湖北省十一校2022届高三下学期第二次联考数学试题

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鄂南高中黄冈高中黄石二中荆州中学龙泉中学武汉二中孝感高中襄阳四中襄阳五中宜昌一中夷陵中学2022届高三湖北十一校第二次联考数学试题一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）A.  B.  C.  D. 【1题答案】【答案】A【解析】【分析】根据图象判断出阴影部分为，由此求得正确答案.【详解】，由图象可知，阴影部分表示.故选：A2. 直线与圆的位置关系是（    ）A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相切【2题答案】【答案】C【解析】【分析】先求出直线所过的定点，根据圆的方程判断得到此定点在圆内，即可得到直线与圆的位置关系.【详解】直线即，过定点，因为圆的方程为，则，所以点在圆内，则直线与圆相交.故选：C3. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等.设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【3题答案】【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得；【详解】解：由，反之不成立．是的必要不充分条件．故选：B.【点睛】本题考查了祖暅原理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4. 定义：24小时内降水在平地上积水厚度（）来判断降雨程度.其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（    ）A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨【4题答案】【答案】B【解析】【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.【详解】由题意，一个半径为圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥，所以积水厚度，属于中雨.故选：B.5. 已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是（    ）A. 6 B.  C. 8 D. 【5题答案】【答案】C【解析】【分析】设切点为（m，n），求出曲线对应函数的导数，可得切线的斜率，代入切点坐标，解方程可得n＝0，进而得到2a+b＝1，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．【详解】设切点为（m，n），y＝ln（x+b）的导数为，由题意可得=1，又n＝m﹣2a，n＝ln（m+b），解得n＝0，m＝2a，即有2a+b＝1，因为a、b为正实数，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为8．故选：C． 6. 如图为宜昌市至喜长江大桥，其缆索两端固定在两侧索塔顶部，中间形成的平面曲线称为悬链线．当微积分尚未出现时，伽利略猜测这种形状是抛物线，直到1691年莱布尼兹和伯努利借助微积分推导出悬链线的方程，其中为参数．当时，函数称为双曲余弦函数，与之对应的函数称为双曲正弦函数．关于双曲函数，下列结论正确的是（    ）A.  B. C.  D. 【6题答案】【答案】D【解析】【分析】根据双曲函数的解析式对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A选项，，A选项错误.B选项， ，B选项错误.C选项，，C选项错误.D选项，，D选项正确.故选：D7. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线与的左支交于、两点，且，，则的渐近线方程为（    ）A.  B.  C.  D. 【7题答案】【答案】C【解析】【分析】设，，根据双曲线的定义，可得，，在直角三角形中利用勾股定理可得，再在直角三角形中使用勾股定理可得，再结合，即可求出结果.【详解】由题意，得，；根据双曲线的定义，,所以，．在直角三角形中，，即，解得；在直角三角形中，，即，即，解得，所以的渐近线方程为.故选:C．【点睛】关键点点睛：本题在解答过程中使用双曲线的定义得到，，在直角三角形中利用勾股定理可得，是解决本题的关键和突破点.8. 已知、、、为锐角，在，，，四个值中，大于的个数的最大值记为，小于的个数的最大值记为，则等于（    ）A. 8 B. 7 C. 6 D. 5【8题答案】【答案】B【解析】【分析】由题意可得，，从而可求的m、n的值，即可得出答案.【详解】解：因为、、、为锐角，则，当且仅当时取等号，同理，，故不可能有4个数都大于，所以最多三个数大于，所以，例如，故最多有4个数均小于，所以，例如，所以.故选：B.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9. 如图，5个数据，去掉点后，下列说法正确的是（    ）A. 相关系数r变大B. 残差平方和变大C. 变量x与变量y呈正相关D. 变量x与变量y的相关性变强【9题答案】【答案】ACD【解析】【分析】根据图中的点，计算去掉前后的相关系数、残差平方和、，即可判断各选项的正误.【详解】由图，，，则，，，∴相关系数.令回归方程，则，∴，即回归方程为，可得为，，，，，∴残差平方和，故，去掉后，，，则，，，∴相关系数.∴，A、D正确；令回归方程，则，∴，即回归方程为，可得为，，，，∴残差平方和，故，∴，B错误，C正确；故选：ACD10. 