2022年河南省开封市高考数学二模试卷（文科）

这是一份2022年河南省开封市高考数学二模试卷（文科），共19页。
 2022年河南省开封市高考数学二模试卷（文科） 设x，，集合，，若，则A.  B.  C.  D. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则A.  B.  C. 2 D. 命题：，的否定为A. ， B. ，
C. ， D. ，已知，，则A.  B.  C.  D. 7甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天产品的次品数的茎叶图如图所示，下列判断错误的是
A. 甲的中位数大于乙的中位数 B. 甲的众数大于乙的众数
C. 甲的方差大于乙的方差 D. 甲的性能优于乙的性能设A，F分别是双曲线C：的一个顶点和焦点，过A，F分别作C的一条渐近线的垂线，垂足分别为，，若，则C的渐近线方程为A.  B.  C.  D. 溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的pH是参考数据：A.  B.  C.  D. 若表示不超过x的最大整数，例如，则如图中的程序框图运行之后输出的结果为A. 102
B. 684
C. 696
D. 708
  如图，将一块直径为的半球形石材切割成一个体积最大的正方体，则切割掉的废弃石材的体积为
 A.  B.  C.  D. 已知函数的图象过点，现将的图象向左平移个单位长度得到的函数图象与的图象关于x轴对称，则的解析式可能是A.  B.
C.  D. 已知是圆C：上一点，则连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积A. 有最小值4 B. 有最小值8 C. 有最大值8 D. 有最大值16骑行是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱．如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆前轮，圆后轮的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形，设点P为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，达到最大值时点P到地面的距离为A.  B.  C.  D. 已知两个单位向量的夹角为，则_______.已知公差为1的等差数列中，，若，则______.已知函数，若有极大值，则______.如图，某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里，则小岛B与小岛D之间的距离为______海里；小岛B，C，D所形成的三角形海域BCD的面积为______平方海里．某小区物业每天从供应商购进定量小包装果蔬，供本小区居民扫码自行购买，每份成本15元，售价20元．如果下午6点之前没有售完，物业将剩下的果蔬打五折于当天处理完毕．物业对20天本小区这种小包装果蔬下午6点之前的日需求量单位：份进行统计，得到如下条形图：

假设物业某天购进20份果蔬，当天下午6点之前的需求量为单位：份，
求日利润单位：元关于n的函数解析式；
以20天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求日利润不少于100元的概率．
依据统计学知识，请设计一个方案，帮助物业决策每天购进的果蔬份数．只需说明原因，不需计算．






 已知数列的前n项和为，，且
证明：数列为等差数列；
选取数列的第项构造一个新的数列，求的前n项和






 如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，圆柱OQ的侧面积为，点P在圆柱OQ的底面圆周上，且是边长为的等边三角形，点G是DP的中点．
求证：平面PBD；
求点A到平面OPG的距离．

  






 已知抛物线C：的焦点为F，为C上一点，直线l交C于M，N两点与点S不重合
若l过点F且倾斜角为，在第一象限，求C的方程；
若，直线SM，SN分别与y轴交于A，B两点，且，判断直线l是否恒过定点？若是，求出该定点；若否，请说明理由．






 已知函数
当时，求在处的切线方程；
若对任意的，有，证明：






 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，为参数，直线的参数方程为，为参数，，直线的参数方程为为参数，
将C的参数方程化为普通方程，并求出与的夹角；
已知点，M，N分别为，与曲线C相交所得弦的中点，且的面积为，求的值．






