高中数学5.2 任意角的三角函数第二课时导学案

第二课时　用有向线段表示三角函数

如图，已知锐角α的终边交单位圆(圆心在原点，半径为单位长度的圆)于点P，过点P作PM⊥OA于M，过A作单位圆的切线，交锐角α的终边于T.

[问题]　试用锐角α的三角函数表示OM，MP，AT?

知识点　有向线段与三角函数线

1．有向线段的概念

规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段．

规定：以坐标轴的方向为有向线段的正方向．

2．三角函数线

有向线段，，分别叫作角α的正弦线、余弦线和正切线．

其中有向线段DP，OD，AT的方向和长度分别代表了sin α，cos α，tan α的符号和绝对值、正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线．

1．三条有向线段与x轴或y轴正方向同向的为正向线段，为正值；与x轴或y轴负方向同向的为负向线段，为负值．　　　　

2．单位圆中的三角函数线是数形结合的有效工具，借助它，不但可以解决比较大小、解三角方程、解三角不等式等问题，而且可以直观地研究同角三角函数间的基本关系．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)三角函数线的长度等于三角函数值．(　　)

(2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．(　　)

(3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×

2．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边(　　)

A．在x轴上　　　　　 B．在y轴上

C．在直线y＝x上  D．在直线y＝－x上

答案：B

3．sin 1.5________ sin 1.2.(填“>”或“<”)

答案：>

[例1]　作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：

(1)70°；(2)－110°；(3).

[解]　(1)如图①，有向线段MP为70°角的正弦线，有向线段OM为70°角的余弦线，有向线段AT为70°角的正切线．

(2)如图②，有向线段MP为－110°角的正弦线，有向线段OM为－110°角的余弦线，有向线段AT为－110°角的正切线．

(3)在平面直角坐标系中作以坐标原点为圆心的单位圆，如图③所示，以x轴的正半轴为始边作的终边，与单位圆交于点P，作PM⊥x轴于点M，过单位圆与x轴正半轴的交点A作x轴的垂线，与OP的反向延长线交于点T，则有向线段MP，OM，AT分别为角的正弦线、余弦线、正切线．

三角函数线的作法

(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线；

(2)作正切线时，应从A(1，0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线AT，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线．　　　　

[跟踪训练]

作出－的正弦线、余弦线和正切线．

解：如图所示，

－的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.

角度一　利用三角函数线比较大小

[例2]　利用三角函数线比较下列各组数的大小：

①sin 与sin ；②tan 与tan .

[解]　如图所示，角的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T，作PM⊥x轴，垂足为M，则sin ＝MP，tan ＝AT；角的终边与单位圆的交点为P′，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T′，作P′M′⊥x轴，垂足为M′，则sin ＝M′P′，tan ＝AT′，

由图可知，|MP|＞|M′P′|，且MP与M′P′都与y轴正方向相同，所以①sin＞sin；|AT|＞|AT′|，且AT与AT′都与y轴正方向相反，所以②tan＜tan.

角度二　利用三角函数线解不等式

[例3]　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：

(1)sin α≥；(2)cos α≤－.

[解]　(1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为.

(2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图②中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为.

角度三　利用三角函数线求函数的定义域

[例4]　求函数f(x)＝＋ln的定义域．

[解]　由题意，得自变量x应满足不等式组

即

则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，

即定义域为.

1．利用三角函数线比较大小的两个关注点

(1)三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值；

(2)比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向．

2．利用三角函数线解三角不等式的方法

3．利用三角函数线求函数的定义域

解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角α的三角函数线，然后运用运动的观点，找出符合条件的角的范围．在这个解题过程中实现了一个转化，即把代数问题几何化，体现了数形结合的思想．

[跟踪训练]

若0<α<2π，且sin α<，cos α>.利用三角函数线，得到α的取值范围是________．

解析：利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB区域内，所以α的取值范围是∪.

答案：∪

1．下列三个命题：

①与的正弦线相等；②与的正切线相等；③与的余弦线相等．其中正确命题的个数为(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．2

C．3  D．0

解析：选B　和的正弦线关于y轴对称，大小相等，方向相同；和两角的终边在同一条直线上，因而所作正切线相等；和的余弦线方向不同．

2．使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是(　　)

A.  B．

C.  D．[0，π]

解析：选A　如图，画出三角函数线sin x＝MP，cos x＝OM，由于sin＝cos，

sin ＝cos ，

为使sin x≤cos x成立，

则由图可得－≤x≤.

3．若α∈，试判断sin α＋cos α与1的大小关系，并给出证明．

解：若α∈，则sin α＋cos α>1.

证明：设角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，则角α的终边与单位圆的交点P在第一象限，设点P的坐标为(x，y)．

法一：易知0<x<1，0<y<1，x2＋y2＝1.

因为x2＋y2＝1，(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy>1，所以x＋y>1.

由三角函数的定义可知sin α＝y，cos α＝x，所以sin α＋cos α>1.

法二：如图，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则sin α＝MP，cos α＝OM，OP＝1，由三角形两边之和大于第三边，可知MP＋OM>OP，即sin α＋cos α>1.