湘教版（2019）必修 第一册5.4 函数y=Asin（wx+φ）的图象与性质第二课时导学案

第二课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的应用(习题课)

一个单摆如图所示，以OA为始边，OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(单位：s)的函数满足θ＝sin.

[问题]　(1)t＝0时，角θ是多少？

(2)单摆频率是多少？

(3)单摆完成5次完整摆动共需多长时间？

知识点　函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中对于参数的物理意义的理解

(1)A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅；

(2)T：T＝，它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，称为周期；

(3)f：f＝＝，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为频率；

(4)ωx＋φ：称为相位；φ：当x＝0时的相位，称为初相．　　　　

函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是(　　)

A．3π，，　　　　　　 B．6π，，

C．3π，3，－  D．6π，3，

答案：B

[例1]　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式．

[解]　法一：由图象知A＝3，T＝－＝π，

∴ω＝＝2，

∴y＝3sin(2x＋φ)．

∵点在函数图象上，

∴0＝3sin.

∴－×2＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝＋kπ(k∈Z)．

∵|φ|<，∴φ＝.

∴y＝3sin.

法二：由法一得A＝3，ω＝2.

将最高点M的坐标代入y＝3sin(2x＋φ)，得3sin＝3.

∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．

∵|φ|＜，∴取φ＝.∴y＝3sin.

法三：由图象知A＝3.∵图象过点和，

∴解得

∴y＝3sin.

确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤

(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝；

(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝；

(3)求φ，常用方法有以下2种：

 [跟踪训练]

已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小值是－5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差，且图象经过点，则函数的解析式为________．

解析：由题意知A＝5，＝，

所以T＝＝，所以ω＝4，

所以y＝5sin(4x＋φ)．

又因为图象经过点，所以＝5sin φ，

即sin φ＝，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)或φ＝＋2kπ(k∈Z)，又因为0＜φ＜，所以φ＝，

所以这个函数的解析式为y＝5sin.

答案：y＝5sin

[例2]　在函数y＝2sin的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．

[解析]　由4x＋＝kπ(k∈Z)，

得x＝－(k∈Z)，

∴函数y＝2sin的图象的对称中心坐标为(k∈Z)．

取k＝1，得满足条件．

[答案]　

[母题探究]

1．(变条件)将本例中“sin”改为“cos”，其他条件不变，结果如何？

解：由4x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，

取k＝0时，x＝－，则所求对称中心为.

2．(变条件，变设问)将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，求离y轴最近的一条对称轴方程．

解：由4x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，

取k＝0，x＝－满足题意，故离y轴最近的一条对称轴方程为x＝－.

三角函数对称轴、对称中心的求法

 [跟踪训练]

已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)，其图象最低点的纵坐标是－，相邻的两个对称中心是和，则f(x)图象的对称轴方程为________________．

解析：由题意，得A＝，T＝2＝π，∴＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)．又∵点在f(x)的图象上，∴f＝0，∴sin＝0，∴sin＝0.又∵－π＜φ＜0，∴φ＝－，∴f(x)＝sin.令2x－＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)．∴f(x)图象的对称轴方程是x＝＋(k∈Z)．

答案：x＝＋(k∈Z)

[例3]　函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)

A．f(x)的一个对称中心为

B．f(x)的图象关于直线x＝－π对称

C．f(x)在上是增函数

D．f(x)的周期为

[解析]　根据函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，可得A＝3，＝＝－，所以ω＝2，再根据点是五点作图法中第三个点可得2×＋φ＝π，所以φ＝，所以y＝3sin，显然，它的周期为＝π，故排除D；

当x＝时，函数y＝f(x)＝3sin＝0，故函数的图象关于点对称，故A正确；

当x＝－π时，f(x)＝，不是最值，故f(x)的图象不关于直线x＝－π对称，故排除B；

在上，2x＋∈，y＝3sin不是增函数，故排除C.

[答案]　A

正、余弦型函数奇偶性的判断方法

正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为奇函数．　　　　

[跟踪训练]

1．(多选)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，下列说法正确的是(　　)

A．函数y＝f(x)的图象关于点对称

B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称

C．函数y＝f(x)在单调递减

D．该图象向右平移个单位可得y＝2sin 2x的图象

解析：选BD　由函数的图象可得A＝2，周期T＝4＝π，所以ω＝＝＝2，当x＝时，函数取得最大值，即f＝2sin＝2，所以2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，则φ＝2kπ＋，又|φ|<，得φ＝，故函数f(x)＝2sin.

对于A，f＝2sin≠0，故A不正确；

对于B，当x＝－时，f＝2sin＝2sin＝－2，即直线x＝－是函数f(x)的一条对称轴，故B正确；

对于C，当－≤x≤－时，－π≤2x＋≤0，所以函数f(x)在区间不单调，故C错误；

对于D，将f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝2sin＝2sin 2x的图象，即D正确．故选B、D.

2．已知函数f(x)＝2sin的最小正周期为π，则函数y＝f(x)在区间上的最大值和最小值分别是(　　)

A．2和－2　　　　　　 B．2和0

C．2和－1  D．和－

解析：选C　由题知＝π，得ω＝2，所以函数y＝f(x)＝2sin.又因为x∈，所以2x－∈，所以sin∈，所以2sin∈[－1，2]，故函数f(x)的最大值为2，最小值为－1，故选C.

1．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)

解析：选A　当x＝0时，y＝sin＝－<0，排除B、D；当x＝时，y＝sin＝sin 0＝0，排除C，故选A.

2．设函数f(x)＝sin的图象为C，下列结论中正确的是(　　)

A．函数f(x)的最小正周期是2π

B．图象C关于点对称

C．图象C可由函数g(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到

D．函数f(x)在区间上是增函数

解析：选B　函数f(x)＝sin的最小正周期是T＝＝π；因为f＝sin＝0，所以图象C关于点对称；图象C可由函数g(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到；函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是(k∈Z)，取k＝0，得函数f(x)的一个单调递增区间是，一个单调递减区间是，故在区间上f(x)不是单调递增的，而是先递增后递减．

3．如图所示的曲线是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，则这个函数的解析式是____________．

解析：由函数图象可知A＝2，T＝×＝π，即＝π，∴ω＝2.又是五点作图法中的第五个点，即2×＋φ＝2π，∴φ＝.∴所求函数的解析式为y＝2sin.

答案：y＝2sin