数学必修 第一册4.4 函数与方程导学案

4．4.2　计算函数零点的二分法

电视台某栏目中有一个猜商品价格的游戏，规则如下：给出一种商品让参赛者猜价格，主持人给出提示语“高了”或“低了”．例如参赛者猜某种商品的价格为100元，主持人说“高了”．参赛者又猜50元，主持人说“低了”．参赛者再猜80元，主持人说“低了”．这样一直猜下去，直到猜中为止．

[问题]　(1)我们怎么猜才能尽快猜中价格呢？

(2)这种思路能不能运用到求方程的近似解中呢？

知识点一　二分法

不断地把函数y＝f(x)的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法称作二分法．

用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于连续函数的变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值异号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值不异号)不适用．　　　　

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)所有函数的零点都可以用二分法来求．(　　)

(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求其零点．(　　)

答案：(1)×　(2)×

2．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是________．

①f(x)＝3x；　②f(x)＝x2；

③f(x)＝ln x; ④f(x)＝|x－1|.

答案：②④

知识点二　二分法求函数零点近似值的步骤

设函数f(x)的定义在区间D上，且误差不超过ε.

二分法求函数零点近似值口诀

定区间，找中点，中值计算两边看；

同号去，异号算，零点落在异号间；

周而复始怎么办？误差值上来判断．　　　　

1．用二分法求方程的近似解，误差值为ε，则终止条件为(　　)

A．|x1－x2|>ε　　　　　　 B．|x1－x2|<ε

C．x1<ε<x2  D．x2<ε<x1

答案：B　

2．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．

答案：(0，0.5)　f(0.25)

[例1]　(1)下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是(　　)

(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1，3)内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．

[解析]　(1)根据零点存在定理，对于D，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数零点，故选D.

(2)设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，f(x)零点所在的区间为(1，2)，∴方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1，2)．

[答案]　(1)D　(2)(1，2)

二分法的适用条件

判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．　　　　

[跟踪训练]

在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是(　　)

A．[1，4]　　　　　　　 B．[－2，1]

C.  D．

解析：选D　∵第一次所取的区间是[－2，4]，∴第二次所取的区间可能为[－2，1]，[1，4]，∴第三次所取的区间可能为，，，.

[例2]　(链接教科书第128页例4)用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(误差不超过0.1)

[解]　令f(x)＝2x3＋3x－3，

经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，

所以函数f(x)在(0，1)内存在零点，

即方程2x3＋3x＝3在(0，1)内有解．

取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，

又f(1)>0，

所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解．

如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：

由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．

[母题探究]

(变条件)若本例中的“误差不超过0.1”换为“误差不超过0.05”结论又如何？

解：在本例的基础上，取区间(0.687 5，0.75)的中点x＝0.718 75，因为f(0.718 75)＜0，f(0.75)＞0且|0.718 75－0.75|＝0.031 25＜0.05，所以x＝0.72可作为方程的一个近似解．

用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则

(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[a，b](一般采用估计值的方法完成)；

(2)取区间端点的中点m，计算f(m)，确定有解区间是(a，m)还是(m，b)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合误差值要求，终止计算，得到函数零点的近似值．　　　　

[跟踪训练]

用二分法求2x＋x＝4在[1，2]内的近似解(误差不超过0.2)．参考数据如下表：

解：令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4＝－1<0，f(2)＝22＋2－4＝2>0.

用二分法逐次计算，列表如下：

∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，

∴2x＋x＝4在[1，2]内的近似解可取为1.375.

二分法实际应用举例

乒乓球是我国的国球，其地位是其他球类无法比拟的．乒乓球是两个半圆的球粘成的，好的乒乓球在黏合时是加热的，所以里面有塑料和胶水的气味．乒乓球虽小，但打时的速度快，变化多，技术要求高，特别是对判断力的锻炼，要求运动员眼疾手快，抓住稍纵即逝的机会，对培养顽强拼搏的精神，很有好处．因此，乒乓球已经成为一项世界性、普遍性的体育运动．

现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同．用一架天平，限称b次，把这个“坏乒乓球”找出来，并说明此乒乓球是偏轻还是偏重．

[问题探究]

