热点06 平面向量、复数-2022年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）（解析版）

这是一份热点06 平面向量、复数-2022年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）（解析版），共40页。试卷主要包含了平面向量的线性运算技巧，向量与三角的综合应用等内容，欢迎下载使用。

热点06 平面向量、复数



从新高考的考查情况来看，平面向量主要命题方向：向量的线性运算、向量的数量积运算，利用向量数量积解决模长、夹角问题，平行或垂直问题、平面向量基本定理及应用，有时也会与三角函数、平面解析几何进行交汇命题共线向量定理，主要以选择题和填空题的形式呈现，难度不大．考查考生的直观想象、数学运算核心素养和方程思想、数形结合思想的运用．复数及其运算也是新高考的一个必考点，内容比较简单，主要考查复数的有关概念和复数的四则运算。

1．平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．
2、数量积和模的计算问题，求解思路：①直接利用数量积的定义；②建立坐标系，通过坐标运算求解．
在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算．求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方．
3、向量与平面几何综合问题的解法
1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
2）基底法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来求解．
4、复数一般考查共轭复数以及复平面的意义比较多，中间夹杂着复数之间的运算法则，这类题目相对比较简单，属于送分题目。牵涉到知识点也是比较少，主要注重基本运算；特别会求复数类题目可采取答案带入式运算。

热点1. 平面向量的最值（范围）问题
①代数法：即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
②几何法(数形结合法)：即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；．
热点2. 平面向量与其它知识的交汇问题
1．向量在解析几何中的作用
(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．
(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0；a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到．
2．向量与三角的综合应用
解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角问题，再利用三角知识进行求解．


A卷（建议用时60分钟）
一、单选题
1．（2021·江苏镇江·高三期中）我国东汉数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若，，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可．
【详解】∵ ∴
∵
∴＝∴＝，∴故选：C
2．（2021·河北衡水中学模拟预测）已知向量，的夹角为，，，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】将，两边平方再解方程组即可.
【详解】由，得，由，得，
从而有，即．故选：A
3．（2021·江苏·无锡市教育科学研究院高三期中）已知向量=（1，3），向量=（3，t），=2，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据求出t，再利用向量的坐标运算求解向量夹角的余弦.
【详解】，，解得，则，
故选：B.
4．（2021·陕西蒲城·高三期中）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝DC＝2，BC＝1，P是DC的中点，则（ ）
A． B． C．3 D．9
【答案】C
【分析】将所求向量均用表示后运算即可．
【详解】因为，，
所以，故选：C

