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    湘教版(2019)必修第一册学案:第二课时 函数的最大(小)值

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    2021学年3.2 函数的基本性质第二课时学案设计

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    这是一份2021学年3.2 函数的基本性质第二课时学案设计,共6页。
     第二课时 函数的最大()科考队对早穿棉袄午穿纱围着火炉吃西瓜这一独特的沙漠气候进行科学考查如图是某天气温随时间的变化曲线[问题] (1)该天的最高气温和最低气温分别是多少?(2)设该天某时刻的气温为f(x)f(x)在哪个范围内变化?(3)从函数图象上看气温的最大值(最小值)在什么时刻取得?                                                                                                                                                                                    知识点 函数的最大值与最小值前提条件:设D是函数f(x)的定义域(1)最大值:如果有aD使得不等式f(x)f(a)对一切xD成立就说f(x)xa处取到最大值Mf(a)Mf(x)的最大值af(x)的最大值点(2)最小值:如果有bD使得不等式f(x)f(b)对一切xD成立就说f(x)xb处取到最小值mf(b)mf(x)的最小值bf(x)的最小值点最大值和最小值统称为最值对函数最大值(最小值)定义的再理解(1)M(m)首先是一个函数值它是值域中的一个元素;(2)最大()值定义中的对一切xD成立是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式即对于定义域内的全部元素都有f(x)M(f(x)m)成立     1判断正误(正确的画“√”错误的画“×”)(1)任何函数都有最大()(  )(2)函数f(x)[ab]上的最值一定是f(a)f(b)(  )(3)函数的最大值一定比最小值大(  )答案:(1)× (2)× (3)2函数yf(x)[22]上的图象如图所示则此函数的最小值、最大值分别是________________答案:1 23函数f(x)x[24]f(x)的最大值为______最小值为________答案:1 图象法求函数的最值[1] 已知函数f(x)f(x)的最大值、最小值[] 作出函数f(x)的图象()由图象可知x±1f(x)取最大值为f(1)f(1)1.x0f(x)取最小值为f(0)0f(x)的最大值为1最小值为0.用图象法求最值的3个步骤     [跟踪训练] 已知函数f(x)(1)画出f(x)的图象;(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值解:(1)函数f(x)的图象如图所示(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)1无最大值.单调性法求最值[2] (链接教科书第80页例2)已知函数f(x).(1)判断函数f(x)在区间[0)上的单调性并用定义证明;(2)求函数f(x)在区间[29]上的最大值与最小值[] (1)f(x)在区间[0)上单调递增证明:设x1x2是区间[0)上任意两个实数x1<x2f(x1)f(x2).因为x1x2<0(x11)(x21)>0所以f(x1)f(x2)<0f(x1)<f(x2)所以函数f(x)在区间[0)上单调递增(2)(1)知函数f(x)在区间[29]上是单调递增的故函数f(x)在区间[29]上的最大值为f(9)最小值f(2).1利用单调性求函数的最大()值的一般步骤(1)判断函数的单调性;(2)利用单调性求出最大()2函数的最大()值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[ab]上单调递增()f(x)在区间[ab]上的最小()值是f(a)最大()值是f(b) (2)若函数f(x)在区间[ab]上单调递增()在区间[bc]上单调递减()f(x)在区间[ac]上的最大()值是f(b)最小()值是f(a)f(c)中较小()的一个     [跟踪训练]1定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数ab总有>0成立f(3)=-1f(1)2f(x)[31]上的最大值是________解析由题意可知函数f(x)R上为增函数则其在[31]上的最大值应为f(1)2.答案:22已知函数f(x)x[35](1)判断函数f(x)的单调性并证明;(2)求函数f(x)最大值和最小值解:(1)f(x)是增函数证明如下:x1x2是区间[35]上任意两个实数x1x2f(x1)f(x2)因为3x1<x25所以x1x20(x12)(x22)0所以f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)所以f(x)[35]上为增函数(2)(1)f(x)[35]上为增函数f(x)maxf(5)f(x)minf(3).利用函数的最值解决恒成立问题[3] 已知函数f(x)x[1)(1)a求函数f(x)的最小值;(2)若对任意x[1)f(x)>0恒成立试求实数a的取值范围[] (1)af(x)x2.x1x2是区间[1)上任意两个实数x1<x2f(x1)f(x2)(x1x2)<0所以f(x1)<f(x2)即函数f(x)[1)上为增函数所以函数f(x)[1)上的最小值为f(1)12.(2)法一:依题意f(x)>0[1)上恒成立x22xa>0[1)上恒成立yx22xax[1)y(x1)2a1[1)上为增函数知当x1y取得最小值3a.所以当3a>0a>3f(x)>0恒成立于是实数a的取值范围为(3)法二:依题意f(x)>0[1)上恒成立x22xa>0[1)上恒成立所以a>x22x[1)上恒成立g(x)=-x22xx[1)因为g(x)=-x22x[1)上为减函数所以g(x)maxg(1)=-12=-3所以a>3故实数a的取值范围为(3)分离参数法解决恒成立问题在求参数a的取值范围时将参数a单独分离出来求解:若对区间I上的任意xa>f(x)恒成立a>f(x)max;若对于区间I上的任意xa<f(x)恒成立a<f(x)min;若在区间I上存在x使a>f(x)成立a>f(x)min;若在区间I上存在x使a<f(x)成立a<f(x)max其他(af(x))情形类似可得相应结论     [跟踪训练]设函数f(x)xx[1)则使f(mx)mf(x)<0恒成立的实数m的取值范围是________解析易知f(x)为增函数m0.m>0由函数f(x)的单调性可知f(mx)mf(x)均为增函数此时不符合题意m<0f(mx)mf(x)<0可化为mxmx<0所以2mx·<01<2x2.因为y2x2x[1)上的最小值为2所以1<2m2>1m<1.答案:(1)1二次函数yax24xa的最大值是3a(  )A1         B1C2  D解析A 二次函数yax24xa的最大值3解得a=-1.2若函数f(x)在区间[1a]上的最小值为a________解析f(x)在区间[1a]上单调递减函数f(x)的最小值为f(a)a4.答案:43函数f(x)kx2x3k1若对于任意x[41]不等式f(x)0恒成立则实数k的取值范围是________解析:f(x)kx2x3k1(k2)x3k1.由对于任意x[41]不等式f(x)0恒成立可得解得-9k.所以k的取值范围是.答案:

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