 已知a，b，，且
求证：；
若，求a的最小值．







答案和解析 1.【答案】C
 【解析】解：，，且，
，即，则，
可得，，

故选：
由已知可得，得到x值，进一步得到y值，再由并集运算得答案．
本题考查交集与并集运算，考查集合中元素的特性，是基础题．
 2.【答案】D
 【解析】解：复数z对应的点的坐标是，
，
，
故选：
由复数的几何意义知，再求即可．
本题考查了复数的几何意义，属于基础题．
 3.【答案】C
 【解析】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，
命题：，的否定为：，
故选：
利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．
本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．
 4.【答案】D
 【解析】解：，，可得，
，
则，
故选：
由同角的基本关系式和两角差的正切公式可得所求值．
本题考查两角差的正切公式和同角的基本关系式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
 5.【答案】D
 【解析】解：由茎叶图可知，
甲的中位数为，乙的中位数为，故选项A正确；
甲的众数为15，乙的众数为12，故选项B正确；
甲的数据相对更离散，故甲的方差大于乙的方差，故选项C正确；
甲的平均数为，
乙的平均数为，
且甲的方差大于乙的方差，
故甲的性能劣于乙的性能，
故选项D错误；
故选：
由茎叶图依次求甲、乙的中位数，众数、平均数，判断方差，从而确定选项．
本题考查了茎叶图及数字特征的应用，属于基础题．
 6.【答案】A
 【解析】解：设，，双曲线的一条渐近线为，
由，即，
可得，
即为，
则，
所以双曲线的渐近线方程为，即，
故选：
设，，双曲线的一条渐近线为，由点到直线的距离公式推得，再由a，b，c的关系可得双曲线的渐近线方程．
本题考查双曲线的方程和性质，以及点到直线的距离公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
 7.【答案】C
 【解析】解：由可得，
故选：
由已知结合对数的运算性质即可直接求解．
本题主要考查了对数的运算性质在实际问题中的应用，属于基础试题．
 8.【答案】C
 【解析】解：由程序图可知，最终输出的，
从到共10项，均为0，
从到共10项，均为1，
，
从到共10项，均为11，
从到共3项，均为12，
故
故选：
由程序图可知，最终输出的，再结合取整的定义，以及等差数列的前n项和公式，即可求解．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
 9.【答案】A
 【解析】解：作出正方体相对侧棱截面，如图，

设正方体棱长为a，则，，
由勾股定理得，
解得，
半球体积为，
正方体体积为，
切割掉的废弃石材的体积为
故选：
过正方体相对侧棱作截面，由此能求出切割掉的废弃石材的体积．
本题考查几何体体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 10.【答案】A
 【解析】解：图象过点，
，
，，
此时，
将的图象向左平移个单位长度得到的函数为，此时图象与的图象关于x轴对称，
即此时，
即，，
得，，
则当时，，此时，
故选：
根据条件先求出的值，然后根据平移关系求出函数的解析式，利用图象关于x轴对称，建立方程求出的值即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用条件建立方程求出和的值是解决本题的关键，是中档题．，
 11.【答案】B
 【解析】解：因为是椭圆C：上的点，
所以，
所以当且仅当，即时，取等号，
所以，即，
所以连接连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积为，
所以连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积的最小值为8，
故选：
把点代入椭圆C方程，则，由基本不等式可得当且仅当，即时，取等号，进而可得连接连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积为，即可得出答案．
本题考查椭圆的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．
 12.【答案】B
 【解析】解：建立如图所示平面直角坐标系，则，，圆D的方程为，
设，则，，


，
当仅当时取“=”，此时，
则，
所以点P到地面的距离为，
故选：
建立如图所示平面直角坐标系，设，求出，，利用向量的数量积，结合两角和与差的三角函数，求解函数的最值即可．
本题考查向量的数量积的求法与应用，三角函数的化简求值，是中档题．
 13.【答案】
 【解析】【分析】
根据平面向量数量积的定义与模长公式，求出结果即可．本题考查了平面向量数量积的定义与模长公式的应用问题，是基础题目．
【解答】
解：两个单位向量，的夹角为，
，


，

故答案为  14.【答案】7
 【解析】解：在公差为1的等差数列中，由，
得，解得，
，
由，得
故答案为：
由已知列式求得，写出等差数列的通项公式，再由求解n值．
本题考查等差数列的通项公式，考查运算求解能力，是基础题．
 15.【答案】3
 【解析】解：因为，则，
若，则，则在定义域上单调递减，无极大值，
故，
令，则，
当时，，
当时，或，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以，解得
故答案为：3
研究函数的单调性，根据单调性判断极值点，从而得到关于极大值的方程即可求解．
本题考查了根据极值求参数，属于基础题．
 16.【答案】  15
 【解析】解：圆的内接四边形对角互补，，
C为锐角，，
在三角形BCD中，由正弦定理得，可得，
在三角形BCD中，由余弦定理得，
整理得，可得，解得负根舍去，
所以平方海里．
故答案为：，
先求得，，利用正弦定理求得BD，利用余弦定理求得CD，从而求得三角形BCD的面积．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 17.【答案】解：当时，