5．（2021·山东·泰安一中模拟预测）已知是互相垂直的单位向量，若，则（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【分析】利用向量数量积运算求得正确答案.
【详解】故选：A
6．（2021·福建龙岩·高三期中）已知向量，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出的坐标，进而根据平面向量平行的坐标运算求得答案.
【详解】由题意，，因为，所以.故选：A.
7．（2021·重庆·模拟预测）已知单位向量的夹角为.若，则实数的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】根据向量的数量积与向量垂直的关系，即可求解.
【详解】由题意知，，
又，所以故，故选：B.
8．（2021·江苏盐城·高三期中）下列向量一定与向量垂直的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据方向上的单位向量分别是，再根据向量垂直的数量积表示，即可得到答案；
【详解】分别是方向上的单位向量，设，
，一定与向量垂直的是，故选：A.
9．（2021·四川成都·高三期中）已知向量，，则在方向上的投影是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用在方向上的投影的定义直接计算即得.
【详解】因向量，，则有，
所以在方向上的投影是3.故选：C
10．（2021·辽宁·高三期中）已知四边形ABCD的三个顶点为A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，则顶点D的坐标为（ ）
A． B． C．(3，2) D．(1，3)
【答案】A
【分析】先设出点的坐标，据所给的点的坐标，写出向量的坐标，由横坐标和纵坐标分别相等，得到结果．
【详解】设顶点的坐标为，，且，
故选：．
11．（2021·河南·高三期中）如图所示，矩形的对角线相交于点，点在线段上且，若（，），则（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以为基底表示出，求得，，从而确定正确答案.
【详解】因为四边形为矩形，，所以，所以，因为（，），所以，，所以．故选：A
12．（2021·河北衡水中学模拟预测）如果复数（其中为虚数单位，为实数）为纯虚数，那么（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】A
【分析】根据给定条件利用复数的除法运算化简复数，再结合复数的分类即可作答.
【详解】
，因复数为纯虚数，
于是得且，解得，所以.故选：A
13.（2021·福建省连城县第一中学高三阶段练习）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意根据复数的几何意义得到，再根据复数代数形式的乘法运算及共轭复数的概念计算可得.
【详解】解：由题知，，则，所以，故选：D．
14．（2021·福建师大附中高三期中）已知，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据复数的乘除运算可得，利用复数的几何意义即可得出结果.
【详解】由题意知，，
所以复数z在复平面上对应的点为，在第四象限.故选：D
15．（2021·江苏海安·高三期中）已知是关于x的方程的一个根，则该方程的另一个根为（ ）
A．2i＋3 B．－2i－3 C．2i－3 D．－2i＋3
【答案】B
【分析】直接根据根与系数的关系求解.
【详解】根据题意，方程的另一个根为.故选：B.
16．（2021·山东青岛·高三期中）若复数满足，则复数的共轭复数不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设复数，根据求出参数满足的表达式，将选项代入判断是否成立即可
【详解】设复数，则，
所以，选项A中，，不满足等式，错误；
选项B中，，满足等式，正确；选项C中，，满足等式，正确；
选项D中，，满足等式，正确；故选：A
二、多选题
17．（2021·河北衡水中学模拟预测）已知，，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．的最小值为5 D．若向量与向量的夹角为钝角，则
【答案】BC
【分析】A：两向量平行，成数乘关系，坐标成比例；B：两向量垂直，数量积为零；
C：当两向量同向时，它们差的模最小；D：两向量夹角为钝角时，数量积为负且夹角不能为18°.
【详解】由，得，A不正确；由，得，，B正确；
，当时，取得最小值5，C正确；
当时，即，得，当与反向时，，故若向量与向量的夹角为钝角，则，或，D不正确.故选：BC.
18．（2021·全国全国·模拟预测）如图，已知点为正十边形的中心，且，则下列结论正确的有（ ）

A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】运用正十边形的性质，结合平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的运算性质逐一判断即可.
【详解】连接EH，由正十边形的性质知，则，所以A正确；

取AB的中点M，连接OM，则，，，所以，所以，B正确；
由向量加法的几何意义，得，所以C不正确；
连接，，由题意可知，，，
所以，所以D正确．故选：ABD．
19．（2021·重庆一中高三期中）已知点G是三角形的重心，以下结论正确的是（ ）
A． B．若，则三角形是等腰三角形
C．三角形的面积等于，则 D．若，则
【答案】AB
【分析】根据中线及重心的性质利用向量运算可判断A，由中线的性质及数量积为0可判断可知B的正误，根据数量积的定义及三角面积公式可判断C，由A及数量积的运算法则及性质计算可判断D.
【详解】如图，M、N分别为BC、AB的中点，

