2022年河南省名校联盟高考数学二模试卷（理科）

2022年河南省名校联盟高考数学二模试卷（理科）

1. 复数，则复数z的虚部是

A.  B.  C.  D.

2. 设全集，，，则如图阴影部分表示的集合为

A.  B.  C.  D.

3. 已知m、n是平面内的两条直线，则“直线且”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 党的十八大以来，我们在脱贫攻坚领域取得了前所未有的成就，农村贫困人口大幅减少，解决困扰中华民族几千年的贫困问题，取得历史性成就.同时为全球减贫事业作出了重要贡献年为脱贫攻坚收官之年，如图为2013年至2019年每年我国农村减贫人数的条形图.
   
   根据该条形图分析，下述结论中正确的个数为
   ①平均每年减贫人数超过1300万；
   ②每年减贫人数均保持在1100万以上：
   ③打破了以往随着脱贫工作深入推进，难度越来越大，脱贫人数逐年递减的规律；
   ④历年减贫人数的中位数是万人

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5. 已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回．在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为

A.  B.  C.  D.

6. 已知为等差数列的前n项和，若，，则

A. 24 B. 26 C. 28 D. 30

7. 已知直线l将圆C：平分，且与直线垂直，则l的方程为

A.  B.  C.  D.

8. 四边形ABCD中，，，，则

A.  B. 1 C.  D. 2

9. 现有如下信息：
   黄金分割比简称：黄金比是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为
   黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形.
   有一个内角为的等腰三角形为黄金三角形.
   由上述信息可求得

A.  B.  C.  D.

10. 已知抛物线上一点，F为焦点，直线FA交抛物线的准线于点M，满足，则抛物线方程为

A.  B.  C.  D.

11. 已知函数的部分图象如图所示，关于此函数的下列描述：
    ①；②；③若，则；④若，则
    其中正确的命题是

A. ②③ B. ①④ C. ①③ D. ①②

12. 已知函数与函数的图象交点分别为：，，…，，则……

A.  B. 0 C. 2 D. 4

13. 已知变量x和y满足约束条件，则的最小值为______.
14. 宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰成就最为突出，被誉为“宋元数学四大家”．数学周老师将秦九韶的《数书九章》、李冶的《测圆海镜》《益古演段》、杨辉的《详解九章算法》、朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》这六部著作平均分给班级的3个数学兴趣小组，则有______种不同的分配方式．
15. 已知函数，设，其中且，则______.
16. 如图所示，在长方体中，，，，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点F，则四棱锥的体积为______，截面四边形的周长的最小值为______.
    
     

17. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量，，且
    求角B；
    若，，求角
    
    
    
    
    
    
     
18. 2020年是决胜全面建成小康社会、决战脱贫攻坚之年，面对新冠肺炎疫情和严重洪涝灾害的考验，党中央坚定如期完成脱贫攻坚目标决心不动摇，全党全社会戮力同心真抓实干，取得了积极成效.某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积x与相应的管理时间y的关系如表所示：

并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：

做出散点图，判断土地使用面积x与管理时间y是否线性相关；并根据相关系数r说明相关关系的强弱，若，认为两个变量有很强的线性相关性，r值精确到
若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，且每位村民参与管理的意愿互不影响，则从该贫困县村民中任取3人，记取到不愿意参与管理的女性村民的人数为X，求X的分布列及数学期望.
参考公式：
参考数据：，，






 

19. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，，M是AB中点，N是中点，P是与的交点，点Q在线段上.
    求证：平面；
    若二面角的余弦值是，求点B到平面的距离.
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知抛物线C：上的点到其焦点F的距离为，过点F的直线1与抛物线C相交于A，B两点，过原点O垂直于l的直线与抛物线C的准线相交于Q点.
    求抛物线C的方程及F的坐标；
    设，的面积分别为，，求的最大值.
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知函数，
    求函数的单调区间；
    ，，使得不等式成立，求a的取值范围；
    不等式在上恒成立，求整数m的最大值.
    