平行四边形中，，将三角形沿着翻折至三角形，则下列直线中有可能与直线垂直的是（    ）A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线【10题答案】【答案】AB【解析】【分析】结合特殊的平行四边形对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A选项，若，如下图所示，当平面与平面垂直时，两个平面的交线为，且，则平面，所以，A选项正确.B选项，当时，在翻折过程中，可以取从到的范围，而，即直线与直线所成角为，所以存在，B选项正确.C选项，由于，所以为锐角，为锐角，所以C选项错误.D选项，由于，则，所以锐角，所以D选项错误.故选：AB11. 数列的前项为，已知，下列说法中正确的是（    ）A. 为等差数列 B. 可能为等比数列C. 为等差数列或等比数列 D. 可能既不是等差数列也不是等比数列【11题答案】【答案】BC【解析】【分析】利用来对进行判断，从而确定正确答案.【详解】依题意，，当时，，当时，，，两式相减得，，，当时，，则数列是首项为，公比为的等比数列.当时，，则数列是首项为，公差为的等差数列.故选：BC12. 如下图所示，B是AC的中点，，P是平行四边形BCDE内含边界的一点，且，以下结论中正确的是（    ）A. 当P是线段CE的中点时，，B. 当时，C. 若为定值时，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段D. 的最大值为【12题答案】【答案】CD【解析】【分析】结合平面向量的线性运算、三点共线等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】依题意，，A选项，当是线段的中点时，，A选项错误.B选项，若设分别是的中点，连接并延长，交的延长线于，则，且，所以，则点的轨迹是，，所以，B选项错误.C选项，，，令、的中点为，由于，即，所以三点共线.设分别是的中点，连接，交于，则，是的中点，是的中点，则点的轨迹是，点的轨迹是，所以C选项正确.D选项，，由于平行四边形在的左上方，三点共线，所以，，故当取得最大值，取得最小值时，取得最大值，D选项正确.故选：CD三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设复数z满足（其中是虚数单位），则___________.【13题答案】【答案】【解析】【分析】利用复数的运算法则及其模的定义即可求解.【详解】由已知条件得，则.故答案为：.14. 除以的余数是__________.【14题答案】【答案】8【解析】【分析】结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】，展开式的通项公式为，当时，为.所以除以的余数是.故答案为：15. 已知函数，有三个不同的零点，且，则的范围是__________.【15题答案】【答案】【解析】【分析】由分离常数，通过构造函数法，结合三角函数的图象与性质来求得的范围.【详解】依题意函数，有三个不同的零点，，且，令，得，令，画出的图象如下图所示，由图可知关于直线对称，关于直线对称，而，所以.故答案：16. 若指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是______.【16题答案】【答案】【解析】【分析】根据题意可得：由两个函数（且）与图像的交点转化为方程的解，再由方程转化为两函数与图像的交点，再利用导数求出函数的单调性及最大值，从而可得到的取值范围即可求出实数的取值范围.【详解】由题意可得：指数函数（且）与三次函数图象恰好有两个不同的交点，等价于方程有两个不同的解，对方程两边同时取对数得：，即，，，从而可转化为：与在图像上有两个不同的交点，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取到极大值，也是最大值，最大值为，又因为当时，，当时，，所以，解得故答案为：【点睛】本题考查了函数与方程以及利用导数求函数的最大值，考查了学生的计算能力，属于一般题.四、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，在四边形中，，，，，.（1）求；（2）求的长.【17题答案】【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）计算出、，利用两角和的余弦公式可求得的值；（2）在中，利用正弦定理可求出的长，然后在中利用余弦定理可求得的长.【详解】（1）因为，，则、均为锐角，所以，，，，，则，因此，；（2）在中，由正弦定理可得，可得，在中，由余弦定理可得，因此，.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.18. 已知等差数列满足，.（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足，设，数列的前n项和为，求的最大值.【18~19题答案】【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据已知条件求得的首项和公差，由此求得.（2）利用分组求和法求得，结合导数求得的最大值.【小问1详解】设等差数列公差为d，则，又，得，解得，所以.【小问2详解】设等比数列的公比为q，则，，所以，，所以，，则，所以，令，则，由于，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，且，，所以当时，有最大值且最大值为.19. 如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，.再从条件①､条件②､条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答.条件①：；条件②：；条件③：平面平面.