由重心的性质及向量的运算知，，故A正确；
因为为中线，所以,由，
知即,所以三角形是等腰三角形，故B正确；
三角形的面积等于即,解得,所以,故C不正确；
由A知，
所以，故D不正确.故选：AB
20．（2021·重庆九龙坡·高三期中）下列说法错误的是（ ）
A．若，则或 B．若，，则
C．若， ，则 D．若，，则或
【答案】ABCD
【分析】对于A，模长相等的两个向量方向任意，不一定平行；对于B，两个向量相等要求向量方向相同且模长相等，当时，无法推出这两点，故B不正确；对于C，当时，选项不正确；对于D，或，即可得到D错误.
【详解】对于A，若，则两个向量的方向可以是任意的，不一定是平行的，故A不正确；
对于B，两个向量相等要求向量方向相同且模长相等，当时，满足，
和的方向可以是任意的，且两者的模长也不一定相同，故B不正确；
对于C，若， ，当时，满足， ，但是不满足，故C错误；
对于D，或者，即或，故D错误；
故选：ABCD.
21．（2021·重庆·模拟预测）已知复数（为虚数单位）在复平面内的对应的点为，复数满足在复平面内对应的点为，则下列结论正确的有（ ）
A．复数的虚部为 B．
C．的最大值 D．的最小值为
【答案】BC
【分析】根据复数的概念和几何意义即可求解.
【详解】对于A，由得，虚部为1，故A错误，
对于B，因为，，在复平面内对应的点为，则，
所以，故B正确，对于C，由题意知，点B在以为圆心，半径为2的圆周上，
根据复数的几何意义，，所以，，故C正确，
对于D，表示点B与定点的距离，易知点在圆内，所以，故D错误.故选：BC.
22．（2021·江苏·南京师大苏州实验学校高三期中）已知实数a满足，（i为虚数单位），复数，则（ ）
A．z为纯虚数 B．为虚数 C． D．
【答案】ACD
【分析】根据复数的乘法运算以及复数相等可求得a，得到复数z和，逐一判断可得选项.
【详解】解：因为，所以，所以，所以，，
所以为纯虚数，故A正确；为实数，故B不正确；
，故C正确；，故D正确，故选：ACD.
23．（2021·浙江浙江·高三期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若互为共轭复数，则为实数 B．若i为虚数单位，n为正整数，则
C．复数的共轭复数为 D．复数为的虚部为－1
【答案】AD
【分析】设做乘法运算可判断A；根据复数乘方的周期性计算可判断B；化简求出共轭复数可判断C，由复数的概念可判断D，
【详解】设，则为实数，A选项正确.，B选项错误.
，其共轭复数是，C选项错误.的虚部为，D选项正确.故选：AD.
三、填空题
24．（2021·四川·成都七中高三期中）已知向量，．
（1）若当时，，则实数的值为_______________________；
（2）若存在正数，使得，则实数的取值范围是__________________．
【答案】
【分析】（1）由时，得到，，然后根据求解；（2）根据存在正数，使得，则，有解，利用二次函数的根的分布求解.
【详解】（1）当时，，，
因为，所以，解得，所以实数的值为-2；
（2）因为存在正数，使得，所以，有解，
即，有解，所以或，
解得或，所以实数的取值范围是.故答案为：-2，
25．（2021·上海普陀·一模）设为虚数单位，若复数，则的实部与虚部的和为___________.
【答案】
【分析】利用复数的乘法化简复数，即可求得结果.
【详解】因为，因此，复数的实部与虚部之和为.故答案为：.
26．（2021·江苏镇江·高三期中）已知非零向量不共线，若，，，且，，三点共线，则___________.
【答案】
【分析】根据三点共线，则对应向量共线，则存在非零实数，使得，即可求得参数.
【详解】因为，，三点共线，故可得//，则存在非零实数，使得，
又，，故可得，又非零向量不共线，
故可得，解得.故答案为：.
四、解答题
27．（2021·湖北·高三期中）如图，在菱形ABCD中，若，，，．
（1）若，，求，，x，y的值；（2）求的值．

【答案】（1），，，.（2）-2
【分析】（1）根据平面向量的基本定理即可求解.(2)由向量的数量积，即可运算.
（1）,,故，，，.
（2）由(1)得：

28．（2021·山东德州·高三期中）已知向量与是夹角为的单位向量，且向量.
（1）求；（2）若，求实数的值.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用向量模的求法以及向量数量积即可求解.（2）根据向量数量积等于零即可求解.
（1）由题意可得，
，
（2）根据题意，则有，

