高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.1 两角和与差的余弦练习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.1 两角和与差的余弦练习题，共5页。试卷主要包含了cscsα＋sinsinα＝等内容，欢迎下载使用。

C．－eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(2),2)
解析：cs15°＝cs(45°－30°)，cs75°＝cs(45°＋30°)．
答案：A
2．cs(α＋30°)csα＋sin(α＋30°)sinα＝( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(2),2) D．－eq \f(1,2)
解析：原式＝cs(α＋30°－α)＝cs30°＝eq \f(\r(3),2).
答案：A
3．cs57°cs12°＋sin57°sin12°的值是( )
A．0 B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(2),2)
解析：原式＝cs(57°－12°)＝cs45°＝eq \f(\r(2),2).
答案：D
4．若sinα－sinβ＝1－eq \f(\r(3),2)，csα－csβ＝eq \f(1,2)，则cs(α－β)的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(\r(3),4) D．1
解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(3),2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝2－2cs(α－β)，∴cs(α－β)＝eq \f(\r(3),2).
答案：B
5．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，且eq \f(π,4)<α解析：∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，且eq \f(π,4)<α∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2)＝－eq \f(3,5).
csα＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－\f(π,4)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))cseq \f(π,4)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))sineq \f(π,4)
＝－eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(4,5)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),10).
1．cs75°cs15°－sin75°sin195°的值为( )
A．0 B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(1,2)
解析：原式＝cs75°cs15°－sin75°sin(180°＋15°)＝cs75°·cs15°＋sin75°sin15°＝cs(75°－15°)＝cs60°＝eq \f(1,2).
答案：B
2．已知sinθ＝－eq \f(12,13)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))的值为( )
A．－eq \f(7\r(2),26) B.eq \f(7\r(2),26)
C．－eq \f(17\r(2),26) D.eq \f(17\r(2),26)
解析：∵sinθ＝－eq \f(12,13)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，
∴csθ＝eq \r(1－sin2θ)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))2)＝eq \f(5,13).
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝csθcseq \f(π,4)＋sinθsineq \f(π,4)
＝eq \f(5,13)×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(－7\r(2),26).
答案：A
3．已知csα＝eq \f(5,13)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))等于( )
A.eq \f(5\r(2),26) B．－eq \f(2\r(2),13)
C．－eq \f(7\r(2),26) D.eq \f(3\r(2),13)
解析：∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝(csα＋sinα)×eq \f(\r(2),2)，
又可得sinα＝－eq \f(12,13)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,13)－\f(12,13)))＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,13)))＝－eq \f(7\r(2),26).
答案：C
4．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝eq \f(5,13)，0＜θ＜eq \f(π,3)，则csθ等于( )
A.eq \f(5\r(3)＋12,26) B.eq \f(12－5\r(3),13)
C.eq \f(5＋12\r(3),26) D.eq \f(6＋5\r(3),13)
解析：∵θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，∴θ＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝eq \f(12,13).
又csθ＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))－\f(π,6)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))cseq \f(π,6)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))·sineq \f(π,6)
＝eq \f(5,13)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(12,13)×eq \f(1,2)＝eq \f(5\r(3)＋12,26).
答案：A
5．满足csαcsβ＝eq \f(\r(3),2)－sinαsinβ的一组α，β的值是( )
A．α＝eq \f(13,12)π，β＝eq \f(3π,4) B．α＝eq \f(π,2)，β＝eq \f(π,3)
C．α＝eq \f(π,2)，β＝eq \f(π,6) D．α＝eq \f(π,3)，β＝eq \f(π,4)
解析：∵csαcsβ＝eq \f(\r(3),2)－sinαsinβ，
∴csαcsβ＋sinαsinβ＝eq \f(\r(3),2)，即cs(α－β)＝eq \f(\r(3),2)，
经验证可知选项B正确．
答案：B
6．设A，B为锐角△ABC的两个内角，向量a＝(2csA,2sinA)，b＝(3csB,3sinB)．若a，b的夹角为eq \f(π,3)，则A－B等于( )
A.eq \f(π,3) B．－eq \f(π,3) C．±eq \f(π,3) D．±eq \f(π,6)
解析：cseq \f(π,3)＝eq \f(6csAcsB＋sinAsinB,2×3)
＝cs(A－B)，
又－eq \f(π,2)＜A－B＜eq \f(π,2)，∴A－B＝±eq \f(π,3).
