湘教版（2019）必修 第一册3.2 函数的基本性质学案设计

这是一份湘教版（2019）必修 第一册3.2 函数的基本性质学案设计，共8页。


3.2　函数的基本性质
3．2.1　函数的单调性与最值

新课程标准解读
核心素养
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性
数学抽象
2.理解单调性的作用和实际意义
逻辑推理、数学运算
3.借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和意义
数学抽象、数学运算
第一课时　函数的单调性


德国著名的心理学家艾宾浩斯对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．他经过测试，得到了有趣的数据．数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数．艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”，如图：

[问题]　(1)当时间间隔t逐渐增大时，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势吗？
(2)“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学的观点进行解释？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点　函数的单调性
1．增函数、减函数
前提
条件
设函数f(x)的定义域为D，I是D的一个非空的子集
条件
如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1 都有f(x1)f(x2)
都有f(x1)f(x2)
图示


结论
f(x)是区间I上的增函数，也称f(x)在区间I上单调递增
f(x)是区间I上的减函数，也称f(x)在区间I上单调递减
2．如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间I叫作y＝f(x)的单调区间．

1．对区间I的要求
函数的单调性是函数在某个区间上的性质，这个区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分．
2．x1，x2的三个特征
(1)同区间性，即x1，x2∈I；
(2)任意性，即不可用区间I上的两个特殊值代替x1，x2；
(3)有序性，即需要区分大小，通常规定x1
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)所有函数在定义域上都具有单调性．(　　)
(2)因为f(－1) (3)定义在(a，b)上的函数f(x)，如果∃x1，x2∈(a，b)，当x1 (4)如果函数f(x)在区间I1上单调递减，在区间I2上也单调递减，那么f(x)在区间I1和I2上就一定是减函数．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1 ①f(x)＝x2；②f(x)＝；
③f(x)＝|x|；④f(x)＝2x＋1.
答案：②
3．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是________．

答案：[－3，1]
4．函数f(x)＝－x2－2x的单调递增区间是________．
答案：(－∞，－1]


函数单调性的判定与证明
[例1]　(链接教科书第80页例1)已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上单调性，并用定义加以证明．
[解]　(1)由x2－1≠0，得x≠±1，
所以函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R，且x≠±1}．
(2)函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减．
证明：设x1和x2是区间(1，＋∞)上任意两个实数，且x1 则f(x2)－f(x1)＝－＝.
由x1，x2∈(1，＋∞)，得x1>1，x2>1，
所以x－1>0，x－1>0，x1＋x2>0.
又x1f(x2)，
所以，函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减．

利用定义证明函数单调性的4步骤
　　　　
[跟踪训练]
1．(多选)下列函数在(－∞，0)上为增函数的是(　　)
A．y＝|x|＋1　　　　　 B．y＝
C．y＝－ D．y＝x＋
解析：选CD　y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上为减函数；y＝＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不是增函数也不是减函数；y＝－＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函数；y＝x＋＝x－1(x<0)在(－∞，0)上也是增函数，故选C、D.
2．证明函数f(x)＝x＋在(0，1)上单调递减．
证明：设x1，x2是区间(0，1)上任意两个实数，
且x1 ∵0 ∴x1－x2<0，0 ∴>0，
即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)＝x＋在(0，1)上单调递减.

求函数的单调区间
[例2]　画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
[解]　y＝－x2＋2|x|＋3＝函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0，1]上单调递增，函数在[－1，0]，[1，＋∞)上单调递减．所以函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0，1]，单调减区间是(－1，0)和(1，＋∞)．
[母题探究]
(变条件)将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”变为“y＝|－x2＋2x＋3|”，如何求解？
解：函数y＝|－x2＋2x＋3|的图象如图所示．由图象可知其单调递增区间为[－1，1]，[3，＋∞)；单调递减区间为(－∞，－1)，(1，3)．

求函数单调区间的2种方法
法一：定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解；
法二：图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间．
[注意]　(1)如果函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B上单调性相同，则两个区间用“，”或“和”连接，不能用“∪”连接；
(2)书写单调区间时，若函数在区间的端点处有定义，则写成闭区间、开区间均可，但若函数在区间的端点处无定义，则必须写成开区间．　　　　
[跟踪训练]
1．(多选)如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　)

A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1，4]上单调递增
C．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减
D．函数在区间[－5，5]上没有单调性
解析：选ABD　若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间，不能用“∪”连接．故选A、B、D.
2．求函数f(x)＝的单调减区间．
解：函数f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
设x1和x2是区间(－∞，1)上任意两个实数，且x1 因为x10，x1－1<0，x2－1<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞).