即，所以，.
29．（2021·全国·高三专题练习）的内角，，的对边分别为，，，已知，，．（1）求角和边长；（2）设为边上一点，且为角的平分线，试求三角形的面积；（3）在（2）的条件下，点为线段的中点，若，分别求和的值．
【答案】（1）；；（2）；（3），．
【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可得，结合，可求的值，进而根据余弦定理可求的值．（2）由角平分线的性质可知：，进而根据三角形的面积公式即可求解．
（3）由题意可得，根据平面向量的基本定理、共线定义以及平面向量的运算可得，即可得的值．
【详解】（1）因为，∴在中，由余弦定理得，∴
（2）由角分线性质知：，所以过做垂直于点，

则所以
（3）由题意可知：，
∴，.
【点睛】关键点点睛：在解决第（2）问时，要注意内角角平分线定理的使用，这是解决这题的关键.
30．（2022·上海·高三专题练习）已知关于的方程的虚数根为、.
（1）求的取值范围；（2）若，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意，从而，由复数的运算可得，根据判别式得出的范围，从而得出答案.（2）将平方，将韦达定理代入，结合判别式得出的范围，可得答案.
【详解】由题意知，，则，，
（1），
因为，所以，故的取值范围是.
（2）
因为，所以，所以.













B卷（建议用时90分钟）
一、单选题
1．（2021·重庆九龙坡·高三期中）已知，，，，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题设易知四边形为矩形，构建以为原点直角坐标系，将问题转化为平面上满足的情况下，结合两点距离公式求两点距离的范围.
【详解】由题设，四边形为矩形，构建以为原点的直角坐标系，如下图，

若，则，设，∴，且，
又，∴，即.故选：B
【点睛】构建直角坐标系，将平面向量的模长问题转化为平面上两点的距离问题，应用解析法求范围.
2．（2021·内蒙古·海拉尔第二中学高三期中）如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据和三点共线，可得和，利用平面向量线性运算可用表示出，由此可得方程组求得，进而得到的值.
【详解】连接，，

三点共线，可设，则，
；
三点共线，可设，则，；
，解得：，，即.故选：B.
【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，基本思路是根据为两线段交点，利用两次三点共线，结合平面向量基本定理构造出方程组求得结果.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知是不共线向量，设，，，，若△的面积为3，则△的面积为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【答案】A
【分析】根据已知条件结合向量的线性表示，向量加减法的运算，可得到与的两个边之间的关系，利用面积公式结合边的关系，可得结论.
【详解】∵，，，，如图，在平行四边形中，

，
设，则，即
同理，在平行四边形中，

，
可得，，∴，；所以与的夹角为或其补角，
则
∴的面积为8.故选：A.
【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
4．（2021·湖北·高三期末）已知复数和满足，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，由可得，设，则点和点距离为3，作图图象即可得解.
【详解】设，则表示点到点的距离是到点距离的倍.则，化简得：，
即复数在复平面对应得点为以为圆心，5为半径的圆上的点.
设，因为，所以点和点距离为3，
所以复数在复平面对应得点为以为圆心，2为半径的圆即以为圆心，8为半径的圆上构成的扇环内（含边界），如图所示：

表示点和原点的距离，由图可知的最小为0，最大为.故选：A.
【点睛】本题解题的关键是利用复数得几何意义，坐标化，设，得，进而可以利用数形结合解决问题，属于难题.
5．（2021·山东省济南市莱芜第一中学高三期中）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形，设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ）

A．24 B． C． D．
【答案】B
【分析】以为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，由圆方程设，写出向量的坐标，由数量积的坐标表示求出数量积，利用三角函数知识得最大值．
【详解】骑行过程中，相对不动，只有点绕点作圆周运动．
如图，以为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意，，，
圆方程为，设，
则，，，
易知当时，取得最大值．故选：B．

