A＝{2，4，5，7，8}，B＝{1，3，5，7}．
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