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【19~20题答案】【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）选择①②通过线面垂直的判定定理来证得结论成立；选择①③通过面面垂直的性质定理来证得结论成立；选择②③则与是否垂直无法判断，不合题意.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】选择①②：（1）因为，，，所以.又因为，，所以平面.选择①③：（1）因为，，，所以.又因为平面平面，平面平面，所以平面. 选择②③：（1）因为，平面平面，平面平面，所以平面，则，但与是否垂直无法判断，所以选择②③不合题意.【小问2详解】由（1）知，，因为四边形是正方形，所以.如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设平面的一个法向量为，则即，令，则，，所以.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.20. 已知椭圆过点，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于、两点，过、作直线的垂线，垂足分别为、，点为线段的中点，为椭圆的左焦点．求证：四边形为梯形．【20~21题答案】【答案】（1）    （2）见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合离心率的定义和的平方关系，求得的值，进而得到椭圆的方程.（2）分析可得四边形为梯形的充分必要条件是，设,可转化为证明，然后联立方程组，利用韦达定理证得此式，即证得结论.【小问1详解】解：由已知得,解得,∴椭圆的方程.【小问2详解】证明：由（1）的结论可知，椭圆的左焦点,设,则,.，.∵直线与椭圆交于、两点，∴ 由于直线与直线不平行，∴四边形为梯形的充分必要条件是，即，即,即,∵,∴上式又等价于，即（*）.由,得,∴, ，∴（*）成立，∴四边形为梯形.21. 某中学在2020年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析.经统计某班有名同学，总分都在区间内，将得分区间平均分成组，统计频数､频率后，得到了如图所示的“频率分布”折线图.（1）请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计该班级的平均分；（2）经过相关部门的计算，本次高考总分大于等于的同学可以获得高校的“强基计划”入围资格.高校的“强基计划”校考分为两轮.第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有，，，四个等级，两科中至少有一科得到，且两科均不低于，才能进入第二轮，第二轮得到“通过的同学将被高校提前录取.已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于分的同学在每科笔试中取得，，，的概率分别为，，，；总分不超过分的同学在每科笔试中取得，，，的概率分别为，，，；进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为，则免面试，并被高校提前录取；若两科笔试成绩只有一个，则要参加面试，总分高于分的同学面试“通过”的概率为，总分不超过分的同学面试“通过”的概率为，面试“通过”的同学也将被高校提前录取.若该班级考分前名都已经报考了高校的“强基计划”，且恰有人成绩高于分.求①总分高于分的某位同学没有进入第二轮的概率；②该班恰有两名同学通过“强基计划”被高校提前录取的概率.【21题答案】【答案】(1)直方图见解析，690分；(2)①；②.【解析】【分析】(1)按照所分组，计算出对应的频率，并算出频率除以组距即可绘图，由给定条件估计班级平均分；(2)由频率分布直方图算出680到690分和高于690分的人数，利用对立事件即可得，把恰有两名同学通过“强基计划”被高校提前录取的事件进行分拆即可得.【详解】(1)频率分布直方图直方图，如图：该班平均分估计为；(2)总分大于等于680分的同学有人，由已知，其中有3人总分小于等于690分，2人总分大于690分，①，总分高于分的某位同学没有进入第二轮的概率；②总分高于分的同学被高校提前录取的事件为M，总分不超过分的同学被高校提前录取的事件为N，，，，该班恰有两名同学通过“强基计划”被高校提前录取的概率.【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.22. 对于正实数， 熟知基本不等式： ， 其中 为的算术平均数， 为的几何平均数． 现定义的对数平均数： （1）设， 求证： ：（2）①利用第（1）小问证明不等式： ：②若不等式 对于任意的正实数恒成立， 求正实数的最大值．【22~23题答案】【答案】（1）证明见解析    （2）① 证明见解析；②【解析】【分析】（1）令，由可证得在上单调递减,,即可证得结果.（2）（ⅰ）要证，只要证，即证，令，由（1）有，即可证得结论.（ⅱ）由恒成立，化简即得恒成立，令，化简则有恒成立.令，求导可得，（注：）讨论可得时，即时，在上单调递增，及时，在上单调递减，从而可得结果.【小问1详解】令，有所以，得在上单调递减.又，故当时，，因此，当时，-【小问2详解】（ⅰ）要证，只要证，只要证，即证，令，由（1）有，即得，因此，（ⅱ）由恒成立，得恒成立，即得恒成立，令，有恒成立，得恒成立，所以恒成立令，有，-（注：）ⅰ当时，即时，易知方程有一根大于1，一根小于1，所以在上单调递增，故有，不符；ⅱ当时，有，所以，从而在上单调递减，故当时，恒有，符合．由ⅰ、ⅱ可知，正实数的取值范围为，因此，正实数的最大值为【点睛】思路点睛：（1）构造，利用导数判断函数的单调性.（2）（ⅰ）问题转化为（ⅱ）由恒成立， 令，问题转化恒成立.构造，利用导数证明单调性.