6．（2021·福建省福州第一中学高三期中）设、、为非零不共线向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意化简得到，整理得恒成立，结合二次函数的性质，结合，即可求解.
【详解】由向量、、为非零不共线向量，若，
则，可得，
化简得，
即恒成立，
令，
则
，即，所以故选：D.
7．（2021·上海虹口·一模）已知，复数（其中i为虚数单位）满足，给出下列结论：①的取值范围是；②；③的取值范围是；④的最小值为2；其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由题意得到，根据复数的几何意义可以得到点的轨迹是以为焦点的椭圆，进而结合椭圆的定义和性质判断①、②、③，然后利用基本不等式判断④.
【详解】由，
则点的轨迹是以为焦点，为长半轴长，为短半轴长，为半焦距的椭圆.由椭圆定义可知，②正确；表示椭圆上的点到原点的距离的平方，易知椭圆短轴上的端点到原点的距离最小，长轴上的端点到原点的距离最大，分别为1和2，故的取值范围是，①正确；
表示椭圆上的点与点连线的斜率，设直线与椭圆相切，联立直线与椭圆方程并化简得：，，根据点与椭圆的位置关系可知，的取值范围是，③正确；
根据题意，，当且仅当时取“=”，④错误.故选：C.
8．（2021·上海市徐汇中学高三期中）已知方程有两个虚根，若，则的值是（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】C
【分析】由于是虚根，所以方程判别式小于0，且是一对共轭复数，因此可以通过设出复数，通过韦达定理代入条件解出参数
【详解】由已知方程有两个虚根，因此方程判别式小于0，即.,
设由韦达定理可知所以, 即
, 即, 所以 所以故答案为：C
9．（2021·黑龙江·大庆实验中学高三阶段练习）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，有下列四个结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②③ B．②④ C．①② D．①③
【答案】A
【分析】根据题设中的公式和复数运算法则逐项计算后可得正确的选项.
【详解】因为，故，故①正确.
，
所以，，故③正确，④错误.
而.故②正确，故选：A．
【点睛】本题考查新定义下复数的计算，考查了复数的三角形式及其运算，本题的关键是理解定义中给出的计算方法．
二、多选题
10．（2021·湖北·高三期中）下列说法正确的是（ ）
A．若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是
B．若M是的外心，且，则P是的内心
C．若O为所在平面内一点，且，则，，的面积之比3：4：5
D．若O是的外心，，，的值为-8
【答案】CD
【分析】A：根据题意和平面向量数量积的坐标表示可得且与不同向共线，求得，解之即可；B：如图，根据平面向量的基本定理可得与共线，进而得到，同理可得，得出P是的垂心；
C：如图，延长OB至点，使得，延长至点，使得，
则O为的重心，利用三角形底边之间的关系分别求得，进而得出面积之比；
D：如图，作垂足分别为S、T，则S、T分别是AB、AC的中点，
利用平面向量的线性运算和数量积的定义计算即可求出结果.
【详解】A：因为，所以，所以，
由与的夹角为锐角，得且与不同向共线，所以，解得且，故A错误；B：如图，为的外接圆，连接PA、PB、PC、PM，设D、F分别是AB、PC的中点，连接PD、DM、FM，则，又，所以，即，所以与共线，因为为的外接圆的圆心，所以，
所以，同理得，所以P是的垂心，故B错误；

C：如图，延长OB至点，使得，延长至点，使得，
则，所以O为的重心，所以，因为
所以，故C正确；
D：如图，作垂足分别为S、T，则S、T分别是AB、AC的中点，
，
故D正确. 故选：CD
11．（2021·福建省福州第一中学高三期中）数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：的外心，重心，垂心，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线. 若，，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据欧拉线定理可判断A；利用向量的加、减运算可判断B；利用向量的数量积可判断C；利用向量的加法运算以及欧拉线定理可判断D.
【详解】A，由题意可得，即，故A正确；
B，由是的重心可得,
所以，故B错误；
C，过的外心分别作的垂线，垂足为，如图，