答案：C
7．下列说法中不正确的是________．
①存在这样的α和β的值使得cs(α＋β)＝csαcsβ＋sinαsinβ；
②不存在无穷多个α和β的值使得cs(α＋β)＝csαcsβ＋sinαsinβ；
③对于任意的α和β有cs(α＋β)＝csαcsβ－sinαsinβ；
④不存在这样的α和β的值使得cs(α＋β)≠csαcsβ－sinαsinβ.
解析：对于①，当α＝kπ，k∈Z，β∈R时等式成立，对于③显然成立，对于④显然也成立，故选②.
答案：②
8．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－eq \f(4,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝__________.
解析：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝csα＝－eq \f(4,5)，
又∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，∴sinα＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(3,5).
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝cseq \f(π,3)csα＋sineq \f(π,3)sinα
＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(3,5)＝eq \f(3\r(3)－4,10).
答案：eq \f(3\r(3)－4,10)
9．已知cs(α＋β)＝eq \f(4,5)，cs(α－β)＝－eq \f(4,5)，eq \f(3π,2)＜α＋β＜2π，eq \f(π,2)＜α－β＜π，则cs2β＝__________.
解析：由条件知sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，sin(α－β)＝eq \f(3,5)，
∴cs2β＝cs[(α＋β)－(α－β)]
＝cs(α＋β)cs(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝－eq \f(16,25)－eq \f(9,25)＝－1.
答案：－1
10．若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sinx＝eq \f(4,5)，求2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,3)π))＋2csx的值．
解析：∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sinx＝eq \f(4,5)，∴csx＝－eq \f(3,5).
∴2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,3)π))＋2csx
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(csxcs\f(2,3)π＋sinxsin\f(2,3)π))＋2csx
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)csx＋\f(\r(3),2)sinx))＋2csx
＝eq \r(3)sinx＋csx＝eq \f(4\r(3),5)－eq \f(3,5)＝eq \f(4\r(3)－3,5).
11．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝－eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \f(12,13)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求cseq \f(α＋β,2)的值．
解析：∵eq \f(π,2)＜α＜π，0＜β＜eq \f(π,2)，
∴eq \f(π,4)＜eq \f(α,2)＜eq \f(π,2)，0＜eq \f(β,2)＜eq \f(π,4).
∴eq \f(π,4)＜α－eq \f(β,2)＜π，－eq \f(π,4)＜eq \f(α,2)－β＜eq \f(π,2).
又cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝－eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \f(12,13)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝eq \f(4,5)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \f(5,13).
∴cseq \f(α＋β,2)＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＋
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(5,13)＋eq \f(4,5)×eq \f(12,13)
＝－eq \f(15,65)＋eq \f(48,65)＝eq \f(33,65).
12．已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，csθ)互相垂直，其中θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)求sinθ和csθ的值；
(2)若5cs(θ－φ)＝3eq \r(5)csφ，0＜φ＜eq \f(π,2)，求csφ的值．
解析：(1)∵a⊥b，∴a·b＝sinθ－2csθ＝0，即sinθ＝2csθ.
又sin2θ＋cs2θ＝1，∴4cs2θ＋cs2θ＝1，即cs2θ＝eq \f(1,5).
∴sin2θ＝eq \f(4,5).∵θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴sinθ＝eq \f(2\r(5),5)，csθ＝eq \f(\r(5),5).
(2)∵5cs(θ－φ)＝5(csθcsφ＋sinθsinφ)＝eq \r(5)csφ＋2eq \r(5)sinφ
＝3eq \r(5)csφ，
∴csφ＝sinφ.
∴cs2φ＝sin2φ＝1－cs2φ，即cs2φ＝eq \f(1,2).
又0＜φ＜eq \f(π,2)，∴csφ＝eq \f(\r(2),2).