高中数学湘教版（2019）必修 第一册5.3 三角函数的图象与性质第二课时导学案及答案

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第二课时　正弦函数、余弦函数的性质


过山车是一项富有刺激性的娱乐项目．那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷．过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言．一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)这几个循环路径．
[问题]　(1)函数y＝sin x与y＝cos x图象也像过山车一样“爬升”“滑落”，这是y＝sin x，y＝cos x的什么性质？
(2)过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，再爬升，对应函数y＝sin x，y＝cos x的什么性质？函数y＝sin x，y＝cos x的图象在什么位置取得最大(小)值？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点一　函数的周期性
1．周期函数：一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，x±T都有意义，并且f(x±T)＝f(x)，则称函数y＝f(x)为周期函数，T称为这个函数的一个周期．
2．最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期．

对周期函数定义的再理解
(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一；
(2)如果T是函数f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期；
(3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)与y＝Acos(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的函数的周期常用公式T＝来求．　　　　

是不是所有的函数都是周期函数？若一个函数是周期函数，它的周期是否唯一？
提示：并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．

1．若函数f(x)的周期为3，且f(1)＝－2，则f(7)＝________．
答案：－2
2．函数y＝cos 2x的周期为________．
答案：π
3．函数y＝sin(－x)的周期为________．
解析：∵y＝sin(－x)＝－sin x，∴周期为2π.
答案：2π
知识点二　正弦函数、余弦函数的性质

　　函数
图象与性质　　
y＝sin x
y＝cos x
图象


定义域


值域
[－1，1]
[－1，1]
周期性
最小正周期为
最小正周期为
奇偶性
函数
函数
单调性
在
(k∈Z)上递增；
在
(k∈Z)上递减
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增；
在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减
对称轴
x＝kπ＋(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
对称中心
(kπ，0)(k∈Z)
(k∈Z)
最值
x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝1；x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－1
x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝2kπ＋π，k∈Z时，ymin＝－1

1．正、余弦函数的单调性
正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调．
2．三角函数的最值与单调性之间的联系
如图，由三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的图象可知：图象相邻两个最大值之间的距离为一个周期，两个最大值之间有一个最小值，从左至右第一个最大值点x0与最小值点x0＋之间构成的区间为减区间，最小值点x0＋与第二个最大值点x0＋T所构成的区间为增区间，　　　　
从而三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的单调递减区间为(k∈Z)，单调递增区间为(k∈Z)．

3．三角函数的最值与周期性之间的联系
由三角函数图象可知，相邻两个最大值之间的区间长度为周期T，相邻最大值与最小值之间的区间长度为，相邻的最值点与对称中心之间的区间长度为.

正弦函数和余弦函数的图象都既是中心对称图形又是轴对称图形，它们的对称中心和对称轴有什么关系？
提示：正弦函数图象的对称中心、对称轴分别与余弦函数图象的对称轴，对称中心对应．

判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝3sin 2x是奇函数．(　　)
(2)函数y＝－cos x是偶函数．(　　)
(3)正弦函数y＝sin x在R上是增函数．(　　)
(4)余弦函数y＝cos x的一个减区间是[0，π]．(　　)
(5)∃x∈[0，2π]满足sin x＝2.(　　)
(6)当余弦函数y＝cos x取最大值时，x＝π＋2kπ，k∈Z.(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×　(6)×


正、余弦函数的周期性和奇偶性
角度一　正、余弦函数的最小正周期
[例1]　求下列函数的最小正周期：
(1)ƒ(x)＝cos；
(2)ƒ(x)＝|sin x|.
[解]　(1)法一(定义法)：∵ƒ(x)＝cos
＝cos＝cos
＝ƒ(x＋π)，
即ƒ(x＋π)＝ƒ(x)，
∴函数ƒ(x)＝cos的最小正周期T＝π.
法二(公式法)：∵y＝cos，∴ω＝2.
又T＝＝＝π.
∴函数ƒ(x)＝cos的最小正周期T＝π.
(2)法一(定义法)：∵ƒ(x)＝|sin x|,
∴ƒ(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝ƒ(x)，
∴ƒ(x)的最小正周期为π.
法二(图象法)：∵函数y＝|sin x|的图象如图所示．

由图象可知最小正周期T＝π.