    
    
    
    
    
     
22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
    求曲线C的直角坐标方程；
    已知点P的直角坐标为，l与曲线C交于A，B两点，求
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知函数，
    解不等式：；
    记的最小值为M，若正实数a，b满足，试求：的最小值.
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】解：复数z的虚部为，
故选：
利用虚部的定义即可得出．
本题考查了虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】A
 

【解析】解：全集，，
，

阴影部分表示的集合为
故选：
求出集合A和，再求出阴影部分表示的集合即可．
本题考查集合的运算，涉及到交集、补集定义、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：由m、n是平面内的两条直线，直线且，反之不成立，因为m与n不一定垂直．
“直线且”是“”的必要不充分条件．
故选：
根据线面垂直的判定与性质定理即可判断出结论．
本题考查了线面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：由条状图易知：对于①，平均每年减贫人数超过1300万；
对于②，每年减贫人数均保持在1100万以上：
对于③，打破了以往随着脱贫工作深入推进，难度越来越大，脱贫人数逐年递减的规律；
故①②③正确，
对于④，中位数应为万，故④错误，
故选：
直接利用条状图，条状图的规律，中位数的应用判断①②③④的结论．
本题考查的知识要点：条状图，条状图的规律，中位数，主要考查学生的视图能力，属于基础题．
 

5.【答案】C
 

【解析】解：设事件“第1次抽到代数题”，事件“第2次抽到几何题”，
所以，
则
故选：
设事件“第1次抽到代数题”，事件“第2次抽到几何题”，先分别求出，的概率，然后利用概率计算公式求解即可．
本题考查了概率问题的求解，主要考查了条件概率的求解，解题的关键是掌握概率的计算公式，属于基础题．
 

6.【答案】C
 

【解析】解：由题意，，
所以，
故选：
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
 

7.【答案】D
 

【解析】解：化圆C为，可得圆心坐标为，
由题意知，直线l过点，
又与直线垂直，可得斜率为2，
直线l的方程为，整理得，
故选：
化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标，再由已知求出直线l的斜率，利用直线方程的点斜式得答案．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查直线方程的求法，是基础题．
 

8.【答案】B
 

【解析】解：由题意知，，
所以
故选：
求出的摸，用，，表示出，利用数量积的运算法则即可求解．
本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．
 

9.【答案】D
 

【解析】解：由题意，设为的黄金三角形，角A、B、C所对边分别为a，b，c，
则有，
所以，
所以，
故选：
由题意，设为的黄金三角形，根据黄金三角形的性质结合余弦定理即可求出，从而得到的值．
本题考查了余弦定理的应用，是基础题．
 

10.【答案】C
 

【解析】解：由知A为线段FM上靠近F的三等分点，
又因为，
所以，
即点A，F，M三点共线，
有，
，
，即抛物线方程为：，
故选：
利用抛物线的性质，由题中的条件可知点M的纵坐标为点A纵坐标的3倍，即可解出．
本题考查了抛物线的性质，点共线问题，转化思想，属于中档题．
 

11.【答案】C
 

【解析】解：由函数的部分图象知，
，所以，，所以①正确；
又，，解得，，
又，所以，②错误；
由函数，
若，则，
由直线是函数的对称轴，
所以，③正确，④错误．
故选：
由函数的部分图象求出T、和的值，写出函数的解析式，再判断题目中的命题是否正确．
本题考查了三角函数的图象与性质，也考查了推理与判断能力，是基础题．
 

12.【答案】D
 

【解析】解：由题意化简，，
设，则，则关于坐标原点对称，关于点对称，
设，则，则关于坐标原点对称，关于点对称，
故的图象与的图象都关于点对称，
又，所以在，上单调递减，
由可知，在，上单调递减，在上单调递增，
绘制函数图像如图所示，

可得，与的图象有四个交点，且都关于点对称，所以所求和为4，
故选：
由题意首先确定函数的对称性和函数的单调性，然后结合零点的个数和对称中心即可求得……的值．
本题主要考查函数的对称性，函数的单调性等知识，属于中等题．
 

13.【答案】
 

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，
由图可知，的最小值为
故答案为：
由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内动点与原点连线的斜率求解．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
 

14.【答案】90
 

【解析】解：根据题意，先将6本著作平均分为3组，有种分组方法，
再将三组分给班级的3个数学兴趣小组，有种分法，
则有种不同的分配方式；
故答案为：
根据题意，先将6本著作平均分为3组，再将三组分给班级的3个数学兴趣小组，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
 

15.【答案】1010
 

【解析】解：根据题意，函数，则，
则有；
故…………；
故答案为：
根据题意，由函数的解析式可得，由此调整各项的顺序，计算可得答案．
本题考查函数值的计算，涉及对数函数的运算性质，属于基础题．
 

16.【答案】
 

【解析】解：由题意可得，，
则

；
将长方体展开，如图所示：

当点E为与的交点，F为与的交点时，截面四边形的周长最小，
最小值为
故答案为：20；
根据锥体的体积，利用切割法可得四棱锥的体积；将几何体展开，利用两点之间直线段最短即可求得截面最短周长．
本题考查多面体体积与截面周长最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
 