易知分别是的中点，则
，故C正确；
D，因为是的重心，所以，
故，
由欧拉线定理可得,所以，故D正确.故选：ACD
12．（2021·山东师范大学附中高三期中）在中，，，，的交点为，过的动直线分别交线段，于，两点，若，（，），则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】由和，求得，得到，可判断A正确，再由，且，得到，可判定B正确；结合基本不等式，可判定C正确，D不正确.
【详解】由三点共线，则存在实数使得，
同理由三点共线，则存在实数使得，
所以，解得，所以，所以A正确.
又由，且，可得，解得，则，
可得，所以B正确；又由，
当且仅当时，等号成立，所以C正确.又由，可得，所以D不正确.
故选：ABC.

13．（2021·广东·模拟预测）下列命题中正确的有（ ）
A．若复数满足，则； B．若复数满足，则；
C．若复数满足，则； D．若复数，则．
【答案】AD
【分析】根据复数的运算性质，即可判定A正确；取，可判定B不正确；取，可判断C不正确；根据复数的运算法则，可判定D正确.
【详解】对于A中，设复数，可得，
因为，可得，所以，所以A正确；对于B中，取，可得，所以B不正确；
对于C中，例如：，则，此时，所以C不正确；
对于D中，设，由，可得，即，可得，所以D正确.故选：AD
14．（2021·湖北·襄阳四中模拟预测）一个复数集X称为某种运算的“和谐集”是指X满足性质:①X⊆C；②∀a，b∈X对某种规定的运算a⊕b，都有a⊕b∈X.则下列数集X是相应运算的“和谐集”的是（ ）
A．，其中i是虚数单位，规定运算:a⊕b=a×b，(∀a，b∈X)
B．，规定运算:
C．，规定运算:a⊕b=a×b，(∀a，b∈X)
D．，规定运算:a⊕b=a+b，(∀a，b∈X)
【答案】ABCD
【分析】利用虚数单位的幂的运算性质可以判定A;利用共轭复数的性质可以判定B,利用复数的模的性质可以判定C;利用复数的模的三角不等式可以得到集合X中的元素满足的充分必要条件是⇔存在实数，使得，进而根据复数的加法运算公式可判定D.
【详解】对于A,设则a⊕b=a×b=,,所以,即a⊕,故A正确；对于B,,则故即,, 即a⊕b,故B正确；对于C,,则|a|<1,|b|<1,∴|a·b|=|a||b|<1，即a·b, 即a⊕b,故C正确；
对于D,由于在复数范围内，所以由⇔，有复数的模的不等式得到存在实数，使得，又，于是⇔存在实数，使得，
，',所以a⊕b=a+b,因为'，，所以即a⊕b,故D正确；故选：ABCD.
【点睛】本题考查复数的运算和模的性质，关键是认真审题，注意复数的模的性质的应用，常用的模的性质：（左侧取等号的条件是存在存在实数，使得，右侧取等号的条件是存在存在实数，使得，共轭复数的性质有,这些公式不难证明，在考试中往往十分有用.
三、填空题
15．（2021·全国·高三专题练习）著名数学家棣莫佛（De moivre，1667~1754）出生于法国香槟，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根据这个公式，则______；若，则 ______.
【答案】 2
【分析】（1）直接代公式得原式为，化简即得解；
（2）直接代公式化简得，解方程即得解.
【详解】（1）；
（2）.
故答案为：；2.
16．（2021·天津二中高三期中）已知边长为的正△ABC，内切圆的圆心为O，过B点的直线l与圆相交于M，N两点，（1）若圆心O到直线l的距离为1，则__________；（2）若，则的取值范围为_____________．
【答案】
【分析】（1）利用圆的弦长公式即求；（2）以B为原点建立平面直角坐标系，可得内切圆方程为，可设，由条件可得，再利用辅助角公式及三角函数的性质即得.
【详解】（1）∵边长为的正△ABC，内切圆的圆心为O，
由等边三角形的性质可知，内切圆的半径为2，又圆心O到直线l的距离为1，∴.
（2）如图以B为原点建立平面直角坐标系，则，