求三角函数的周期的方法
(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数；
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的函数，可利用T＝来求；
(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．　　　　
角度二　正、余弦函数的奇偶性和周期性的综合
[例2]　定义在R上的函数ƒ(x)既是偶函数又是周期函数，若ƒ(x)的最小正周期是π，且当x∈时，ƒ(x)＝sin x，求ƒ的值．
[解]　∵ƒ(x)的最小正周期是π，
∴ƒ＝ƒ＝ƒ.
∵ƒ(x)是R上的偶函数，
∴ƒ＝ƒ＝sin＝.
∴ƒ＝.
[母题探究]
1．(变条件)若例2中“偶”变“奇”其他条件不变，求ƒ的值．
解：ƒ＝ƒ＝－ƒ＝－sin＝－.
2．(变设问)若例2条件不变，求ƒ的值．
解：ƒ＝ƒ＝ƒ
＝ƒ＝sin ＝.

1．解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法：利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题．
2．推得函数周期的若干形式：
(1)若f(x＋t)＝f(x)，则函数周期为t；
(2)若f(x＋t)＝－f(x)，则函数周期为2t；
(3)若f(x＋t)＝，则函数周期为2t；
(4)若f(x＋t)＝－，则函数周期为2t.　　　　
[跟踪训练]
1．下列函数中是奇函数，且最小正周期为π的函数是(　　)
A．y＝cos|2x|　　　　　　　 B．y＝|sin 2x|
C．y＝sin D．y＝cos
解析：选D　y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sin＝cos 2x是偶函数，y＝cos＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.
2．函数ƒ(x)为偶函数且ƒ＝－ƒ(x)，ƒ＝1，则ƒ＝________．
解析：∵ƒ＝－ƒ(x)，∴ƒ(x＋π)＝ƒ(x)，即T＝π，ƒ＝ƒ＝ƒ＝ƒ＝1.
答案：1

正、余弦函数的单调性
角度一　正、余弦函数值的大小比较
[例3]　(链接教科书第177页例3)不通过求值，比较下列各组数的大小：
(1)sin 250°与sin 260°；(2)cos与cos.
[解]　(1)∵函数y＝sin x在上单调递减，且90°<250°<260°<270°，
∴sin 250°>sin 260°.
(2)cos＝cos＝cos，
cos＝cos＝cos.
∵函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，
且0<<<π，
∴cos>cos，∴cos>cos.

比较正、余弦函数值大小的方法
(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较；
(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．　　　　
角度二　求正、余弦函数的单调区间
[例4]　(链接教科书第178页例4)求下列函数的单调区间：
(1)y＝cos；
(2)y＝3sin.
[解]　(1)当2kπ－π≤＋≤2kπ，k∈Z时，函数单调递增，
故函数的单调递增区间是(k∈Z)．　
当2kπ≤＋≤2kπ＋π，k∈Z时，函数单调递减，
故函数的单调递减区间是(k∈Z)．
(2)y＝3sin＝－3sin，
要求y＝－3sin的增区间即求y＝sin的减区间，
即2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
所以kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数y＝3sin的递增区间为(k∈Z)．
要求y＝－3sin的减区间即求y＝sin的增区间，
即2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
所以kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数y＝3sin的递减区间为
(k∈Z)．

求解与正弦、余弦函数有关的单调区间的两个技巧
(1)数形结合：结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间；
(2)整体代换：确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的方法，采用“换元法”整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转化为正数．　　　　
[跟踪训练]
1．函数y＝|cos x|的一个单调减区间是(　　)
A.　　　　 B．
C. D．
解析：选C　函数y＝|cos x|＝图象如图所示：

单调减区间有，，…，故选C.
2．不通过求值，比较sin与sin的大小．
解：sin＝sin＝sin，
sin＝sin＝sin ，
∵y＝sin x在上是增函数，
∴sin 即sin
正、余弦函数的最值(值域)
[例5]　(链接教科书第177页例2)(1)求函数y＝2cos，x∈的值域；
(2)求函数y＝cos2x＋4sin x的最值及取到最大值和最小值时x的取值集合．
[解]　(1)∵－ ∴－ ∴函数y＝2cos，x∈的值域为(－1，2)．
(2)y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5.
∴当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝4；
当sin x＝－1，即x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－4.
∴ymax＝4，此时x的取值集合是；
ymin＝－4，此时x的取值集合是.