1．当a＝12，b＝3时，又该如何称？

2．若“坏乒乓球偏轻”，当a＝26时，又该如何称？

提示：1.第一次，天平左右各放4个乒乓球，有两种情况：

(1)若平，则“坏乒乓球”在剩下的4个乒乓球中．第二次，取剩下的4个乒乓球中的3个乒乓球为一边，取3个好乒乓球为另一边，放在天平上．

①若仍平，则“坏乒乓球”为剩下的4个乒乓球中未取到的那个乒乓球，将此乒乓球与1个好乒乓球放到天平上一看，即知“坏乒乓球”是偏轻还是偏重；

②若不平，则“坏乒乓球”在取出的3个乒乓球之中，且知是轻还是重．任取其中2个乒乓球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏乒乓球”．

(2)若不平，则“坏乒乓球”在天平上的8个乒乓球中，不妨设右边较重．从右边4个乒乓球中取出3个乒乓球置于一容器内，然后从左面4个乒乓球中取3个乒乓球移入右边，再从外面好乒乓球中取3个乒乓球补入左边．看天平，有三种可能．

①若平，则“坏乒乓球”是容器内3个乒乓球之一且偏重；

②若左边重，“坏乒乓球”已从一边换到另一边．因此，“坏乒乓球”只能是从左边移入右边的3个乒乓球之一，并且偏轻；

③若右边重，据此知“坏乒乓球”未变动位置，而未被移动过的乒乓球只有两个(左右各一)，“坏乒乓球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．

显然对于以上三种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏乒乓球”，且知其是轻还是重．

2．将26枚乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那13个乒乓球里面；从这13个乒乓球中拿出1个，然后将剩下的12个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则“坏乒乓球”一定是拿出的那一个，若天平不平衡，则“坏乒乓球”一定在质量小的那6个乒乓球里面；将这6个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那3个乒乓球里面；从这3个乒乓球中任拿出2个，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一个即是“坏乒乓球”，若天平不平衡，则质量小的那一枚即是“坏乒乓球”．

综上可知，最多称4次就可以发现这个“坏乒乓球”．

[迁移应用]

将“a个乒乓球”改为“从A地到B地的海底电缆有15个接点”，现某接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，则怎样检测最合理？

解：如下图所示，把从A地到B地的海底电缆抽象成一条线段，图中的15个点代表电缆上的15个接点．按照从左到右的顺序将其编号为1，2，3，…，15.先检查最中间的接点，即第8号接点，若此时两端都是通路，则此接点即为故障点，检查完毕；若其中一端为断路，则故障点必在此端．假设此时左端断路，则检查1～7号中间的接点，即第4号接点，若此时两端都是通路，则此接点即为故障点，检查完毕；若其中一端为断路，则故障点必在此端．假设此时左端断路，则检查第2号接点，若此时两端都是通路，则此接点即为故障点；若左端断路，则故障点为第1号接点；若右端断路，则故障点为第3号接点，到此检查完毕．

1．下列函数不宜用二分法求零点的是(　　)

A．f(x)＝x3－1　　　　　 B．f(x)＝ln x＋3

C．f(x)＝x2＋2x＋2  D．f(x)＝－x2＋4x－1

解析：选C　因为f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．

2．用二分法求如图所示的图象对应的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)

A．x1  B．x2

C．x3  D．x4

解析：选C　能用二分法求在[a，b]内的零点的函数必须满足图象在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)<0.而x3附近的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件，故选C.

3．设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2，3)内近似解的过程中得f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，f(2.5)＜0，f(3)＞0，则方程的根落在区间(　　)

A．(2，2.25)  B．(2.25，2.5)

C．(2.5，2.75)  D．(2.75，3)

解析：选C　因为f(2.5)＜0，f(2.75)＞0，由零点存在定理知，方程的根在区间(2.5，2.75)，选C.

4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：

求方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(误差不超过0.04)．

解：因为f(1)f(1.5)<0，所以x0∈(1，1.5)；

因为f(1.406 25)≈－0.054<0，

又f(1.437 5)≈0.162>0，所以x0∈(1.406 25，1.437 5)，此时|1.406 25－1.437 5|＝0.031 25<0.04.所以x0可以是[1.406 25，1.437 5]之间的任意一个数，故取x0＝1.406 25.