内切圆方程为，由题知点M在圆上，可设，
∵，∴，
∴，解得，
∴，
∵，∴.故答案为：；.
17．（2021·天津实验中学高三阶段练习）在中，，，，D在边AB上（不与端点重合）.延长CD到P，使得.当D为AB中点时，PD的长度为_______；若（m为常数且），则BD的长度是____.
【答案】. .
【分析】当D为AB中点时，由直角三角形的性质可求出，从而可求出；根据题设条件可设（），结合与A、B、D三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.
【详解】解：由勾股定理可知，，当D为AB中点时，
，所以;
∵C、D、P三点共线，∴可设（），∵，
∴，即，
若且，则A、B、D三点共线，∴，即，
∵，∴，，设，，
则，，∴根据余弦定理可得，
，∵，
∴，解得或（舍去），∴的长度为.故答案为: ;.

【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出（），结合共线定理求出.
18．（2021·四川宜宾·模拟预测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，的坐标为，点为动点，且满足，记，若的最小值为，则的最大值为________．
【答案】
【分析】求出点的轨迹方程，可得出，求得，利用二次函数的基本性质可求得，，其中，利用二次函数的基本性质可求得，即可得出的最大值.
【详解】设点，由已知可得，则，
化简可得，,
，
因为点在以点为圆心，半径为的圆上，由可得，即，
不妨设，其中，，
则，故，当且仅当时，取最小值，
令，其中，则，，所以，，
因为函数的最小值为，则，所以，的最大值为.故答案为：.
19．（2021·浙江·慈溪中学高三期中）已知平面向量满足：，当与所成角最大时，则______
【答案】
【分析】方法一：记，，，由条件可得，由此确定点C的轨迹，则与的夹角为，证明当C为过，两点的圆与圆相外切时的切点时，最大，设圆的半径为，再由正弦定理可得，利用余弦定理求得，由此可得，方法二：以O为原点，OA，OB为x，y轴建立坐标系，求点C的轨迹，则与的夹角为，证明当C为过，两点的圆与圆相外切时的切点时，最大，由求点E的坐标，由此可求.
【详解】解：记，，，则，
即点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆．过，两点的圆与圆相外切，记切点为，此时最大（如图）．

下证上述结论：取圆上不同于切点的点，因为在圆的外面，所以．
下面求当最大时，的值．记圆的半径为，则．
所以只需求出圆的半径为即可．
法一：如右图，为弦的中点，在中，由余弦定理求得，
，则．在中，，，，，由余弦定理得，．即．
法二：如图建系，，，，点在以为圆心，1为半径的圆上．
以为弦长作圆，当圆与圆外切时最大．

圆心在弦的中垂线上，设，则，即，
化简得，即或（舍去），此时，得．
故答案为：.
20．（2022·天津北辰·）如图，在平面四边形中，．若点为边上的动点，则的最小值为_________．

【答案】
【分析】设，根据条件找出，，且与的夹角为，与的夹角为，从而根据向量的加法法则和减法的定义写出，然后表示为关于的二次函数，通过求二次函数的最小值即可解决问题.
【详解】延长交于点，因为，所以，，
在中，，，所以，
在中，，，所以，
所以，不妨设，则，且与的夹角为，与的夹角为，则，
所以时，取最小值.故答案为：.

四、解答题
21．（2021·江苏·无锡市教育科学研究院高三期中）在△ABC中，已知，，，D为BC的中点，E为AB边上的一个动点，AD与CE交于点O.设.