函数单调性的应用
[例3]　(链接教科书第81页例3)(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是________；
(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．
[解析]　(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上单调递增，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．
(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
且f(2x－3)>f(5x－6)，
∴2x－3>5x－6，即x<1.
∴实数x的取值范围为(－∞，1)．
[答案]　(1)(－∞，－4]　(2)(－∞，1)
[母题探究]
1．(变条件)若本例(1)的函数f(x)在(1，2)上是单调函数，求a的取值范围．
解：由题意可知－(a＋1)≤1或－(a＋1)≥2，即a≤－3或a≥－2.
所以a的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)．
2．(变条件)若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的范围．
解：由题意可知，解得x>.
∴x的取值范围为.

1．利用单调性比较大小或解不等式的方法
(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上；
(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
2．已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法
(1)将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围；
(2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围．　　　　
[跟踪训练]
1．若函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是(　　)
A．f B．f(－1) C．f(－2) D．f(－2) 解析：选D　∵f(x)在(－∞，－1]上是增函数，
且－2<－<－1，
∴f(－2) 2．若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x) 解析：依题意，得不等式组
解得 答案：

复合函数y＝f(g(x))的单调性
[典例]　已知函数f(x)＝，x∈[2，6]．
(1)判断此函数在x∈[2，6]上的单调性；
(2)根据(1)的判断过程，归纳出解题步骤．
提示：(1)函数f(x)＝可分解为函数y＝和函数u＝x－1.
因为x∈[2，6]，所以u∈[1，5]，显然函数u＝x－1在x∈[2，6]上单调递增，函数y＝在u∈[1，5]上单调递减，由复合函数的单调性，知f(x)＝在x∈[2，6]上单调递减．
(2)解题步骤为：先求函数的定义域，接着分解复合函数，再判断每一层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性．
[结论]　复合函数的单调性：一般地，对于复合函数y＝f(g(x))，单调性如表所示，简记为“同增异减”.
g(x)
f(x)
f(g(x))
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
[迁移应用]
判断函数f(x)＝，x∈[3，8]上的单调性．
解：∵函数f(x)＝＝1＋，可分解为函数f(x)＝1＋和函数u＝x－1.
因为x∈[3，8]，所以u∈[2，7]，显然函数u＝x－1在x∈[3，8]上单调递增，函数f(u)＝1＋在u∈[2，7]上单调递减，由复合函数的单调性，知f(x)＝在x∈[3，8]上单调递减．

1.如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选B　由题图，可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个．故选B.
2．函数f(x)在R上是减函数，则有(　　)
A．f(3) C．f(3)>f(5) D．f(3)≥f(5)
解析：选C　因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，所以f(3)>f(5)．
3．(多选)下列四个函数中在(－∞，0]上单调递减的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x B．f(x)＝－x2
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝
解析：选AD　通过观察各函数的图象(图略)，易知f(x)＝－x2，f(x)＝x＋1在(－∞，0]上单调递增，f(x)＝x2－2x，f(x)＝在(－∞，0]上单调递减．
4．已知函数f(x)＝.
(1)求f(f(3))的值；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义法证明．
解：(1)因为f(3)＝＝，
所以f(f(3))＝f＝＝3.
(2)函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
证明：设x1和x2是区间(1，＋∞)上任意两个实数，且x1 ＝＝，
由x1，x2∈(1，＋∞)，得(x1－1)(x2－1)>0，
由x10，所以f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)．由单调性的定义可知，f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减．