，
当时，，
综上所述，
；
日利润不少于100元可转化为需求量不少于20，
由条形图可知，
需求量不少于20的天数有，
故日利润不少于100元的概率为；
假设物业每天购进n份果蔬，根据条形图计算出日利润的数学期望，并求数学期望的最大值，按照数学期望的最大值确定每天购进的果蔬份数．
 【解析】根据价格需求量分类讨论求利润即可；计算出日利润不少于100元的频率即可；
假设物业每天购进n份果蔬，根据条形图计算出日利润的数学期望，并求数学期望的最大值，按照数学期望的最大值确定每天购进的果蔬份数．
本题考查了条形图的应用，同时应用了数形结合的思想，属于中档题．
 18.【答案】证明：数列的前n项和为，，且，
，即，
数列为等差数列；
解：由知，，
，即，


 【解析】把已知数列递推式变形，可得，即可得到数列为等差数列；
由知，，即，再由数列的分组求和及等比数列的前n项和公式求解．
本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的前n项和，考查运算求解能力，是中档题．
 19.【答案】解：证明：点P在圆柱OQ的底面圆周上，则，而四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，
则有平面APB，平面APB，，又，AP，平面ADP，
于是得平面ADP，而平面ADP，，
是边长为的等边三角形，，，
圆柱OQ的侧面积为，即，
，又点G是DP的中点．
则有，而，PB，平面PBD，
平面PBD；
由已知得，
线段OP的中点G到平面AOP的距离为，于是，
由平面PBD知，即是直角三角形，，
而，则等腰三角形OPG底边GP上的高为，
，设点A到平面OPG的距离为h，由，
，，点A到平面OPG的距离为
 【解析】根据给定条件证明及，再利用线面垂直的判定推理作答；
在三棱锥中利用等体积法计算即可．
本题考查线面垂直的证明，点到面的距离的求法，属中档题．
 20.【答案】解：抛物线C：的焦点为，
因为过点F且倾斜角为，所以，
联立，可得，
解得或，
又M在第一象限，所以，
因为，所以，
解得，
所以抛物线C的方程为；
解：由已知可得抛物线C的方程为，点，
设直线l的方程为，点，
将直线l的方程与抛物线C：联立得，
所以，，，
直线SM的方程为，
令求得点A的纵坐标为，同理求得点B的纵坐标为，
由，化简得，
将上面式代入得，即，
所以直线l的方程为，即，
所以直线l过定点
 【解析】由已知条件，利用点斜式写出直线的方程，然后与抛物线方程联立，求出M点的横坐标，进而根据焦半径公式即可求解；
设直线l的方程为，点，将直线l的方程与抛物线C：联立，根据已知条件及韦达定理找到m、n之间的关系即可求解．
本题考查了抛物线的定义和方程以及直线恒过定点问题，属于中档题．
 21.【答案】解：当时，，，
则，
又，
在处的切线方程为，即；
证明：任意的，，等价于，
令，，
得，而，则当时，，
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
，于是得，则，
令，，
，则当时，，当时，，
因此，在上单调递减，在上单调递增，
，于是，即

 【解析】当时，，求其导函数，可得，再求出，利用直线方程的点斜式得答案；
任意的，，等价于，令，，利用导数去球器最大值，得，则，令，，再由导数去求其最小值，即可得到，即
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数不等式的证明，训练了利用导数研究函数的单调性与最值，是中档题．
 22.【答案】解：曲线C的参数方程为，
，
故C的普通方程为，
由直线与的参数方程可知，两直线斜率分别为，，
则，即，
故与的夹角为
和均经过椭圆C内部的点，
，与椭圆C分别交于两点，
将代入 可得，，
设，是方程的两根，
则，
是与椭圆C相交弦中点，
，
将为为参数，代入，同理可得，，
，解得或舍去，
，
，
或
 【解析】根据参数方程与普通方程互化可得C普通方程，并确定直线与的斜率，即可求解．
将，的参数方程代入C的普通方程，利用直线参数方程中参数的几何意义，以及三角形面积公式，即可求解．
本题主要考查参数方程的应用，考查计算能力，属于中档题．
 23.【答案】证明：，
，
当且仅当时等号成立．
；
已知a，b，，且
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
故a的最小值为，此时
 【解析】由已知可得，再由基本不等式证明；
根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
本题考查不等式的证明，考查基本不等式的应用，考查推理论证能力与运算求解能力，是中档题．