17.【答案】解：由题意得，
故，
因为B为三角形的内角，
所以；
若，，，
由正弦定理得，
所以，
因为，
所以，
故或
 

【解析】由已知结合向量数量积的坐标表可求，进而可求B；
由已知结合正弦定理可求，然后结合三角形的大边对大角可求
本题主要考查了向量数量积的坐标表示，正弦定理的应用，属于中档题．
 

18.【答案】解：散点图如下所示．

由散点图知，土地使用面积x与管理时间y线性相关．
由题意知，，，
，
，
，
相关系数，
故土地使用面积x与管理时间y的线性相关性很强．
由题意知，调查的300名村民中不愿意参与管理的女性村民人数为名，
从该贫困县中任选一人，取到不愿意参与管理的女性村民的概率，
X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为

数学期望
 

【解析】结合表中数据和相关系数r的参考公式计算r的值，得解；
从该贫困县中任选一人，取到不愿意参与管理的女性村民的概率为，随机变量，再由二项分布的概率公式和期望公式，即可得解．
本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，二项分布，相关系数的求法，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题．
 

19.【答案】证明：连结MN，因为侧棱底面，所以三棱柱为直三棱柱，
由M，N是AB，的中点，则，，
故四边形为平行四边形，则，
因为平面，平面，
所以平面，
连结PN，由P，N是，中点，则，
又平面，平面，
所以平面，又，所以平面平面，
因为平面，所以平面；
解：以A为原点，建立空间直角坐标系如图所示，
设，，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，故，
又平面ACM的一个法向量为，
因为二面角的余弦值是，
则，
又，解得，
所以，又，
故点B到平面的距离
 

【解析】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理的应用，在有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
连结MN，先证明四边形为平行四边形，得到，连结PN，再证明，由线面平行的判定定理和面面平行的判定定理可以证明平面平面，从而证得平面；
建立合适的空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，然后利用向量的夹角公式列出关于h的等式，求出h的值，然后再利用线面距离的计算公式求解即可．
 

20.【答案】解：抛物线C：的焦点，准线方程为，
由抛物线的定义可得，，解得，
所以抛物线的方程为，；
由可得，设，，
易得直线l存在斜率，设为k，
直线l的方程为，与抛物线的方程联立，消去x，可得，
恒成立，，，
设原点O到直线l的距离为，，
所以，
易得，设Q到直线l的距离为，，
所以，
故，
设，，
当且仅当，即时，取得等号，
所以的最大值为
 

【解析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得p的方程，解方程可得p，进而得到抛物线的方程和焦点F；
设直线l的方程为，与抛物线的方程联立，运用焦点弦长公式和点到直线的距离公式、三角形的面积公式，可得，求得Q的坐标和Q到直线l的距离，以及面积，再由换元法和基本不等式可得所求最大值．
本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：，，
①当时，，，，
即的解集，
所以在上单调递减，
②当时，设，则，
故在上单调递增，且，
所以恒成立，
所以在上是增函数，
综上的单调减区间，增区间；
由知，
，，使得不等式成立，
等价于不等式在时有解，即在上有解，
设，，则，
由于，，，
故恒成立，在上单调递增，，
故a的范围为；
不等式在上恒成立等价于，
令，则，设，
，
因为，所以，，，
故，
故在上单调递增，
，
故在上单调递增，
，
故，
因为且，
所以整数m的最大值为
 

【解析】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，及由不等式的恒成立及存在性问题求解参数的范围，体现了转化思想的应用，属于较难题．
先对函数求导，然后结合导数与单调性关系确定导函数的符号，进而可求函数的单调区间；
由知，原不等式等价于不等式在时有解，即在上有解，结合不等式的特点，构造函数，转化为求解函数的最值问题，结合导数与函数的性质可求；
不等式在上恒成立等价于，构造函数，然后结合导数与函数的性质可求，所以整数m的最大值为
 

22.【答案】解：曲线C的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为，整理得
将直线l的参数方程为为参数，代入，
得到，
所以，，
故
 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
直接利用直线与曲线的位置关系，利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

23.【答案】解：，
，或或，
或或，，
不等式的解集为
由知，，
，
，




，当且仅当时“=”成立，
故的最小值是
 

【解析】先将写为分段函数的形式，然后根据，分别解不等式即可；
由可得，从而得到，再利用基本不等式求出的最小值即可．
本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是中档题．