（1）若，求的值；（2）求的最小值.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）首先根据向量的线性运算得到和，从而得到，，即可得到.（2）首先根据题意得到，根据，，得到，从而得到，再求解最小值即可.
（1）因为C，O，E三点共线，所以有，
即，得，同理可设，
所以得，，解得.所以，即.
（2）解：，
由（1）可知，，所以，所以，
令，则，
等号当且仅当，即时，的最小值为.
22．（2022·上海·高三专题练习）已知O是线段外一点，若，．（1）设点、是线段的三等分点，、及的重心依次为、、，试用向量、表示；（2）如果在线段上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】（1）根据三角形重心性质以及中点公式的向量形式，可得，，即可用向量、表示出；
（2）根据（1）中结论可类比得到结论：设是的n等分点，
则．
【详解】（1）如图：

因为点、是线段的三等分点，所以，同理可得：，；
（2）层次1：
设是的二等分点，则；；
设、、是的四等分点，则；
设是的n等分点，则．
层次2：设是的n等分点，；
层次3：设是的n等分点，则；
证明如下：
．
23．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知正方形的边长为，点为正方形内一点.

（1）如图1，求的值；
（2）如图2，若点、满足，，点是线段的中点，点是平面上动点，且满足，其中，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果；（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求出、的坐标，可得出，利用二次函数的基本性质即可得解.
【详解】（1）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，

、、、，设点，
则，，
，，
因此，；
（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，

因为，，则、，故点，
，，，
，则，
，当时，即当时，取得最小值.
24．（2021·浙江浙江·高三期末）在梯形中，，P，Q分别为线段和上的动点．（1）求与的数量积；（2）若，求；
（3）若，求的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）由题意，根据平面向量数量积的定义即可求解；（2） 由题意，将转化为用基底，表示，然后利用平面向量模长公式即可求解；（3）由题意，将转化为用基底，表示，将转化为用，表示，然后利用平面向量数量积的定义求出，最后构造函数，利用函数单调性即可求解.
【详解】解：（1），，，
.
（2）由（1）知，，
，
.

（3） ，，
则
，
，得；设，则在上单调递增；时取得最大值.
【点睛】选择合适的两个不共线的非零向量作为基底，将与分别用基底表示出来，是第（3）问的解题关键.
25．（2021·浙江浙江·高三期末）在复平面中原点为O，已知A对应的复数为，点B对应的复数为，，点C对应的复数为，且，且B，C均在实轴上方，（1）求的取值范围； （2）当时，P是线段上的动点，求的取值范围；（3）求的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）由知点B在圆上，再根据圆外一点到圆上的距离即可得解；
（2）根据求出，进而求出，即可得解；
（3）设，则，由可得，点在以为圆心，半径的圆上，利用圆的性质即可得解.
【详解】（1）由，所以对应的点为， 设即对应的点为，
由，所以，即对应的点在圆上，，
即点到的距离，即圆外一点到圆上的距离，
所以，，由，所以的取值范围为，
（2）由，，联立，可得，或者（舍），所以，
，此时，故到点最近，到A点最远，
的取值范围为；
（3）由，设，
所以，所以， ，带入可得：
，即，故对应的点在以为圆心，半径的圆上，
所以的最大值为圆心到的距离加上半径，所以.
【点睛】本题考查了复数和复平面上的点的对应，考查了复数的几何意义，同时考查了转化思想，有一定的计算量，属于中档题.
26．（2021·山东济宁·高三期中）一般地，任何一个复数（，）都可以表示成形式，其中，是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与“三角形式”区分开来，（，）叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”. （1）画出复数对应的向量，并把表示成三角形式；（2）已知，，，其中，.试求（结果表示代数形式）.

【答案】（1）图象见解析，（2）
【分析】（1）根据对应的点在第四象限画出图象，求得复数的模和辅角即可；
（2）根据，进而求得，，再利用复数的乘法求解.
（1）因为对应的点在第四象限，所以对应的向量如图所示.

易得，，，所以.
所以.
（2）因为，所以.
又，，所以.所以.
所以，
.