三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法
(1)形如y＝asin x(或y＝acos x)型，可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论；
(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值；
(3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．　　　　
[跟踪训练]
求函数y＝cos2x－sin x，x∈的最值．
解：y＝cos2x－sin x＝1－sin2x－sin x＝－＋.
因为－≤x≤，－≤sin x≤，
所以当x＝－，即sin x＝－时，函数取得最大值，ymax＝；
当x＝，即sin x＝时，函数取得最小值，ymin＝－.

正弦函数图象对称性问题的探究
1．下列图案中，哪些是轴对称图形？(①②⑤⑥⑦)哪些是中心对称图形？(③④⑥)有没有既是轴对称又是中心对称的图形？(⑥)

2．正弦函数的图象如下图，利用图象探索正弦函数图象的对称性．

[问题探究]
1．正弦函数的图象有对称轴吗？如果有，请写出对称轴方程，如果没有，请说明理由．
提示：由正弦函数的图象可以看出，它是轴对称图形，有无数条对称轴，经过最高点或最低点且与x轴垂直的直线都是它的对称轴，对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z.
2．正弦函数的图象有对称中心吗？如果有，请写出对称中心的坐标，如果没有，请说明理由．
提示：由正弦函数的图象可以看出，它也是中心对称图形，有无数个对称中心，图象与x轴的交点都是它的对称中心，对称中心坐标为(kπ，0)，k∈Z.
3．画出函数y＝sin |x|的图象，并利用图象说明它的对称性．
提示：由图象可知，函数y＝sin |x|的图象是轴对称图形，对称轴为y轴，它不是中心对称图形．

[迁移应用]
1．求函数y＝2sin的对称轴方程及对称中心坐标．
解：由x－＝＋kπ，k∈Z，得对称轴方程为x＝π＋kπ，k∈Z.由x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，∴对称中心坐标为，k∈Z.
2．如果函数y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于直线x＝－对称，那么a的值是多少？
解：∵函数的图象关于直线x＝－对称，
∴f(0)＝f，
即sin 0＋acos 0＝sin＋acos，∴a＝－1.

1．(多选)设函数f(x)＝sin，x∈R，则关于f(x)的说法正确的是(　　)
A．最小正周期为π　　　　　 B．最小正周期为
C．奇函数 D．偶函数
解析：选AD　f(x)＝sin＝－sin＝－cos 2x，因此f(x)是偶函数，且是最小正周期为＝π的周期函数，故选A、D.
2．已知函数f(x)＝sin是奇函数，则φ的值可以是(　　)
A．0 B．－
C. D．π
解析：选B　法一：f(x)＝sin为奇函数，则只需＋φ＝kπ，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z.显然当k＝0时，φ＝－满足题意．
法二：因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即sin＝0，所以φ＋＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z.令k＝0，则φ＝－.
3．函数y＝3cos在x＝________时，y取最大值．
解析：当函数取最大值时，x－＝2kπ(k∈Z)，x＝4kπ＋(k∈Z)．
答案：4kπ＋(k∈Z)
4．sin________sinπ(填“>”或“<”)．
解析：sinπ＝sin＝sin，
sinπ＝sin＝sin.
因为y＝sin x在上单调递增，
又0<<<，
所以sin 所以sin 答案：<
5．函数y＝1＋2sin的单调递增区间是________．
解析：y＝1＋2sin＝1－2sin.令u＝x－，根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是y＝sin u的单调递减区间．由＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，得π＋2kπ≤x≤π＋2kπ(k∈Z)，故函数y＝1＋2sin的单调递增区间是(k∈Z)．
答案：(k∈Z)